数学 › 解析学（実解析） › 実数の完備性とコーシー列

完備性の公理（単調収束の原理）

公理 3.1（「実数の完備性とコーシー列」§3）

実数の列 $(a_n)_{n \ge 1}$ が単調増加かつ上に有界であるとき、すなわちすべての $n$ について $a_n \le a_{n+1}$ が成り立ち、かつある $M \in \mathbb{R}$ が存在してすべての $n$ について $a_n \le M$ が成り立つとき、 $(a_n)$ はある実数に収束する。

本文で読む（前後の説明と例）→

閉包の状態

公理

公理は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

これを使っている定理証明で参照している 4 件

測度の連続性と σ-加法性の特徴づけ✓定理 4.3・確率空間とコルモゴロフの公理
アルキメデスの原理✓定理 3.2・実数の完備性とコーシー列
上限の存在（ワイエルシュトラスの定理）✓定理 4.2・実数の完備性とコーシー列
ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理✓定理 6.3・実数の完備性とコーシー列

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