測度の連続性と σ-加法性の特徴づけ

$(\Omega, \mathcal{F})$ を可測空間とする。

1. （下からの連続性）$P$ を確率測度、$(A_n)_{n\ge1} \subset \mathcal{F}$ が $A_1 \subset A_2 \subset \cdots$ を満たすとき、数列 $(P(A_n))$ は収束し $$P\Bigl( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \Bigr) = \lim_{n \to \infty} P(A_n).$$
2. （上からの連続性）$P$ を確率測度、$(A_n)_{n\ge1} \subset \mathcal{F}$ が $A_1 \supset A_2 \supset \cdots$ を満たすとき $$P\Bigl( \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n \Bigr) = \lim_{n \to \infty} P(A_n).$$
3. （逆向き）写像 $P : \mathcal{F} \to \mathbb{R}$ が (P1)、(P2) と有限加法性（定理 4.2 (2) の性質）を満たし、さらに「$B_1 \supset B_2 \supset \cdots$ かつ $\bigcap_n B_n = \emptyset$ ならば $\lim_n P(B_n) = 0$」を満たすならば、$P$ は (P3) を満たす。すなわち $P$ は確率測度である。