σ-加法族が閉じている演算

$\mathcal{F}$ を $\Omega$ 上の $\sigma$-加法族とする。このとき次が成り立つ。

1. $\emptyset \in \mathcal{F}$。
2. $A_1, \ldots, A_n \in \mathcal{F}$ ならば $\bigcup_{k=1}^{n} A_k \in \mathcal{F}$。
3. $A_1, A_2, \ldots \in \mathcal{F}$ ならば $\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathcal{F}$。有限個の交叉についても同様。
4. $A, B \in \mathcal{F}$ ならば $A \setminus B \in \mathcal{F}$。
5. $A_1, A_2, \ldots \in \mathcal{F}$ ならば $\limsup_n A_n \in \mathcal{F}$ かつ $\liminf_n A_n \in \mathcal{F}$。