確率測度の基本性質

$(\Omega, \mathcal{F}, P)$ を確率空間とする。$A, B \in \mathcal{F}$、$A_1, \ldots, A_n \in \mathcal{F}$、$(A_n)_{n \ge 1} \subset \mathcal{F}$ に対し次が成り立つ。

1. $P(\emptyset) = 0$。
2. （有限加法性）$A_1, \ldots, A_n$ が互いに素ならば $P\bigl(\bigcup_{k=1}^{n} A_k\bigr) = \sum_{k=1}^{n} P(A_k)$。
3. $P(A^{c}) = 1 - P(A)$。
4. （単調性）$A \subset B$ ならば $P(B \setminus A) = P(B) - P(A)$。とくに $P(A) \le P(B)$。
5. $0 \le P(A) \le 1$。
6. （加法定理）$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$。
7. （可算劣加法性）$P\bigl(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\bigr) \le \sum_{n=1}^{\infty} P(A_n)$。互いに素であることは仮定しない。