乗法定理・全確率の公式・ベイズの定理

$(\Omega, \mathcal{F}, P)$ を確率空間とする。

1. （乗法定理）$A_1, \ldots, A_n \in \mathcal{F}$ が $P(A_1 \cap \cdots \cap A_{n-1}) > 0$ を満たすならば $$P(A_1 \cap \cdots \cap A_n) = P(A_1)\, P(A_2 \mid A_1)\, P(A_3 \mid A_1 \cap A_2) \cdots P(A_n \mid A_1 \cap \cdots \cap A_{n-1}).$$
2. （全確率の公式）$I$ を高々可算な添字集合、$(B_i)_{i \in I} \subset \mathcal{F}$ が互いに素で $\bigcup_{i \in I} B_i = \Omega$、かつすべての $i$ で $P(B_i) > 0$ とする。このとき任意の $A \in \mathcal{F}$ に対し $$P(A) = \sum_{i \in I} P(A \mid B_i)\, P(B_i).$$
3. （ベイズの定理）(2) と同じ仮定のもとで、さらに $P(A) > 0$ ならば、各 $j \in I$ に対し $$P(B_j \mid A) = \frac{P(A \mid B_j)\, P(B_j)}{\sum_{i \in I} P(A \mid B_i)\, P(B_i)}.$$