数学 › 確率論 › 確率空間とコルモゴロフの公理

ボレル–カンテリの補題（第一）

補題 6.5（「確率空間とコルモゴロフの公理」§6）・ ✓公理まで証明済み

$(\Omega, \mathcal{F}, P)$ を確率空間、 $(A_n)_{n \ge 1} \subset \mathcal{F}$ とする。もし

\sum_{n=1}^{\infty} P(A_n) < \infty

ならば $P\bigl(\limsup_{n \to \infty} A_n\bigr) = 0$ である。すなわち確率 $1$ で、 $A_n$ が起こる $n$ は高々有限個しかない。独立性は仮定しない。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 3 件、定義なども含めて 5 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

σ-加法族が閉じている演算✓命題 3.2・確率空間とコルモゴロフの公理
- σ-加法族と可測空間定義 3.1・確率空間とコルモゴロフの公理
確率測度の基本性質✓定理 4.2・確率空間とコルモゴロフの公理
- σ-加法族が閉じている演算✓命題 3.2・確率空間とコルモゴロフの公理（上で展開済み）
測度の連続性と σ-加法性の特徴づけ✓定理 4.3・確率空間とコルモゴロフの公理
- 確率測度の基本性質✓定理 4.2・確率空間とコルモゴロフの公理（上で展開済み）
- 完備性の公理（単調収束の原理）公理 3.1・実数の完備性とコーシー列
- σ-加法族が閉じている演算✓命題 3.2・確率空間とコルモゴロフの公理（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 2 件

ブラウン運動の二次変分✓定理 5.8・マルチンゲールとブラウン運動
道は有界変動でない✓系 3.2・確率微分方程式

関連するノック 2 問