数学 › 確率論 › マルチンゲールとブラウン運動

ブラウン運動の二次変分

定理 5.8（「マルチンゲールとブラウン運動」§5）・ ✓公理まで証明済み

$(B_t)$ を標準ブラウン運動、 $t > 0$ を固定する。二進分割 $t^n_k := kt/2^n$ （ $k = 0,1,\ldots,2^n$ ）に沿う二次変分を

Q_n := \sum_{k=1}^{2^n}\bigl(B_{t^n_k} - B_{t^n_{k-1}}\bigr)^2

と定める。このとき $E[Q_n] = t$ かつ $\operatorname{Var}(Q_n) = 2t^2/2^n$ であり、 $Q_n \to t$ が $L^2$ の意味でも確率 1 でも成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 4 件、定義なども含めて 7 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

ブラウン運動（ウィーナー過程）定義 5.1・マルチンゲールとブラウン運動
ボレル–カンテリの補題（第一）✓補題 6.5・確率空間とコルモゴロフの公理
- σ-加法族が閉じている演算✓命題 3.2・確率空間とコルモゴロフの公理
  - σ-加法族と可測空間定義 3.1・確率空間とコルモゴロフの公理
- 確率測度の基本性質✓定理 4.2・確率空間とコルモゴロフの公理
  - σ-加法族が閉じている演算✓命題 3.2・確率空間とコルモゴロフの公理（上で展開済み）
- 測度の連続性と σ-加法性の特徴づけ✓定理 4.3・確率空間とコルモゴロフの公理
  - 確率測度の基本性質✓定理 4.2・確率空間とコルモゴロフの公理（上で展開済み）
  - 完備性の公理（単調収束の原理）公理 3.1・実数の完備性とコーシー列
  - σ-加法族が閉じている演算✓命題 3.2・確率空間とコルモゴロフの公理（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 1 件

道は有界変動でない✓系 5.9・マルチンゲールとブラウン運動