数学 › 確率論 › 大数の法則と中心極限定理

収束概念の含意

定理 3.6（「大数の法則と中心極限定理」§3）・ ✓公理まで証明済み

同じ確率空間上の確率変数列 $(X_n)$ と確率変数 $X$ について、次が成り立つ。

$X_n \xrightarrow{\text{a.s.}} X$ ならば $X_n \xrightarrow{P} X$ 。
ある $p \ge 1$ について $X_n \xrightarrow{L^p} X$ ならば $X_n \xrightarrow{P} X$ 。
$X_n \xrightarrow{P} X$ ならば $X_n \xrightarrow{d} X$ 。
$c$ を定数とするとき、 $X_n \xrightarrow{d} c$ ならば $X_n \xrightarrow{P} c$ 。

1〜3 の逆はいずれも一般には成り立たない（4 は、極限が定数のときに限った 3 の逆である）。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 4 件、定義なども含めて 6 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

測度の連続性と σ-加法性の特徴づけ✓定理 4.3・確率空間とコルモゴロフの公理
- 確率測度の基本性質✓定理 4.2・確率空間とコルモゴロフの公理
  - σ-加法族が閉じている演算✓命題 3.2・確率空間とコルモゴロフの公理（上で展開済み）
- 完備性の公理（単調収束の原理）公理 3.1・実数の完備性とコーシー列
- σ-加法族が閉じている演算✓命題 3.2・確率空間とコルモゴロフの公理
  - σ-加法族と可測空間定義 3.1・確率空間とコルモゴロフの公理
マルコフ・チェビシェフの不等式✓命題 3.5・大数の法則と中心極限定理

これを使っている定理証明で参照している 2 件

Monte Carlo 推定量の誤差✓定理 2.2・Monte Carlo 積分と分散低減
大数の弱法則✓定理 4.1・大数の法則と中心極限定理

関連するノック 2 問