情報科学 › 乱数と確率的数値計算 › Monte Carlo 積分と分散低減

Monte Carlo 推定量の誤差

定理 2.2（「Monte Carlo 積分と分散低減」§2） ・ ✓公理まで証明済み

定義 2.1 の設定で次が成り立つ。

  1. E[I^N]=I\mathbb{E}[\hat I_N] = I であり、N→∞N \to \infty で I^N→I\hat I_N \to I（概収束）。
  2. σ2<∞\sigma^2 < \infty ならば Var(I^N)=σ2/N\mathrm{Var}(\hat I_N) = \sigma^2/N で、平均二乗誤差の平方根は E[(I^N−I)2]=σ/N\sqrt{\mathbb{E}[(\hat I_N - I)^2]} = \sigma/\sqrt N である。
  3. σ2<∞\sigma^2 < \infty ならば E[sN2]=σ2\mathbb{E}[s_N^2] = \sigma^2 であり、sN2→σ2s_N^2 \to \sigma^2（概収束）。
  4. 0<σ2<∞0 < \sigma^2 < \infty ならば、TN=N(I^N−I)/sNT_N = \sqrt N(\hat I_N - I)/s_N（sN=0s_N = 0 のときは TN=0T_N = 0 と定める）は標準正規分布に分布収束する。したがって任意の z>0z > 0 について lim⁡N→∞P(I^N−zsNN≤I≤I^N+zsNN)=2Φ(z)−1\lim_{N\to\infty}\mathbb{P}\Bigl(\hat I_N - z\frac{s_N}{\sqrt N} \le I \le \hat I_N + z\frac{s_N}{\sqrt N}\Bigr) = 2\Phi(z) - 1 である（Φ\Phi は標準正規分布の分布関数）。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 95 件、定義なども含めて 116 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 7 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 9 件