情報科学 › 乱数と確率的数値計算 › Monte Carlo 積分と分散低減

自己正規化推定量の一致性・漸近分散・偏り

命題 6.6（「Monte Carlo 積分と分散低減」§6） ・ ✓公理まで証明済み

定義 6.5 の設定で、∫∣f∣p<∞\int|f|p < \infty、I=∫fpI = \int fp とする。

  1. N→∞N \to \infty で I~N→I\tilde I_N \to I（概収束）。
  2. Eq[w~2(1+f2)]<∞\mathbb{E}_q[\tilde w^2(1 + f^2)] < \infty かつ τ2:=Eq[w~2(f−I)2]/Z2>0\tau^2 := \mathbb{E}_q[\tilde w^2(f - I)^2]/Z^2 > 0 ならば、N(I~N−I)\sqrt N(\tilde I_N - I) は N(0,τ2)N(0, \tau^2) に分布収束する。
  3. ff が有界（∣f∣≤Mf|f| \le M_f）で、Eq[w~2]<∞\mathbb{E}_q[\tilde w^2] < \infty かつ Pq(w~(X)>0)=1\mathbb{P}_q(\tilde w(X) > 0) = 1 ならば E[I~N]−I=−Eq[w~2(f−I)]NZ2+RN,∣RN∣≤2Mf Varq(w~)NZ2.\mathbb{E}[\tilde I_N] - I = -\frac{\mathbb{E}_q[\tilde w^2(f - I)]}{NZ^2} + R_N, \qquad |R_N| \le \frac{2M_f\,\mathrm{Var}_q(\tilde w)}{NZ^2}. 特に偏りは O(1/N)O(1/N) である。
  4. 1≤Neff≤N1 \le N_{\mathrm{eff}} \le N（分母が正のとき）であり、Eq[w~2]<∞\mathbb{E}_q[\tilde w^2] < \infty ならば Neff/N→Z2/Eq[w~2]=1/Eq[w2]N_{\mathrm{eff}}/N \to Z^2/\mathbb{E}_q[\tilde w^2] = 1/\mathbb{E}_q[w^2]（概収束）。ここで w=w~/Z=p/qw = \tilde w/Z = p/q。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 97 件、定義なども含めて 118 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

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