数学 › 解析学（実解析） › ルベーグ積分の定義と収束定理

単関数近似定理

定理 3.7（「ルベーグ積分の定義と収束定理」§3）・ ✓公理まで証明済み

$f : X \to [0, \infty]$ を可測関数とする。このとき非負単関数の列 $s_1, s_2, \ldots$ で

0 \le s_1 \le s_2 \le \cdots \le f, \qquad \lim_{n \to \infty} s_n(x) = f(x) \quad (\forall x \in X)

を満たすものが存在する。さらに $f$ が有界ならば、この収束は $X$ 上一様である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 1 件、定義なども含めて 1 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理

これを使っている定理証明で参照している 13 件

軟化と稠密性✓補題 2.2・Schwartz 空間と緩増加超関数
可換 C* 環の状態と確率測度✓補題 3.9・C* 環の状態と GNS 構成
定義関数の連続関数による近似✓補題 6.5・von Neumann 環と二重可換子定理
ドゥーブ・ディンキンの補題✓補題 2.3・条件付き期待値
積分の不変性と Koopman 作用素✓補題 2.2・エルゴード定理
回転不変性と相似✓系 3.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標
変数変換公式（ルベーグ積分版）✓定理 4.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標
非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
$C_c$ は $L^p$ で稠密✓命題 7.2・L^p 空間と関数解析への導入
Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
$C_c(\mathbb{R})$ の $L^1$ での稠密性と平行移動の連続性✓補題 5.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
C₀(X) の双対（Riesz–Markov–角谷）✓定理 6.2・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
滑らかな円筒関数による近似✓補題 8.5・Gauss 解析の道具