数学 › 確率論 › エルゴード定理

積分の不変性と Koopman 作用素

補題 2.2（「エルゴード定理」§2）・ ✓公理まで証明済み

$(X,\mathcal{B},\mu,T)$ を測度保存系とする。

可測関数 $f:X\to[0,\infty]$ について $\int f\circ T\,d\mu=\int f\,d\mu$ 。
$f\in L^1(\mu)$ なら $f\circ T\in L^1(\mu)$ で $\int f\circ T\,d\mu=\int f\,d\mu$ 。
$1\le p<\infty$ について $U_Tf=f\circ T$ は $L^p(\mu)$ 上の well-defined な線形等長作用素である。特に $\|A_nf\|_p\le\|f\|_p$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 14 件、定義なども含めて 19 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列
    アルキメデスの原理✓定理 3.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
    整数部分の存在✓補題 5.1・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
- 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
ミンコフスキーの不等式✓定理 4.5・L^p 空間と関数解析への導入
- 本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
- ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入
  - 本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
  - チェビシェフの不等式と正定値性✓補題 3.3・L^p 空間と関数解析への導入
    本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
  - ヤングの不等式✓補題 4.1・L^p 空間と関数解析への導入

これを使っている定理証明で参照している 5 件

稠密な集合での混合✓補題 3.6・エルゴード定理
最大エルゴード補題✓補題 5.1・エルゴード定理
Birkhoff の各点エルゴード定理✓定理 5.2・エルゴード定理
積分の劣加法性✓補題 2.2・劣加法エルゴード定理と Lyapunov 指数
Furstenberg–Kesten の定理✓定理 3.2・劣加法エルゴード定理と Lyapunov 指数

積分の不変性と Koopman 作用素

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 5 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 5 件