Birkhoff の各点エルゴード定理

定理 5.2（「エルゴード定理」§5）・ ✓公理まで証明済み

$(X,\mathcal{B},\mu,T)$ を測度保存系、 $\mathcal{I}$ を不変 σ-加法族、 $f\in L^1(\mu)$ とする。 $\mathcal{I}$ -可測な $\bar f\in L^1(\mu)$ が存在して次が成り立つ。

ほとんどすべての $x$ で $A_nf(x)=\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}f(T^kx)\to\bar f(x)$ 。
$\|A_nf-\bar f\|_1\to0$ 、 $\|\bar f\|_1\le\|f\|_1$ 。
すべての $B\in\mathcal{I}$ で $\int_B\bar f\,d\mu=\int_Bf\,d\mu$ 。すなわち $\bar f=E[f\mid\mathcal{I}]$ である。
$T$ がエルゴード的なら、 $\bar f=\int f\,d\mu$ a.e. である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 36 件、定義なども含めて 42 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 7 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

最大エルゴード補題✓補題 5.1・エルゴード定理
- 積分の不変性と Koopman 作用素✓補題 2.2・エルゴード定理（上で展開済み）
- ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
積分の不変性と Koopman 作用素✓補題 2.2・エルゴード定理
- 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
- ミンコフスキーの不等式✓定理 4.5・L^p 空間と関数解析への導入
  - 本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
  - ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入
    本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
    チェビシェフの不等式と正定値性✓補題 3.3・L^p 空間と関数解析への導入この先をたどる →
    ヤングの不等式✓補題 4.1・L^p 空間と関数解析への導入
ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列
    アルキメデスの原理✓定理 3.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
    整数部分の存在✓補題 5.1・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
- 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
- ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
条件付き期待値定義 3.1・条件付き期待値
条件付き期待値の存在と一意性✓定理 3.2・条件付き期待値
- 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
- ラドン・ニコディムの定理✓定理 2.1・条件付き期待値
  - Radon–Nikodym の定理✓定理 4.3・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
    Lebesgue 分解✓定理 4.2・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理この先をたどる →
エルゴード性の言い換え✓命題 3.3・エルゴード定理
- ほとんど不変な集合✓補題 3.2・エルゴード定理

これを使っている定理証明で参照している 3 件

大数の強法則（エルゴード定理による証明）✓系 5.4・エルゴード定理
Kingman の劣加法エルゴード定理✓定理 2.4・劣加法エルゴード定理と Lyapunov 指数
SL(2,ℝ) コサイクルの Oseledets の定理✓定理 4.3・劣加法エルゴード定理と Lyapunov 指数

Birkhoff の各点エルゴード定理

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 7 件）

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 7 件）

これを使っている定理証明で参照している 3 件