本質的上限と $L^∞$ 空間

定義 3.2（「L^p 空間と関数解析への導入」§3）

可測関数 $f\colon X \to \mathbb{K}$ に対して

\|f\|_\infty := \inf \bigl\{ M \in [0,\infty] \;:\; |f(x)| \le M \ \text{が a.e. } x \text{ で成り立つ} \bigr\}

と定め、本質的上限（essential supremum）という。 $\|f\|_\infty < \infty$ となる可測関数を本質的有界といい、その全体を a.e. 同値で割った空間を $L^\infty(\mu)$ と書く。

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。