数学 › 解析学（実解析） › L^p 空間と関数解析への導入

リース–フィッシャーの定理

定理 5.3（「L^p 空間と関数解析への導入」§5）・ ✓公理まで証明済み

$(X,\mathcal{M},\mu)$ を任意の測度空間、 $1 \le p \le \infty$ とする。このとき $L^p(\mu)$ はノルム $\|\cdot\|_p$ に関して完備である。すなわち $L^p(\mu)$ はバナッハ空間である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 5 件、定義なども含めて 6 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

絶対収束による完備性の判定✓補題 5.2・L^p 空間と関数解析への導入
ミンコフスキーの不等式✓定理 4.5・L^p 空間と関数解析への導入
- 本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
- ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入
  - 本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
  - チェビシェフの不等式と正定値性✓補題 3.3・L^p 空間と関数解析への導入
    本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
  - ヤングの不等式✓補題 4.1・L^p 空間と関数解析への導入
本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入

これを使っている定理証明で参照している 5 件

$W^{k,p}$ は Banach 空間✓命題 2.3・Sobolev 空間
Gagliardo–Nirenberg–Sobolev の不等式✓定理 4.3・Sobolev 空間
Doeblin のエルゴード定理✓定理 3.2・Markov 連鎖と Poisson 過程
伊藤積分の存在と基本性質✓定理 4.7・確率微分方程式
$L^2$ はヒルベルト空間✓定理 6.2・L^p 空間と関数解析への導入

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