$W^{k,p}$ は Banach 空間

命題 2.3（「Sobolev 空間」§2）・ ✓公理まで証明済み

$W^{k,p}(U)$ は Banach 空間である。 $W^{k,2}(U)$ は内積 $\sum_{|\alpha|\le k}\langle\partial^\alpha u,\partial^\alpha v\rangle$ について Hilbert 空間である。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 7 件、定義なども含めて 8 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

$L^p$ はノルム空間✓系 4.6・L^p 空間と関数解析への導入
- ミンコフスキーの不等式✓定理 4.5・L^p 空間と関数解析への導入
  - 本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
  - ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入
    本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
    チェビシェフの不等式と正定値性✓補題 3.3・L^p 空間と関数解析への導入（上で展開済み）
    ヤングの不等式✓補題 4.1・L^p 空間と関数解析への導入
- チェビシェフの不等式と正定値性✓補題 3.3・L^p 空間と関数解析への導入
  - 本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
リース–フィッシャーの定理✓定理 5.3・L^p 空間と関数解析への導入
- 絶対収束による完備性の判定✓補題 5.2・L^p 空間と関数解析への導入
- ミンコフスキーの不等式✓定理 4.5・L^p 空間と関数解析への導入（上で展開済み）
- 本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入