ヘルダーの不等式

定理 4.2（「L^p 空間と関数解析への導入」§4）・ ✓公理まで証明済み

$(X,\mathcal{M},\mu)$ を測度空間、 $1 \le p \le \infty$ 、 $q$ を $p$ の共役指数とする。可測関数 $f, g \colon X \to \mathbb{K}$ が $f \in \mathcal{L}^p(\mu)$ 、 $g \in \mathcal{L}^q(\mu)$ を満たすならば、積 $fg$ は可積分であり

\int_X |fg| \, d\mu \ \le \ \|f\|_p \, \|g\|_q

が成り立つ。すなわち $\|fg\|_1 \le \|f\|_p\|g\|_q$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 2 件、定義なども含めて 3 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
チェビシェフの不等式と正定値性✓補題 3.3・L^p 空間と関数解析への導入
- 本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
ヤングの不等式✓補題 4.1・L^p 空間と関数解析への導入

これを使っている定理証明で参照している 22 件

Young の不等式✓定理 5.1・ℝⁿ 上のフーリエ変換
単関数によるノルムの双対表示✓補題 2.3・補間と古典的不等式
Gagliardo の補題✓補題 4.2・Sobolev 空間
軟化と稠密性✓補題 2.2・Schwartz 空間と緩増加超関数
圧力の凸性と Lipschitz 性✓定理 3.3・熱力学的極限
Ladyzhenskaya の不等式と Sobolev の不等式✓補題 4.3・Navier–Stokes 方程式 I
‖∇u‖² の微分不等式✓命題 7.1・Navier–Stokes 方程式 I
Ladyzhenskaya–Prodi–Serrin の判定条件（先験評価）✓定理 3.1・Navier–Stokes 方程式 II
自然母数空間は区間で $A$ は凸✓命題 4.2・統計モデルと十分統計量
熱半群の性質✓定理 4.2・熱方程式
確率収束から L¹ 収束へ✓補題 2.1・Girsanov の定理とマルチンゲール表現定理
ベリー・エセーンの定理✓定理 5.9・大数の法則と中心極限定理
Steinhaus の定理✓補題 2.5・古典的な不等式と関数方程式
有限測度空間における包含関係✓系 4.3・L^p 空間と関数解析への導入
ミンコフスキーの不等式✓定理 4.5・L^p 空間と関数解析への導入
$L^2$ はヒルベルト空間✓定理 6.2・L^p 空間と関数解析への導入
有限測度の Lebesgue 分解と密度（von Neumann の議論）✓補題 4.1・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
平均と揺らぎの分解（原論文 Lemma 19）✓補題 9.4・Abdesselam–Rivasseau (1997) 部 2
初等的な不等式✓補題 2.1・Abdesselam–Rivasseau『An explicit large versus small field multiscale cluster expansion』(1997) 部 3
汎関数積分の Cauchy–Schwarz 分解（原論文の (296)–(299)）✓補題 5.11・Abdesselam–Rivasseau『An explicit large versus small field multiscale cluster expansion』(1997) 部 3
色分けによる Hölder の不等式✓補題 5.5・Osterwalder–Seiler『Gauge field theories on a lattice』(1978) 第 2 部
切断付きの Feynman–Kac–Nelson 公式✓補題 4.3・P(φ)₂ 模型の構成

ヘルダーの不等式

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 22 件

関連するノック 6 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 22 件