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熱半群の性質

定理 4.2（「熱方程式」§4）・ ✓公理まで証明済み

$1\le p\le\infty$ とする。

$\|P_tf\|_p\le\|f\|_p$ 。 $f\ge0$ なら $P_tf\ge0$ で、 $P_t1=1$ 。
$P_tP_s=P_{t+s}$ （ $t,s\ge0$ ）。
$1\le p\lt\infty$ なら、 $f\in L^p$ について $\|P_tf-f\|_p\to0$ （ $t\to0$ ）。したがって $t\mapsto P_tf$ は $[0,\infty)$ から $L^p$ への連続写像である。
$t\gt0$ なら $P_tf\in C^\infty(\mathbb{R}^n)$ で、 $(x,t)\mapsto P_tf(x)$ は $\mathbb{R}^n\times(0,\infty)$ で熱方程式を満たす。
$f\in C_c^2(\mathbb{R}^n)$ なら $\frac1t(P_tf-f)\to\Delta f$ （ $t\to0$ ）が $L^p$ で（ $p\lt\infty$ ）、また一様に成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 106 件、定義なども含めて 126 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入
- 本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
- チェビシェフの不等式と正定値性✓補題 3.3・L^p 空間と関数解析への導入
  - 本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
- ヤングの不等式✓補題 4.1・L^p 空間と関数解析への導入
Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
- 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
  - 切断の測度の可測性✓補題 3.1・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →
- 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
熱核の性質✓補題 2.2・熱方程式
- ガウス積分✓定理 3.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数
  - 比較判定法と絶対収束✓定理 2.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数この先をたどる →
  - 置換積分✓定理 6.1・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
- 回転不変性と相似✓系 3.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標
  - 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質この先をたどる →
  - 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質この先をたどる →
  - 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
軟化と稠密性✓補題 2.2・Schwartz 空間と緩増加超関数
- $C_c(\mathbb{R})$ の $L^1$ での稠密性と平行移動の連続性✓補題 5.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
  - 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- $C_c$ は $L^p$ で稠密✓命題 7.2・L^p 空間と関数解析への導入この先をたどる →
- ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
- 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
- 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入（上で展開済み）
- Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）
Cauchy 問題の解✓定理 2.3・熱方程式
- 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- 熱核の性質✓補題 2.2・熱方程式（上で展開済み）

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

熱半群の性質

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）