数学 › 解析学（実解析） › L^p 空間と関数解析への導入

$C_c$ は $L^p$ で稠密

命題 7.2（「L^p 空間と関数解析への導入」§7） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 59 件、定義なども含めて 69 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理

  • 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
• $ℝ^d$ のルベーグ測度は Radon でボレル正則✓命題 5.4・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理

  • ハイネ・ボレルの定理✓定理 5.2・コンパクト性

    • 閉直方体はコンパクト✓補題 5.1・コンパクト性

      • 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
    • コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性

      • 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
    • ハウスドルフ空間定義 2.1・コンパクト性
    • ハウスドルフ空間ではコンパクト集合と外部の点が分離できる✓定理 4.2・コンパクト性

      • ハウスドルフ空間定義 2.1・コンパクト性
      • 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
    • 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
  • 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理

    • 切断の測度の可測性✓補題 3.1・直積測度と Fubini–Tonelli の定理

      • 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
      • 測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理 この先をたどる →
    • 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
      • 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    • 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理 この先をたどる →
  • 区間の外測度✓命題 3.5・可測集合とルベーグ測度

    • 外測度の基本性質✓命題 3.2・可測集合とルベーグ測度 この先をたどる →
    • 可算集合の外測度は 0✓命題 3.3・可測集合とルベーグ測度
  • 第二可算な LCH 空間の開集合は σ-コンパクト✓補題 5.2・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理

    • LCH 空間の近傍基✓命題 2.2・局所コンパクト空間 この先をたどる →
  • 正則性の自動成立✓定理 5.3・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理

    • Riesz–Markov–角谷の表現定理✓定理 4.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理 この先をたどる →
    • 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
  • σ-有限な集合での内正則性✓命題 5.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
• Radon 測度定義 3.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
• σ-有限な集合での内正則性✓命題 5.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
• Urysohn の補題（台がコンパクトな版）✓定理 4.1・局所コンパクト空間

  • コンパクト集合と開集合のあいだに相対コンパクトな開集合を挟む✓補題 2.3・局所コンパクト空間

    • LCH 空間の近傍基✓命題 2.2・局所コンパクト空間 この先をたどる →
  • 一点コンパクト化の性質✓定理 3.2・局所コンパクト空間

    • コンパクトからハウスドルフへの連続全単射は同相✓系 6.5・コンパクト性 この先をたどる →
  • コンパクトハウスドルフ空間は T4✓定理 4.5・分離公理と距離づけ可能性

    • T0・T1・T2定義 3.1・分離公理と距離づけ可能性
    • コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性（上で展開済み）
  • ウリゾーンの補題✓補題 6.1・分離公理と距離づけ可能性

    • 縮小補題✓補題 4.4・分離公理と距離づけ可能性 この先をたどる →
• ミンコフスキーの不等式✓定理 4.5・L^p 空間と関数解析への導入

  • 本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
  • ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入

    • 本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
    • チェビシェフの不等式と正定値性✓補題 3.3・L^p 空間と関数解析への導入 この先をたどる →
    • ヤングの不等式✓補題 4.1・L^p 空間と関数解析への導入

これを使っている定理 証明で参照している 10 件

• 離散アーベル群の双対性✓命題 7.2・Peter–Weyl の定理
• 平行移動の連続性✓補題 2.2・フーリエ級数
• 平行移動の連続性✓補題 2.3・ℝⁿ 上のフーリエ変換
• 軟化と稠密性✓補題 2.2・Schwartz 空間と緩増加超関数
• Leray–Hopf の弱解の存在（トーラス）✓定理 5.2・Navier–Stokes 方程式 I
• Pólya–Szegő の不等式✓定理 6.7・Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則
• 球の外で消える H¹ 関数✓補題 6.8・Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則
• Steinhaus の定理✓補題 2.5・古典的な不等式と関数方程式
• ディラテーション群とその生成子✓補題 5.6・波動作用素と漸近完全性
• ドリフトの区分定数近似✓補題 8.4・Gauss 解析の道具