外測度の基本性質

命題 3.2（「可測集合とルベーグ測度」§3）・ ✓公理まで証明済み

外測度 $m^{*}$ について次が成り立つ。

$m^{*}(\emptyset) = 0$ 。
（単調性） $A \subset B$ ならば $m^{*}(A) \le m^{*}(B)$ 。
（可算劣加法性） $A_1, A_2, \ldots \subset \mathbb{R}$ に対し $\displaystyle m^{*}\left( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \right) \le \sum_{n=1}^{\infty} m^{*}(A_n)$ 。
（平行移動不変性） $t \in \mathbb{R}$ と $A \subset \mathbb{R}$ に対し $m^{*}(A + t) = m^{*}(A)$ 。ここで $A + t = \{a + t : a \in A\}$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 13 件、定義なども含めて 14 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定
- 正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定
  - 単調有界定理✓定理 2.1・級数と収束判定
- 数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
- 複素数の数列・級数の基本性質✓補題 7.8・級数と収束判定
  - 三角不等式✓定理 3.4・複素数と複素平面
    共役と絶対値の基本法則✓命題 3.2・複素数と複素平面（上で展開済み）
  - 共役と絶対値の基本法則✓命題 3.2・複素数と複素平面
    複素数体の基本性質✓定理 2.2・複素数と複素平面
  - 比較判定法✓定理 4.2・級数と収束判定（上で展開済み）
  - 絶対収束すれば収束する✓定理 7.2・級数と収束判定
    級数のコーシーの判定条件✓定理 3.8・級数と収束判定この先をたどる →
    正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定（上で展開済み）
  - 正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定（上で展開済み）
  - 数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
- ディリクレの定理（絶対収束する級数の並べ替え）✓定理 7.10・級数と収束判定
  - 正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定（上で展開済み）
  - 複素数の数列・級数の基本性質✓補題 7.8・級数と収束判定（上で展開済み）
  - 絶対収束すれば収束する✓定理 7.2・級数と収束判定（上で展開済み）
  - 数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
- 比較判定法✓定理 4.2・級数と収束判定
  - 有限個の項の変更・定数倍・和✓命題 3.2・級数と収束判定
  - 正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 9 件

区間の外測度✓命題 3.5・可測集合とルベーグ測度
可測性の検証は片側の不等式で足りる✓補題 4.2・可測集合とルベーグ測度
外測度零の集合は可測✓命題 4.4・可測集合とルベーグ測度
可測集合族の構造✓定理 4.5・可測集合とルベーグ測度
ルベーグ測度の完全加法性✓系 4.7・可測集合とルベーグ測度
区間・開集合・ボレル集合の可測性✓定理 5.1・可測集合とルベーグ測度
リーマン積分可能性のルベーグの判定条件✓定理 6.3・可測集合とルベーグ測度
可測集合はボレル集合と零集合の差でしか違わない✓命題 6.6・可測集合とルベーグ測度
ルベーグ可測関数はボレル可測関数とほとんど至るところ等しい✓補題 6.7・可測集合とルベーグ測度

外測度の基本性質

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理 証明で参照している 9 件

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

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