共役と絶対値の基本法則

$z, w \in \mathbb{C}$ とする。

1. $\overline{z+w} = \bar z + \bar w$、$\overline{zw} = \bar z\,\bar w$、$\overline{\bar z} = z$。
2. $\operatorname{Re} z = \dfrac{z + \bar z}{2}$、$\operatorname{Im} z = \dfrac{z - \bar z}{2i}$。とくに $z \in \mathbb{R} \iff \bar z = z$。
3. $z\bar z = |z|^2$。とくに $z \ne 0$ のとき $z^{-1} = \dfrac{\bar z}{|z|^2}$。
4. $|zw| = |z|\,|w|$、および $w \ne 0$ のとき $\left| \dfrac{z}{w} \right| = \dfrac{|z|}{|w|}$。
5. $|z| = 0 \iff z = 0$、$|\bar z| = |z|$。