複素関数論

数学学部無料 12 章有料 0 章

正則関数の強力な性質（コーシーの積分定理、一致の定理）を強調する。

想定読者: 大学生（理系）

前提テーマ:微分積分学

このテーマの 100 本ノック（100 問）

目次

1. 第 1 章複素数と複素平面無料三次方程式の実数解を求める過程で虚数が不可避になった経緯から出発し、複素数体の構成、共役と絶対値、極形式とオイラーの公式、ド・モアブルの定理と 1 の n 乗根、複素平面の開集合と領域までを証明付きで整理します。
2. 第 2 章正則関数とコーシー・リーマンの関係式無料複素微分可能性を「どの方向から近づいても同じ極限」という要求として読み解き、コーシー・リーマンの関係式を導く。偏微分の存在だけでは足りない反例を挙げ、全微分可能性を加えれば必要十分になることを証明し、指数関数・三角関数・対数の主枝の正則性を確かめる。
3. 第 3 章コーシーの積分定理と積分公式無料複素線積分を定義から積み上げ、グリーンの定理とコーシー・リーマンの関係式からコーシーの積分定理を証明する。グルサの定理で導関数の連続性の仮定を外し、積分路の変形を経てコーシーの積分公式を導き、正則関数が境界の値だけで決まることを示す。
4. 第 4 章正則関数の強力な性質無料コーシーの積分公式から「正則関数は無限回微分可能」を導き、コーシーの評価式・リューヴィルの定理・代数学の基本定理、テイラー展開とローラン展開、そして一致の定理までを、実関数論との違いを対比しながら証明します。
5. 第 5 章留数定理と定積分への応用無料孤立特異点を除去可能・極・真性の三つに分類し、留数を定義して留数定理を証明する。さらに有理関数の広義積分、三角関数の周期積分、ジョルダンの補題を使うフーリエ型積分を、輪郭の選び方から計算例まで具体的に扱う。
6. 第 6 章等角写像とリーマン写像定理無料正則関数が角度を保つ理由をコーシー・リーマンの関係式から示し、メビウス変換の円円対応と交比、シュワルツの補題による単位円板の自己同型の決定を経て、リーマンの写像定理の主張と意義までを追う。
7. 第 7 章偏角の原理と Rouché の定理無料留数定理から偏角の原理を導き、Rouché の定理で零点の個数を比較する。Hurwitz の定理と開写像定理を証明し、多項式の根・固有値の連続性に応用する。
8. 第 8 章最大値原理と正則関数族無料境界値だけで評価する最大値原理を、Schwarz–Pick・Phragmén–Lindelöf・三線定理・二定数定理へ広げ、Montel の定理と Vitali の定理を証明して極限の交換に使う。
9. 第 9 章調和関数と Poisson 積分無料円板の Poisson 積分公式から Dirichlet 問題を解き、平均値性質・Harnack の不等式と原理・Herglotz の表現・Schwarz の鏡像原理までを証明つきで導く。
10. 第 10 章Jensen の公式と劣調和関数無料劣調和関数の定義・最大値原理・円周平均の単調性を整え、log|f| の劣調和性から Jensen の公式と Poisson–Jensen 公式を証明し、零点の個数評価・三円定理・Mahler 測度へ応用する。
11. 第 11 章整関数とガンマ関数無料整関数を零点で因数分解する Weierstrass の定理と Mittag-Leffler の定理を証明し、sin の無限積・Γ 関数の相反公式と Stirling の公式・ζ 関数の関数等式を導く。
12. 第 12 章多変数複素関数論無料多重円板の Cauchy 積分公式と Cauchy 評価から多変数正則関数のべき級数展開を導き、変数ごとに正則なら正則という Hartogs の定理と、管状領域上の正則関数が凸包まで延びるという Bochner の管定理を証明する。