複素数体の基本性質

定義 2.1 の演算について、次が成り立つ。

1. $(\mathbb{C}, +, \cdot)$ は体である。すなわち加法・乗法はともに可換かつ結合的で、乗法は加法に対し分配的であり、加法単位元 $(0,0)$、乗法単位元 $1 = (1,0)$ を持ち、$(0,0)$ でない任意の元は乗法逆元を持つ。
2. 写像 $\iota : \mathbb{R} \to \mathbb{C},\ a \mapsto (a,0)$ は単射であり、和と積を保つ。すなわち $\iota(a+b) = \iota(a) + \iota(b)$、$\iota(ab) = \iota(a)\iota(b)$ が成り立つ。
3. $i^2 = -1$、すなわち $(0,1)\cdot(0,1) = (-1,0)$ である。
4. 任意の $z = (a,b) \in \mathbb{C}$ は $z = \iota(a) + \iota(b)\, i$ と書け、この表示における $a, b$ は一意である。