複素数の n 乗根

定理 5.4（「複素数と複素平面」§5）・ ✓公理まで証明済み

$n$ を正の整数、 $w = \rho e^{i\varphi}$ （ $\rho > 0$ 、 $\varphi\in\mathbb{R}$ ）を $0$ でない複素数とする。このとき方程式 $z^n = w$ の解はちょうど $n$ 個あり、それらは

z_k = \rho^{1/n}\, \exp\!\left( i\,\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right) \qquad (k = 0, 1, \ldots, n-1)

で与えられる。ここで $\rho^{1/n}$ は正の実数の正の $n$ 乗根である。これらの点は原点を中心とする半径 $\rho^{1/n}$ の円周上に等間隔に並び、 $n \ge 3$ のとき正 $n$ 角形の頂点をなす。

とくに $w=1$ の場合、解の全体 $\mu_n = \{1, \zeta, \zeta^2, \ldots, \zeta^{n-1}\}$ （ $\zeta := e^{2\pi i/n}$ ）は乗法に関して位数 $n$ の巡回群をなし、 $n \ge 2$ のとき

1 + \zeta + \zeta^2 + \cdots + \zeta^{n-1} = 0

が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 57 件、定義なども含めて 72 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

ド・モアブルの定理✓定理 5.1・複素数と複素平面
- 指数法則✓補題 4.1・複素数と複素平面
  - ダランベールの比判定法✓定理 6.2・級数と収束判定
    上極限・下極限の基本性質✓補題 2.3・級数と収束判定
    等比級数の収束と発散✓命題 3.6・級数と収束判定この先をたどる →
    有限個の項の変更・定数倍・和✓命題 3.2・級数と収束判定
    比較判定法✓定理 4.2・級数と収束判定この先をたどる →
    一般項の必要条件✓命題 3.5・級数と収束判定この先をたどる →
  - 絶対収束する級数のコーシー積✓定理 7.9・級数と収束判定
    複素数の数列・級数の基本性質✓補題 7.8・級数と収束判定この先をたどる →
    絶対収束すれば収束する✓定理 7.2・級数と収束判定この先をたどる →
    三角不等式✓定理 3.4・複素数と複素平面この先をたどる →
    共役と絶対値の基本法則✓命題 3.2・複素数と複素平面（上で展開済み）
    正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定この先をたどる →
  - 複素数体の基本性質✓定理 2.2・複素数と複素平面
- オイラーの公式✓定理 4.2・複素数と複素平面（上で展開済み）
オイラーの公式✓定理 4.2・複素数と複素平面
- 余弦・正弦（べき級数による定義）定義 6.1・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
- exp(ix) = cos x + i sin x✓補題 6.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
  - cos・sin の収束・対称性・導関数✓定理 6.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
    単調有界定理✓定理 2.1・級数と収束判定
    ワイエルシュトラスの M 判定法✓系 6.4・関数列と一様収束この先をたどる →
    単項式の導関数✓補題 3.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義するこの先をたどる →
    項別微分（極限と微分の交換）✓定理 7.3・関数列と一様収束この先をたどる →
  - 数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
- 共役複素数と絶対値定義 3.1・複素数と複素平面
- cos² + sin² = 1✓定理 6.5・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
  - 加法定理✓定理 6.4・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
    指数法則✓補題 4.1・複素数と複素平面（上で展開済み）
    exp(ix) = cos x + i sin x✓補題 6.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義する（上で展開済み）
  - cos・sin の収束・対称性・導関数✓定理 6.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義する（上で展開済み）
- 周期性と基本的な対称性✓定理 7.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
  - 加法定理✓定理 6.4・指数・対数・三角関数をきちんと定義する（上で展開済み）
  - cos の最小の正の零点✓補題 7.1・指数・対数・三角関数をきちんと定義するこの先をたどる →
  - 導関数の符号と単調性✓系 3.4・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
極形式の存在と偏角の一意性✓補題 4.4・複素数と複素平面
- 共役と絶対値の基本法則✓命題 3.2・複素数と複素平面
  - 複素数体の基本性質✓定理 2.2・複素数と複素平面
- 三角関数の制限は全単射✓補題 9.1・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
  - 周期性と基本的な対称性✓定理 7.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義する（上で展開済み）
  - 中間値の定理✓定理 5.7・極限と連続性（上で展開済み）
  - 微分の線形性・積の法則・商の法則✓定理 6.1・導関数の定義と基本的な微分法この先をたどる →
  - 導関数の符号と単調性✓系 3.4・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
- 周期性と基本的な対称性✓定理 7.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義する（上で展開済み）
- 中間値の定理✓定理 5.7・極限と連続性
  - 実数の連続性公理（上限性質）公理 5.1・数とは何か
- cos² + sin² = 1✓定理 6.5・指数・対数・三角関数をきちんと定義する（上で展開済み）
- 指数法則✓補題 4.1・複素数と複素平面（上で展開済み）
- オイラーの公式✓定理 4.2・複素数と複素平面（上で展開済み）
複素数体の基本性質✓定理 2.2・複素数と複素平面

これを使っている定理証明で参照している 3 件

複素数係数の 2 次方程式✓定理 4.2・多項式の割り算と高次方程式
Cardano の公式✓定理 7.1・多項式の割り算と高次方程式
正多角形の頂点までの距離の積✓定理 5.2・複素数平面と作図

複素数の n 乗根

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

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