数学 › 解析学（実解析） › 関数列と一様収束

項別微分（極限と微分の交換）

定理 7.3（「関数列と一様収束」§7） ・ ✓公理まで証明済み

a<ba < b とし、fn ⁣:[a,b]→Rf_n \colon [a,b] \to \mathbb{R}（n∈Nn \in \mathbb{N}）はすべて C1C^1 級（[a,b][a,b] 上微分可能で、導関数 fn′f_n' が [a,b][a,b] 上連続。端点では片側微分係数を取る）とする。さらに次を仮定する。

  1. ある点 x0∈[a,b]x_0 \in [a,b] が存在して、数列 (fn(x0))n(f_n(x_0))_n は収束する。
  2. 導関数の列 (fn′)(f_n') は [a,b][a,b] 上ある関数 g ⁣:[a,b]→Rg \colon [a,b] \to \mathbb{R} に一様収束する。

このとき (fn)(f_n) は [a,b][a,b] 上ある関数 ff に一様収束し、ff は C1C^1 級で f′=gf' = g、すなわち

(lim⁡n→∞fn)′=lim⁡n→∞fn′([a,b] 上で)\Bigl(\lim_{n \to \infty} f_n\Bigr)' = \lim_{n \to \infty} f_n' \qquad ([a,b] \text{ 上で})

が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 14 件、定義なども含めて 20 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 12 件

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