数学 › 常微分方程式 › Sturm–Liouville 問題と Green 関数

熱伝導の変数分離解

定理 7.4（「Sturm–Liouville 問題と Green 関数」§7）・ ✓公理まで証明済み

$u_0\in C^2[0,\ell]$ で $u_0(0)=u_0(\ell)=0$ とし、 $a_n=\frac2\ell\int_0^\ell u_0\sin k_nx\,dx$ とおく。

u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty a_n\,e^{-k_n^2t}\sin k_nx

は $[0,\ell]\times[0,\infty)$ で連続、 $[0,\ell]\times(0,\infty)$ で $C^\infty$ 級で、 $u_t=u_{xx}$ 、 $u(0,t)=u(\ell,t)=0$ 、 $u(x,0)=u_0(x)$ を満たす。さらに、 $u\in C^{2,1}((0,\ell)\times(0,T])\cap C([0,\ell]\times[0,T])$ でこれらを満たすものは、各 $T>0$ で $u$ だけである。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 147 件、定義なども含めて 170 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

正弦係数の減衰✓補題 7.1・Sturm–Liouville 問題と Green 関数
- ベッセルの不等式✓定理 6.2・Hilbert 空間の基礎
弦の振動の変数分離解✓定理 7.2・Sturm–Liouville 問題と Green 関数
- 正弦係数の減衰✓補題 7.1・Sturm–Liouville 問題と Green 関数（上で展開済み）
- ワイエルシュトラスの M 判定法✓系 6.4・関数列と一様収束（上で展開済み）
- 項別微分（極限と微分の交換）✓定理 7.3・関数列と一様収束（上で展開済み）
- 固有関数展開の完備性✓定理 6.1・Sturm–Liouville 問題と Green 関数
  - 振動定理✓定理 4.2・Sturm–Liouville 問題と Green 関数
    初期値への微分可能依存性✓定理 8.1・解の存在と一意性この先をたどる →
    1 階線形方程式の解の公式✓定理 4.2・常微分方程式の初等解法この先をたどる →
    固有値の基本性質✓命題 2.2・Sturm–Liouville 問題と Green 関数（上で展開済み）
  - Hilbert–Schmidt 作用素と L² 積分核✓定理 6.4・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
  - Hilbert–Schmidt 作用素の性質✓命題 6.3・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
    Hilbert–Schmidt ノルムの基底によらなさ✓命題 6.1・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラスこの先をたどる →
    有限ランク近似✓定理 3.4・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラスこの先をたどる →
  - Hilbert–Schmidt の定理✓定理 4.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
    ノルムは固有値として達成される✓補題 4.1・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラスこの先をたどる →
    コンパクト作用素は閉じた両側イデアル✓命題 3.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
    対角作用素のコンパクト性✓命題 3.6・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラスこの先をたどる →
  - Green 関数による境界値問題の解✓定理 5.2・Sturm–Liouville 問題と Green 関数
  - 固有値の基本性質✓命題 2.2・Sturm–Liouville 問題と Green 関数
    Lagrange の恒等式✓補題 2.1・Sturm–Liouville 問題と Green 関数
    斉次線形系の解空間✓定理 2.1・線形微分方程式系この先をたどる →
- 初期値・境界値問題の一意性✓系 5.2・波動方程式
  - エネルギー保存✓定理 5.1・波動方程式
    Green の公式✓系 2.2・ラプラス方程式と調和関数この先をたどる →
ワイエルシュトラスの M 判定法✓系 6.4・関数列と一様収束
- 一様収束のコーシー判定法✓定理 6.2・関数列と一様収束
  - 一様収束定義 3.2・関数列と一様収束
  - 一様コーシー列定義 6.1・関数列と一様収束
  - 実数の完備性（コーシーの収束判定法）✓定理 7.3・実数の完備性とコーシー列
    コーシー列の基本性質✓命題 7.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
    ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理✓定理 6.3・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
    コーシー列定義 7.1・実数の完備性とコーシー列
    部分列定義 6.1・実数の完備性とコーシー列
項別微分（極限と微分の交換）✓定理 7.3・関数列と一様収束
- 一様収束極限の連続性✓定理 4.1・関数列と一様収束
  - 一様収束定義 3.2・関数列と一様収束
- 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分
  - ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理
    ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
  - タグ付き分割とリーマン和定義 2.2・積分の基本定理と定積分
- 一様収束の上限判定法✓命題 3.4・関数列と一様収束
  - 一様収束定義 3.2・関数列と一様収束
有界領域での弱最大値原理✓定理 3.1・熱方程式

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

熱伝導の変数分離解

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）