正弦係数の減衰

$u_0\in C^2[0,\ell]$ で $u_0(0)=u_0(\ell)=0$ なら、$a_n=\frac2\ell\int_0^\ell u_0\sin k_nx\,dx$ は $a_n=-\frac1{k_n^2}\sqrt{\frac2\ell}\,\delta_n$（$\delta_n=\langle u_0'',\varphi_n\rangle$、$\sum\delta_n^2\le\|u_0''\|_2^2$）を満たし、$\sum_n|a_n|<\infty$ である。さらに $u_0\in C^3[0,\ell]$ で $u_0''(0)=u_0''(\ell)=0$ なら、$a_n=-\frac1{k_n^3}\sqrt{\frac2\ell}\,\gamma_n$（$\gamma_n=\langle u_0''',\psi_n\rangle$、$\sum\gamma_n^2\le\|u_0'''\|_2^2$）で、$\sum_nn^2|a_n|<\infty$ である。