数学 › 常微分方程式 › Sturm–Liouville 問題と Green 関数

弦の振動の変数分離解

定理 7.2（「Sturm–Liouville 問題と Green 関数」§7）・ ✓公理まで証明済み

$u_0\in C^3[0,\ell]$ で $u_0(0)=u_0(\ell)=u_0''(0)=u_0''(\ell)=0$ 、 $u_1\in C^2[0,\ell]$ で $u_1(0)=u_1(\ell)=0$ とする。係数を $a_n=\frac2\ell\int_0^\ell u_0\sin k_nx\,dx$ 、 $b_n=\frac2\ell\int_0^\ell u_1\sin k_nx\,dx$ として

u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty\Bigl(a_n\cos k_nt+\frac{b_n}{k_n}\sin k_nt\Bigr)\sin k_nx

は $[0,\ell]\times\mathbb{R}$ 上で $C^2$ 級で、 $u_{tt}=u_{xx}$ 、 $u(0,t)=u(\ell,t)=0$ 、 $u(x,0)=u_0(x)$ 、 $u_t(x,0)=u_1(x)$ を満たす。さらに、 $t\ge0$ でこれらを満たす $C^2$ 級の解は $u$ だけである。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 145 件、定義なども含めて 168 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

正弦係数の減衰✓補題 7.1・Sturm–Liouville 問題と Green 関数
- ベッセルの不等式✓定理 6.2・Hilbert 空間の基礎
ワイエルシュトラスの M 判定法✓系 6.4・関数列と一様収束
- 一様収束のコーシー判定法✓定理 6.2・関数列と一様収束
  - 一様収束定義 3.2・関数列と一様収束
  - 一様コーシー列定義 6.1・関数列と一様収束
  - 実数の完備性（コーシーの収束判定法）✓定理 7.3・実数の完備性とコーシー列
    コーシー列の基本性質✓命題 7.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
    ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理✓定理 6.3・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
    コーシー列定義 7.1・実数の完備性とコーシー列
    部分列定義 6.1・実数の完備性とコーシー列
項別微分（極限と微分の交換）✓定理 7.3・関数列と一様収束
- 一様収束極限の連続性✓定理 4.1・関数列と一様収束
  - 一様収束定義 3.2・関数列と一様収束
- 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分
  - ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理
    ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
  - タグ付き分割とリーマン和定義 2.2・積分の基本定理と定積分
- 一様収束の上限判定法✓命題 3.4・関数列と一様収束
  - 一様収束定義 3.2・関数列と一様収束
固有関数展開の完備性✓定理 6.1・Sturm–Liouville 問題と Green 関数
- 振動定理✓定理 4.2・Sturm–Liouville 問題と Green 関数
  - 初期値への微分可能依存性✓定理 8.1・解の存在と一意性
    C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性この先をたどる →
    初期値・初期時刻への連続依存性✓定理 7.1・解の存在と一意性この先をたどる →
    線形増大なら大域的に存在する✓系 6.2・解の存在と一意性この先をたどる →
    コンパクト集合上の連続関数の一様連続性✓補題 2.3・常微分方程式の初等解法この先をたどる →
    Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性この先をたどる →
  - 1 階線形方程式の解の公式✓定理 4.2・常微分方程式の初等解法
    微分積分学の基本定理（第一部）✓定理 5.2・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
    導関数が 0 の関数✓補題 2.2・常微分方程式の初等解法この先をたどる →
  - 固有値の基本性質✓命題 2.2・Sturm–Liouville 問題と Green 関数（上で展開済み）
- Hilbert–Schmidt 作用素と L² 積分核✓定理 6.4・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
- Hilbert–Schmidt 作用素の性質✓命題 6.3・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
  - Hilbert–Schmidt ノルムの基底によらなさ✓命題 6.1・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
    二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定この先をたどる →
  - 有限ランク近似✓定理 3.4・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
    コンパクト作用素は閉じた両側イデアル✓命題 3.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
- Hilbert–Schmidt の定理✓定理 4.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
  - ノルムは固有値として達成される✓補題 4.1・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
    自己共役作用素のスペクトル✓定理 6.10・有界作用素と共役作用素この先をたどる →
  - コンパクト作用素は閉じた両側イデアル✓命題 3.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
  - 対角作用素のコンパクト性✓命題 3.6・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラスこの先をたどる →
- Green 関数による境界値問題の解✓定理 5.2・Sturm–Liouville 問題と Green 関数
- 固有値の基本性質✓命題 2.2・Sturm–Liouville 問題と Green 関数
  - Lagrange の恒等式✓補題 2.1・Sturm–Liouville 問題と Green 関数
  - 斉次線形系の解空間✓定理 2.1・線形微分方程式系この先をたどる →
初期値・境界値問題の一意性✓系 5.2・波動方程式
- エネルギー保存✓定理 5.1・波動方程式
  - Green の公式✓系 2.2・ラプラス方程式と調和関数この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 1 件

熱伝導の変数分離解✓定理 7.4・Sturm–Liouville 問題と Green 関数

弦の振動の変数分離解

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

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