線形増大なら大域的に存在する

系 6.2（「解の存在と一意性」§6）・ ✓公理まで証明済み

$I$ を開区間とし、 $f:I\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ は連続かつ $y$ について局所 Lipschitz 連続で、連続関数 $A,B\ge0$ により $|f(x,y)|\le A(x)|y|+B(x)$ を満たすとする。このとき、任意の $(x_0,y_0)\in I\times\mathbb{R}^n$ に対し、最大解は $I$ 全体で定義される。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 33 件、定義なども含めて 45 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性
- 導関数の符号と単調性✓系 3.4・平均値の定理とテイラーの定理
  - ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理
    ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
最大解は端点でコンパクト集合から脱出する✓定理 6.1・解の存在と一意性
- C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性
  - ベクトル値関数の平均値不等式✓補題 2.2・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値
    ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理（上で展開済み）
- Picard–Lindelöf の定理✓定理 4.1・解の存在と一意性
  - 一様収束のコーシー判定法✓定理 6.2・関数列と一様収束
    一様収束定義 3.2・関数列と一様収束
    一様コーシー列定義 6.1・関数列と一様収束
    実数の完備性（コーシーの収束判定法）✓定理 7.3・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
  - 一様収束極限の連続性✓定理 4.1・関数列と一様収束
    一様収束定義 3.2・関数列と一様収束
  - 縮小写像の原理（Banach の不動点定理）✓定理 6.2・距離空間
  - 初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性
    微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
    微分積分学の基本定理（第一部）✓定理 5.2・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
- 解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性
  - 初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性（上で展開済み）
  - 積分のノルム✓補題 2.1・解の存在と一意性
  - Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 6 件

空間曲線の基本定理✓定理 2.4・曲線と曲面
初期値への微分可能依存性✓定理 8.1・解の存在と一意性
初期値への $C^k$ 依存性✓定理 8.4・解の存在と一意性
斉次線形系の解空間✓定理 2.1・線形微分方程式系
定数変化法✓定理 3.1・線形微分方程式系
Prüfer 変換✓補題 4.1・Sturm–Liouville 問題と Green 関数

線形増大なら大域的に存在する

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理 証明で参照している 6 件

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