微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）

定理 5.4（「積分の基本定理と定積分」§5）・ ✓公理まで証明済み

$f : [a,b] \to \mathbb{R}$ が $[a,b]$ で可積分であるとする。さらに、関数 $F : [a,b] \to \mathbb{R}$ が

$[a,b]$ 上連続であり、
$(a,b)$ の各点で微分可能で、すべての $x \in (a,b)$ について $F'(x) = f(x)$

を満たすとする。このとき

\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) .

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 11 件、定義なども含めて 16 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理
- ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理
  - 最大値・最小値の定理✓定理 2.3・平均値の定理とテイラーの定理
    実数の連続性公理（上限性質）公理 5.1・数とは何か
    最大値の原理（ワイエルシュトラスの定理）✓定理 4.2・連続関数と一様連続性この先をたどる →
    極限の四則✓定理 4.2・極限と連続性この先をたどる →
  - 極大・極小定義 2.1・平均値の定理とテイラーの定理
  - フェルマーの補題✓補題 2.5・平均値の定理とテイラーの定理
    極大・極小定義 2.1・平均値の定理とテイラーの定理
タグ付き分割とリーマン和定義 2.2・積分の基本定理と定積分

これを使っている定理証明で参照している 25 件

Koksma の不等式（C¹ 級の場合）✓定理 4.1・準 Monte Carlo 法
べき関数の広義積分の収束条件✓命題 2.4・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数
置換積分✓定理 6.1・積分の基本定理と定積分
部分積分✓定理 6.2・積分の基本定理と定積分
ウォリス積分の漸化式✓命題 6.4・積分の基本定理と定積分
平行四辺形は縦線集合であり、ずらしで面積は変わらない✓補題 6.3・重積分と累次積分
平行四辺形の面積は行列式の絶対値✓補題 6.4・重積分と累次積分
p 級数✓系 5.2・級数と収束判定
勾配場の線積分✓命題 3.3・ベクトル解析と積分定理
星型領域でのポテンシャルの存在✓定理 3.7・ベクトル解析と積分定理
グリーンの定理✓定理 6.1・ベクトル解析と積分定理
複素線積分に対する微積分の基本定理✓定理 3.2・コーシーの積分定理と積分公式
熱方程式の解の一意性✓補題 4.4・熱核の漸近展開
単位円の弧の長さ = θ✓定理 8.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
基本的な関数の原始関数✓命題 2.1・積分法
球帯の面積（Archimedes）✓定理 4.2・立体の体積・球面・多面体
Hadamard の補題✓補題 5.3・接ベクトル空間と接バンドル
Taylor の定理の積分剰余形✓補題 3.1・数値積分 I
初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性
項別微分（極限と微分の交換）✓定理 7.3・関数列と一様収束
補間の補題（原論文の Lemma 1）✓補題 3.3・Abdesselam–Rivasseau (1997) 部 1
熱核による表示✓補題 8.1・Abdesselam–Rivasseau (1997) 部 2
平均と揺らぎの分解（原論文 Lemma 19）✓補題 9.4・Abdesselam–Rivasseau (1997) 部 2
補間公式とその連結成分への分解（原論文 (5.20)–(5.22)）✓定理 4.7・Gawędzki–Kupiainen『Massless lattice φ⁴₄ theory』(1985) 第 2 部
静電場は保存力場✓系 6.3・静電場とガウスの法則

微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

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