数学 › 微分積分学 › 平均値の定理とテイラーの定理

ロルの定理

定理 3.1（「平均値の定理とテイラーの定理」§3）・ ✓公理まで証明済み

$a < b$ とし、 $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ が次の三つを満たすとします。

$f$ は閉区間 $[a,b]$ 上で連続である。
$f$ は開区間 $(a,b)$ の各点で微分可能である。
$f(a) = f(b)$ 。

このとき、 $f'(c) = 0$ を満たす $c \in (a,b)$ が存在します。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 9 件、定義なども含めて 13 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

最大値・最小値の定理✓定理 2.3・平均値の定理とテイラーの定理
- 実数の連続性公理（上限性質）公理 5.1・数とは何か
- 最大値の原理（ワイエルシュトラスの定理）✓定理 4.2・連続関数と一様連続性
  - 有界性定理✓定理 4.1・連続関数と一様連続性
    ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理✓補題 2.2・連続関数と一様連続性（上で展開済み）
    連続性定義 3.1・連続関数と一様連続性
  - ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理✓補題 2.2・連続関数と一様連続性
    区間縮小法✓補題 2.1・連続関数と一様連続性
  - 連続性の点列による特徴づけ✓命題 3.2・連続関数と一様連続性
    連続性定義 3.1・連続関数と一様連続性
  - 連続性定義 3.1・連続関数と一様連続性
- 極限の四則✓定理 4.2・極限と連続性
  - 関数の極限定義 3.1・極限と連続性
  - 収束すれば局所有界✓補題 4.1・極限と連続性
    関数の極限定義 3.1・極限と連続性
極大・極小定義 2.1・平均値の定理とテイラーの定理
フェルマーの補題✓補題 2.5・平均値の定理とテイラーの定理
- 極大・極小定義 2.1・平均値の定理とテイラーの定理

これを使っている定理証明で参照している 7 件

ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理
コーシーの平均値の定理✓定理 3.7・平均値の定理とテイラーの定理
ロピタルの定理（0/0 型・右側極限）✓定理 4.1・平均値の定理とテイラーの定理
実根だけをもつ多項式の導関数✓補題 7.10・数え上げと母関数
2 階の差分商の平均値定理✓補題 6.1・非線形方程式の反復解法
Rolle の定理の繰り返し✓補題 3.4・多項式補間
Hermite 補間の存在・一意性と誤差✓定理 4.2・多項式補間

関連するノック 3 問