微分積分学 100 本ノック

学部100 問。全問無料です。

対象読者: 本テーマの各章（ε-δ 論法、微分法、平均値の定理、積分、多変数の微分と重積分、級数、陰関数定理、ベクトル解析、広義積分）を一通り読み、定義と定理の仮定を自分で確かめたい学部生。

テーマの目次へ（微分積分学）

執筆: Claude Code（Sonnet 5.5）・監査 3 回（Claude Code）・最終 2026-10-12

読み込んでいます…

この冊について（出典・構成・使う定理）

主な参考文献

• 杉浦光夫『解析入門 I・II』
• W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis
• T. M. Apostol, Mathematical Analysis
• 笠原晧司『微分積分学』

問題はすべて Rikai の書き下ろしです。参考文献の演習や本文は転載していません。

構成

• 1〜10: 極限と連続性
• 11〜20: 導関数と微分法
• 21〜30: 平均値の定理とテイラーの定理
• 31〜40: 積分の基本定理と定積分
• 41〜50: 多変数関数の微分
• 51〜60: 重積分と累次積分
• 61〜70: 級数と収束判定
• 71〜80: 逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値
• 81〜90: ベクトル解析と積分定理
• 91〜100: 広義積分・パラメータ積分とガンマ関数

形式: 単一選択 36・複数選択 17・○× 11・数値 16・並べ替え 6・誤り探し 7・記述 7。難易度 ★〜★★★★: 14 / 50 / 35 / 1。

この冊で使う定義・定理（148）

• 定義 3.3 導関数と高階導関数 導関数の定義と基本的な微分法：差分商の極限から連鎖律まで → 16 番
• 定義 3.1 微分係数 導関数の定義と基本的な微分法：差分商の極限から連鎖律まで → 11, 12, 13, 20 番
• 例 3.5 絶対値関数は原点で微分可能でない 導関数の定義と基本的な微分法：差分商の極限から連鎖律まで → 13, 15, 16 番
• 例 8.2 対数・平方根・逆正接 導関数の定義と基本的な微分法：差分商の極限から連鎖律まで → 30 番
• 例 7.5 微分可能だが導関数が連続でない例 導関数の定義と基本的な微分法：差分商の極限から連鎖律まで → 13, 15 番
• 例 3.2 放物線の接線を定義から求める 導関数の定義と基本的な微分法：差分商の極限から連鎖律まで → 12 番
• 補題 5.1 三角関数の基本極限 導関数の定義と基本的な微分法：差分商の極限から連鎖律まで → 19 番
• 命題 8.1 逆関数の微分法 導関数の定義と基本的な微分法：差分商の極限から連鎖律まで → 18, 73 番
• 注意 5.3 導関数の定義と基本的な微分法：差分商の極限から連鎖律まで → 19 番
• 注意 7.1 導関数の定義と基本的な微分法：差分商の極限から連鎖律まで → 17 番
• 定理 6.1 微分の線形性・積の法則・商の法則 導関数の定義と基本的な微分法：差分商の極限から連鎖律まで → 14, 15, 18 番
• 定理 7.2 連鎖律 導関数の定義と基本的な微分法：差分商の極限から連鎖律まで → 17, 34 番
• 定理 3.4 微分可能ならば連続 導関数の定義と基本的な微分法：差分商の極限から連鎖律まで → 15, 17 番
• 定理 5.5 基本関数の導関数 導関数の定義と基本的な微分法：差分商の極限から連鎖律まで → 14 番
• 定理 4.1 微分可能性と一次近似 導関数の定義と基本的な微分法：差分商の極限から連鎖律まで → 11 番
• 定義 6.1 ベータ関数 広義積分・パラメータ積分とガンマ関数：積分と極限を交換してよいとき → 96 番
• 定義 5.1 ガンマ関数 広義積分・パラメータ積分とガンマ関数：積分と極限を交換してよいとき → 92, 100 番
• 定義 2.1 広義積分 広義積分・パラメータ積分とガンマ関数：積分と極限を交換してよいとき → 91, 93, 94 番
• 定義 4.1 広義積分の一様収束 広義積分・パラメータ積分とガンマ関数：積分と極限を交換してよいとき → 97, 98 番
• 例 7.4 中央二項係数の漸近形 広義積分・パラメータ積分とガンマ関数：積分と極限を交換してよいとき → 99 番
• 例 2.5 べき関数の広義積分 広義積分・パラメータ積分とガンマ関数：積分と極限を交換してよいとき → 91, 94 番
• 例 2.7 $\int_0^\infty\sin x/x\,dx$ は条件収束する 広義積分・パラメータ積分とガンマ関数：積分と極限を交換してよいとき → 98 番
• 命題 5.2 ガンマ積分の収束 広義積分・パラメータ積分とガンマ関数：積分と極限を交換してよいとき → 92, 94 番
• 命題 5.4 ガンマ関数の滑らかさ 広義積分・パラメータ積分とガンマ関数：積分と極限を交換してよいとき → 92 番
• 命題 4.2 積分版 M 判定法 広義積分・パラメータ積分とガンマ関数：積分と極限を交換してよいとき → 95, 97 番
• 注意 4.3 一様でないと何が起こるか 広義積分・パラメータ積分とガンマ関数：積分と極限を交換してよいとき → 95 番
• 定理 6.2 ベータ関数とガンマ関数の関係 広義積分・パラメータ積分とガンマ関数：積分と極限を交換してよいとき → 96 番
• 定理 2.3 比較判定法と絶対収束 広義積分・パラメータ積分とガンマ関数：積分と極限を交換してよいとき → 93, 94 番
• 定理 2.6 ディリクレの判定法 広義積分・パラメータ積分とガンマ関数：積分と極限を交換してよいとき → 93 番
• 定理 5.3 ガンマ関数の関数等式 広義積分・パラメータ積分とガンマ関数：積分と極限を交換してよいとき → 92, 96, 100 番
• 定理 3.3 ガウス積分 広義積分・パラメータ積分とガンマ関数：積分と極限を交換してよいとき → 100 番
• 定理 4.4 広義パラメータ積分の連続性 広義積分・パラメータ積分とガンマ関数：積分と極限を交換してよいとき → 95, 97 番
• 定理 4.5 広義積分の積分記号下の微分 広義積分・パラメータ積分とガンマ関数：積分と極限を交換してよいとき → 95, 98 番
• 定理 3.2 パラメータ積分の連続性 広義積分・パラメータ積分とガンマ関数：積分と極限を交換してよいとき → 95 番
• 定理 7.1 スターリングの公式 広義積分・パラメータ積分とガンマ関数：積分と極限を交換してよいとき → 99 番
• 定義 2.1 分割とダルブー和 積分の基本定理と定積分：リーマン和から原始関数へ → 31 番
• 定義 3.1 上積分・下積分とリーマン可積分性 積分の基本定理と定積分：リーマン和から原始関数へ → 31, 32, 35, 37 番
• 定義 2.2 タグ付き分割とリーマン和 積分の基本定理と定積分：リーマン和から原始関数へ → 33 番
• 例 5.7 対数関数を積分で定義する 積分の基本定理と定積分：リーマン和から原始関数へ → 36 番
• 演習 7.1 積分の基本定理と定積分：リーマン和から原始関数へ → 32 番
• 命題 4.1 定積分の基本性質 積分の基本定理と定積分：リーマン和から原始関数へ → 34, 37, 39 番
• 注意 3.2 向きと退化区間についての約束 積分の基本定理と定積分：リーマン和から原始関数へ → 38 番
• 注意 5.6 2 つの仮定はどちらも外せない 積分の基本定理と定積分：リーマン和から原始関数へ → 35, 40 番
• 定理 6.2 部分積分 積分の基本定理と定積分：リーマン和から原始関数へ → 36, 39 番
• 定理 3.5 連続関数の可積分性と区分求積法 積分の基本定理と定積分：リーマン和から原始関数へ → 32, 33 番
• 定理 5.2 微分積分学の基本定理（第一部） 積分の基本定理と定積分：リーマン和から原始関数へ → 34, 37, 40 番
• 定理 5.4 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式） 積分の基本定理と定積分：リーマン和から原始関数へ → 33, 35, 36, 39, 89 番
• 定理 3.4 リーマンの可積分条件 積分の基本定理と定積分：リーマン和から原始関数へ → 31 番
• 定理 6.1 置換積分 積分の基本定理と定積分：リーマン和から原始関数へ → 38 番
• 定義 6.1 条件付き極値 逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値：縮小写像で「方程式を解く」 → 74, 75, 79, 80 番
• 定義 2.1 ヤコビ行列と $C^1$ 級写像 逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値：縮小写像で「方程式を解く」 → 77, 78 番
• 例 5.2 円と陰関数定理 逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値：縮小写像で「方程式を解く」 → 71, 76 番
• 例 6.3 円周上の $x+y$ の最大・最小 逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値：縮小写像で「方程式を解く」 → 74 番
• 例 4.2 極座標写像 逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値：縮小写像で「方程式を解く」 → 77 番
• 演習 7.2 逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値：縮小写像で「方程式を解く」 → 72 番
• 演習 7.1 逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値：縮小写像で「方程式を解く」 → 78 番
• 注意 4.3 $C^1$ 級という仮定を外すと何が壊れるか 逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値：縮小写像で「方程式を解く」 → 76 番
• 注意 6.5 階数の仮定が必要な理由 逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値：縮小写像で「方程式を解く」 → 75, 80 番
• 定理 5.1 陰関数定理 逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値：縮小写像で「方程式を解く」 → 71, 72, 76, 79 番
• 定理 4.1 逆関数定理 逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値：縮小写像で「方程式を解く」 → 73, 77, 78 番
• 定理 6.2 ラグランジュの乗数法 逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値：縮小写像で「方程式を解く」 → 74, 75, 79, 80 番
• 定義 5.1 点における連続性 極限と連続性：ε-δ 論法を「誤差の契約」として読む → 5, 7, 10 番
• 定義 3.1 関数の極限 極限と連続性：ε-δ 論法を「誤差の契約」として読む → 1, 2, 3, 4, 6, 9, 10, 20 番
• 定義 2.1 近傍・除外近傍・集積点 極限と連続性：ε-δ 論法を「誤差の契約」として読む → 2, 3 番
• 定義 6.1 一様連続性 極限と連続性：ε-δ 論法を「誤差の契約」として読む → 8 番
• 例 3.3 1 次関数の極限 極限と連続性：ε-δ 論法を「誤差の契約」として読む → 4 番
• 例 6.2 連続だが一様連続でない関数 極限と連続性：ε-δ 論法を「誤差の契約」として読む → 8 番
• 例 3.4 2 次関数の極限：δ を 2 段構えで取る 極限と連続性：ε-δ 論法を「誤差の契約」として読む → 7, 9 番
• 補題 4.1 収束すれば局所有界 極限と連続性：ε-δ 論法を「誤差の契約」として読む → 3 番
• 命題 5.5 ディリクレ関数はどの点でも不連続 極限と連続性：ε-δ 論法を「誤差の契約」として読む → 5 番
• 注意 5.4 極限版の合成は成り立たない 極限と連続性：ε-δ 論法を「誤差の契約」として読む → 6 番
• 注意 6.3 有界閉区間ではこの差が消える 極限と連続性：ε-δ 論法を「誤差の契約」として読む → 8 番
• 注意 3.2 定義の否定 極限と連続性：ε-δ 論法を「誤差の契約」として読む → 1 番
• 定理 4.2 極限の四則 極限と連続性：ε-δ 論法を「誤差の契約」として読む → 20 番
• 定理 5.3 合成関数の連続性 極限と連続性：ε-δ 論法を「誤差の契約」として読む → 6 番
• 定理 4.3 はさみうちの原理 極限と連続性：ε-δ 論法を「誤差の契約」として読む → 5 番
• 系 3.4 導関数の符号と単調性 平均値の定理とテイラーの定理：微分から関数の姿を復元する → 22, 29 番
• 定義 2.2 n 回微分可能・C^n 級 平均値の定理とテイラーの定理：微分から関数の姿を復元する → 27 番
• 定義 5.4 ランダウの o 記号 平均値の定理とテイラーの定理：微分から関数の姿を復元する → 24 番
• 定義 2.1 極大・極小 平均値の定理とテイラーの定理：微分から関数の姿を復元する → 21 番
• 定義 5.1 テイラー多項式と剰余項 平均値の定理とテイラーの定理：微分から関数の姿を復元する → 25 番
• 例 4.3 不定形の計算三つ 平均値の定理とテイラーの定理：微分から関数の姿を復元する → 24 番
• 注意 4.4 ロピタルの三つの落とし穴 平均値の定理とテイラーの定理：微分から関数の姿を復元する → 23 番
• 注意 4.2 左側・両側・無限大版 平均値の定理とテイラーの定理：微分から関数の姿を復元する → 23 番
• 注意 6.4 級数が収束しても元の関数とは限らない 平均値の定理とテイラーの定理：微分から関数の姿を復元する → 26 番
• 注意 5.5 ペアノ型剰余 平均値の定理とテイラーの定理：微分から関数の姿を復元する → 26, 27 番
• 注意 5.2 テイラー多項式はどこから来たか 平均値の定理とテイラーの定理：微分から関数の姿を復元する → 26, 27 番
• 定理 4.1 ロピタルの定理（0/0 型・右側極限） 平均値の定理とテイラーの定理：微分から関数の姿を復元する → 23 番
• 定理 3.3 ラグランジュの平均値の定理 平均値の定理とテイラーの定理：微分から関数の姿を復元する → 22, 28, 29, 30 番
• 定理 3.1 ロルの定理 平均値の定理とテイラーの定理：微分から関数の姿を復元する → 21, 22, 28 番
• 定理 5.3 テイラーの定理（ラグランジュの剰余） 平均値の定理とテイラーの定理：微分から関数の姿を復元する → 24, 25, 26 番
• 系 4.3 連続関数に対するフビニの定理 重積分と累次積分：フビニの定理とヤコビアンで多変数の積分を計算する → 52, 54 番
• 定義 4.1 累次積分 重積分と累次積分：フビニの定理とヤコビアンで多変数の積分を計算する → 51, 52, 54 番
• 定義 6.6 ヤコビ行列とヤコビアン 重積分と累次積分：フビニの定理とヤコビアンで多変数の積分を計算する → 55, 56, 58, 59 番
• 例 4.4 順序の選び方で手間が変わる 重積分と累次積分：フビニの定理とヤコビアンで多変数の積分を計算する → 51 番
• 例 6.11 極座標変換とそのヤコビアン 重積分と累次積分：フビニの定理とヤコビアンで多変数の積分を計算する → 55, 58, 59, 60, 84 番
• 例 5.7 順序を換えないと計算できない積分 重積分と累次積分：フビニの定理とヤコビアンで多変数の積分を計算する → 53 番
• 補題 5.2 連続関数のグラフは面積 0 重積分と累次積分：フビニの定理とヤコビアンで多変数の積分を計算する → 53 番
• 命題 6.5 一次変換による面積の拡大率 重積分と累次積分：フビニの定理とヤコビアンで多変数の積分を計算する → 56, 57 番
• 注意 6.8 境界での例外は許される 重積分と累次積分：フビニの定理とヤコビアンで多変数の積分を計算する → 57, 60 番
• 定理 6.7 重積分の変数変換公式 重積分と累次積分：フビニの定理とヤコビアンで多変数の積分を計算する → 55, 56, 57, 58, 59, 60 番
• 定理 5.6 縦線集合上の累次積分 重積分と累次積分：フビニの定理とヤコビアンで多変数の積分を計算する → 51, 53, 54, 89 番
• 定義 4.1 全微分可能 多変数関数の微分と偏微分：微分とは「一次近似」のことである → 42 番
• 定義 4.2 方向微分 多変数関数の微分と偏微分：微分とは「一次近似」のことである → 44, 48 番
• 定義 7.3 ヘッセ行列・臨界点・極値 多変数関数の微分と偏微分：微分とは「一次近似」のことである → 46, 47 番
• 定義 3.1 偏微分係数と偏導関数 多変数関数の微分と偏微分：微分とは「一次近似」のことである → 41, 42, 43, 45 番
• 定義 5.1 接平面 多変数関数の微分と偏微分：微分とは「一次近似」のことである → 41 番
• 例 7.5 exp(x)cos y の原点まわりの 2 次近似 多変数関数の微分と偏微分：微分とは「一次近似」のことである → 50 番
• 補題 8.1 2 変数 2 次形式の符号 多変数関数の微分と偏微分：微分とは「一次近似」のことである → 47 番
• 命題 4.3 全微分可能性から出てくるもの 多変数関数の微分と偏微分：微分とは「一次近似」のことである → 42, 43, 44, 48 番
• 注意 6.2 変数変換の形の連鎖律 多変数関数の微分と偏微分：微分とは「一次近似」のことである → 49 番
• 注意 2.1 平面上の極限は「あらゆる近づき方」を要求する 多変数関数の微分と偏微分：微分とは「一次近似」のことである → 43 番
• 定理 4.5 C¹ 級ならば全微分可能 多変数関数の微分と偏微分：微分とは「一次近似」のことである → 44, 48 番
• 定理 6.1 連鎖律（曲線に沿った微分） 多変数関数の微分と偏微分：微分とは「一次近似」のことである → 49 番
• 定理 7.1 シュワルツの定理（偏微分の順序交換） 多変数関数の微分と偏微分：微分とは「一次近似」のことである → 45 番
• 定理 8.2 ヘッセ行列による極値判定 多変数関数の微分と偏微分：微分とは「一次近似」のことである → 46, 47 番
• 定理 7.4 2 変数のテイラーの定理（2 次まで） 多変数関数の微分と偏微分：微分とは「一次近似」のことである → 50 番
• 系 4.3 極限比較判定法 級数と収束判定：部分和の極限・4 つの判定法・絶対収束と条件収束 → 63 番
• 系 5.2 p 級数 級数と収束判定：部分和の極限・4 つの判定法・絶対収束と条件収束 → 66 番
• 定義 7.1 絶対収束と条件収束 級数と収束判定：部分和の極限・4 つの判定法・絶対収束と条件収束 → 65 番
• 定義 2.2 上極限 級数と収束判定：部分和の極限・4 つの判定法・絶対収束と条件収束 → 69 番
• 定義 7.5 級数の並べ替え 級数と収束判定：部分和の極限・4 つの判定法・絶対収束と条件収束 → 68 番
• 定義 3.1 無限級数・部分和・和 級数と収束判定：部分和の極限・4 つの判定法・絶対収束と条件収束 → 62, 67, 70 番
• 例 7.4 交項調和級数は条件収束する 級数と収束判定：部分和の極限・4 つの判定法・絶対収束と条件収束 → 65 番
• 例 3.4 等比級数とグランディ級数 級数と収束判定：部分和の極限・4 つの判定法・絶対収束と条件収束 → 61 番
• 例 6.5 根判定法は効くが比判定法は効かない級数 級数と収束判定：部分和の極限・4 つの判定法・絶対収束と条件収束 → 64 番
• 命題 4.1 正項級数の収束と有界性 級数と収束判定：部分和の極限・4 つの判定法・絶対収束と条件収束 → 62, 70 番
• 命題 3.5 一般項の必要条件 級数と収束判定：部分和の極限・4 つの判定法・絶対収束と条件収束 → 61 番
• 注意 7.7 級数と収束判定：部分和の極限・4 つの判定法・絶対収束と条件収束 → 68 番
• 定理 7.2 絶対収束すれば収束する 級数と収束判定：部分和の極限・4 つの判定法・絶対収束と条件収束 → 65 番
• 定理 4.2 比較判定法 級数と収束判定：部分和の極限・4 つの判定法・絶対収束と条件収束 → 63, 65, 66, 69, 70 番
• 定理 7.3 ライプニッツの交項級数判定法 級数と収束判定：部分和の極限・4 つの判定法・絶対収束と条件収束 → 66, 67 番
• 定理 6.2 ダランベールの比判定法 級数と収束判定：部分和の極限・4 つの判定法・絶対収束と条件収束 → 64, 69 番
• 定理 7.6 リーマンの再配列定理 級数と収束判定：部分和の極限・4 つの判定法・絶対収束と条件収束 → 68 番
• 定理 6.1 コーシーの根判定法 級数と収束判定：部分和の極限・4 つの判定法・絶対収束と条件収束 → 61, 63 番
• 系 6.3 面積公式 ベクトル解析と積分定理：グリーン・ガウス・ストークスを一本の線で結ぶ → 82 番
• 系 7.2 発散の幾何学的意味 ベクトル解析と積分定理：グリーン・ガウス・ストークスを一本の線で結ぶ → 86 番
• 定義 3.4 勾配・発散・回転 ベクトル解析と積分定理：グリーン・ガウス・ストークスを一本の線で結ぶ → 83, 86, 87, 88, 90 番
• 定義 3.1 線積分 ベクトル解析と積分定理：グリーン・ガウス・ストークスを一本の線で結ぶ → 81, 82, 85 番
• 定義 4.1 面積分 ベクトル解析と積分定理：グリーン・ガウス・ストークスを一本の線で結ぶ → 85 番
• 例 4.4 グラフ曲面の面積要素と流束 ベクトル解析と積分定理：グリーン・ガウス・ストークスを一本の線で結ぶ → 88 番
• 命題 3.3 勾配場の線積分 ベクトル解析と積分定理：グリーン・ガウス・ストークスを一本の線で結ぶ → 81 番
• 命題 3.5 基本的な恒等式 ベクトル解析と積分定理：グリーン・ガウス・ストークスを一本の線で結ぶ → 83, 90 番
• 命題 3.2 線積分のパラメータ不変性 ベクトル解析と積分定理：グリーン・ガウス・ストークスを一本の線で結ぶ → 85 番
• 定理 7.1 ガウスの発散定理 ベクトル解析と積分定理：グリーン・ガウス・ストークスを一本の線で結ぶ → 86, 87, 90 番
• 定理 6.1 グリーンの定理 ベクトル解析と積分定理：グリーン・ガウス・ストークスを一本の線で結ぶ → 82, 84, 89 番
• 定理 3.7 星型領域でのポテンシャルの存在 ベクトル解析と積分定理：グリーン・ガウス・ストークスを一本の線で結ぶ → 45 番
• 定理 8.1 ストークスの定理（古典形） ベクトル解析と積分定理：グリーン・ガウス・ストークスを一本の線で結ぶ → 88 番