数学基礎 50 本ノック

学部50 問。全問無料です。

対象読者: 本テーマ第 1〜6 章の内容（集合と論理、実数の構成、帰納法と背理法、同値関係、濃度、選択公理）を一通り読んだ学部生。定義の確認と証明の型の練習が中心です。

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執筆: Claude Code（Sonnet 5.5）・監査 4 回（Claude Code）・最終 2026-10-12

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この冊について（出典・構成・使う定理）

主な参考文献

• P. R. Halmos, Naive Set Theory
• 松坂和夫『集合・位相入門』
• W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis
• 杉浦光夫『解析入門 I』

問題はすべて Rikai の書き下ろしです。参考文献の演習や本文は転載していません。

構成

• 1〜9: 集合と論理
• 10〜17: 数とは何か
• 18〜26: 証明の技術
• 27〜35: 関係と同値関係
• 36〜44: 濃度と無限
• 45〜50: 選択公理と Zorn の補題

形式: 単一選択 16・複数選択 9・○× 6・数値 7・並べ替え 4・誤り探し 4・記述 4。難易度 ★〜★★★★: 8 / 25 / 16 / 1。

この冊で使う定義・定理（82）

• 公理 3.1 選択公理 選択公理と Zorn の補題：「無限個の選択」を極大元に置き換える → 45 番
• 定義 2.2 上界・極大元・最大元 選択公理と Zorn の補題：「無限個の選択」を極大元に置き換える → 46, 47, 50 番
• 定義 2.1 半順序・全順序・鎖 選択公理と Zorn の補題：「無限個の選択」を極大元に置き換える → 49, 50 番
• 例 2.3 極大元が複数あり最大元がない半順序集合 選択公理と Zorn の補題：「無限個の選択」を極大元に置き換える → 46 番
• 命題 3.2 選択公理の言い換え 選択公理と Zorn の補題：「無限個の選択」を極大元に置き換える → 45 番
• 定理 5.3 同値定理 選択公理と Zorn の補題：「無限個の選択」を極大元に置き換える → 46 番
• 定理 6.3 基底の存在（Hamel 基底） 選択公理と Zorn の補題：「無限個の選択」を極大元に置き換える → 48, 49 番
• 定理 6.5 極大イデアルの存在（Krull の定理） 選択公理と Zorn の補題：「無限個の選択」を極大元に置き換える → 47 番
• 定理 5.2 整列可能定理（Zermelo の定理） 選択公理と Zorn の補題：「無限個の選択」を極大元に置き換える → 48 番
• 定理 5.1 Zorn の補題 選択公理と Zorn の補題：「無限個の選択」を極大元に置き換える → 46, 47, 48, 49, 50 番
• 系 6.4 超越数の存在 濃度と無限：全単射で測る「無限の大小」 → 37 番
• 定義 3.4 濃度の大小 濃度と無限：全単射で測る「無限の大小」 → 43 番
• 定義 6.5 連続体濃度 濃度と無限：全単射で測る「無限の大小」 → 42 番
• 定義 3.1 対等（等濃） 濃度と無限：全単射で測る「無限の大小」 → 36, 44 番
• 定義 4.1 無限集合・デデキント無限 濃度と無限：全単射で測る「無限の大小」 → 39 番
• 例 5.10 代数的数全体は可算 濃度と無限：全単射で測る「無限の大小」 → 37 番
• 例 4.2 ヒルベルトのホテル 濃度と無限：全単射で測る「無限の大小」 → 39 番
• 例 5.3 整数全体は可算無限 濃度と無限：全単射で測る「無限の大小」 → 36 番
• 例 5.5 具体的な全単射（カントールの対関数） 濃度と無限：全単射で測る「無限の大小」 → 38 番
• 補題 6.1 小数展開の存在と、桁を制限したときの一意性 濃度と無限：全単射で測る「無限の大小」 → 40 番
• 補題 5.4 自然数の対の全体は可算 濃度と無限：全単射で測る「無限の大小」 → 37, 38 番
• 命題 5.8 高々可算集合の可算和 濃度と無限：全単射で測る「無限の大小」 → 39 番
• 命題 3.2 対等の基本性質 濃度と無限：全単射で測る「無限の大小」 → 44 番
• 命題 6.6 連続体濃度は自然数の冪集合の濃度 濃度と無限：全単射で測る「無限の大小」 → 37, 42 番
• 注意 6.2 小数展開は一意ではない 濃度と無限：全単射で測る「無限の大小」 → 40 番
• 注意 5.7 稠密なのに数え上げられる 濃度と無限：全単射で測る「無限の大小」 → 39 番
• 定理 7.1 カントールの定理 濃度と無限：全単射で測る「無限の大小」 → 41, 42, 43 番
• 定理 5.6 有理数全体は可算無限 濃度と無限：全単射で測る「無限の大小」 → 36 番
• 定理 6.3 実数全体は非可算（カントールの対角線論法） 濃度と無限：全単射で測る「無限の大小」 → 36, 40, 42, 48 番
• 定義 4.1 同値類・商集合・自然な射影 関係と同値関係：「同じ」とは何か（同値類・商集合・well-defined） → 33 番
• 定義 3.1 同値関係 関係と同値関係：「同じ」とは何か（同値類・商集合・well-defined） → 27, 30, 33, 34 番
• 定義 4.3 集合の分割 関係と同値関係：「同じ」とは何か（同値類・商集合・well-defined） → 28 番
• 定義 2.4 関係の 3 法則 関係と同値関係：「同じ」とは何か（同値類・商集合・well-defined） → 30 番
• 例 5.6 well-defined でない「定義」 関係と同値関係：「同じ」とは何か（同値類・商集合・well-defined） → 29 番
• 例 4.5 Z/nZ の元はちょうど n 個 関係と同値関係：「同じ」とは何か（同値類・商集合・well-defined） → 31, 32 番
• 補題 4.2 同値類の基本性質 関係と同値関係：「同じ」とは何か（同値類・商集合・well-defined） → 33 番
• 命題 3.4 法 n の合同は同値関係 関係と同値関係：「同じ」とは何か（同値類・商集合・well-defined） → 32 番
• 命題 6.1 分数の同値関係 関係と同値関係：「同じ」とは何か（同値類・商集合・well-defined） → 34, 35 番
• 注意 6.2 関係と同値関係：「同じ」とは何か（同値類・商集合・well-defined） → 34 番
• 注意 3.3 反射律は他の 2 つから出ない 関係と同値関係：「同じ」とは何か（同値類・商集合・well-defined） → 30 番
• 注意 3.7 関係と同値関係：「同じ」とは何か（同値類・商集合・well-defined） → 27 番
• 定理 4.4 同値関係と分割の対応 関係と同値関係：「同じ」とは何か（同値類・商集合・well-defined） → 28 番
• 定理 5.1 商集合の普遍性 関係と同値関係：「同じ」とは何か（同値類・商集合・well-defined） → 29, 32, 35 番
• 定理 5.4 剰余類の加法と乗法は well-defined 関係と同値関係：「同じ」とは何か（同値類・商集合・well-defined） → 29, 31 番
• 公理 4.1 ペアノの公理 証明の技術：数学的帰納法と背理法はなぜ正しいのか、不変量の原理 → 24 番
• 例 5.2 すべての馬は同じ色である（誤証明） 証明の技術：数学的帰納法と背理法はなぜ正しいのか、不変量の原理 → 20 番
• 例 5.1 帰納ステップだけが正しい偽の命題 証明の技術：数学的帰納法と背理法はなぜ正しいのか、不変量の原理 → 18 番
• 補題 7.4 平方が偶数なら元も偶数 証明の技術：数学的帰納法と背理法はなぜ正しいのか、不変量の原理 → 22 番
• 補題 7.3 既約分数表示の存在 証明の技術：数学的帰納法と背理法はなぜ正しいのか、不変量の原理 → 22 番
• 命題 6.2 背理法の正当性 証明の技術：数学的帰納法と背理法はなぜ正しいのか、不変量の原理 → 26 番
• 注意 6.3 どこまでが古典論理に固有か 証明の技術：数学的帰納法と背理法はなぜ正しいのか、不変量の原理 → 26 番
• 注意 3.3 なぜ循環論法ではないのか 証明の技術：数学的帰納法と背理法はなぜ正しいのか、不変量の原理 → 18 番
• 注意 5.3 有限個の確認では足りない 証明の技術：数学的帰納法と背理法はなぜ正しいのか、不変量の原理 → 20, 23 番
• 注意 4.2 どの公理が何を担っているか 証明の技術：数学的帰納法と背理法はなぜ正しいのか、不変量の原理 → 24 番
• 定理 3.2 数学的帰納法の原理 証明の技術：数学的帰納法と背理法はなぜ正しいのか、不変量の原理 → 18, 19, 20, 21, 25 番
• 定理 7.5 平方根 2 の無理性 証明の技術：数学的帰納法と背理法はなぜ正しいのか、不変量の原理 → 22 番
• 定理 4.3 完全帰納法 証明の技術：数学的帰納法と背理法はなぜ正しいのか、不変量の原理 → 18, 21 番
• 系 5.6 ド・モルガンの法則（集合族版） 数学の国語：集合と論理を正確に読み書きする → 7 番
• 定義 2.3 論理結合子 数学の国語：集合と論理を正確に読み書きする → 1 番
• 定義 3.5 空集合・べき集合 数学の国語：集合と論理を正確に読み書きする → 3, 4, 41, 43 番
• 定義 6.1 必要条件と十分条件 数学の国語：集合と論理を正確に読み書きする → 8 番
• 例 2.5 逆・裏・対偶 数学の国語：集合と論理を正確に読み書きする → 2 番
• 例 6.2 2 乗して 4 になる数 数学の国語：集合と論理を正確に読み書きする → 8 番
• 例 5.4 連続性の定義を否定する 数学の国語：集合と論理を正確に読み書きする → 9 番
• 命題 3.6 空集合の基本性質 数学の国語：集合と論理を正確に読み書きする → 3 番
• 命題 2.4 含意の言い換え 数学の国語：集合と論理を正確に読み書きする → 1, 2 番
• 命題 6.3 真理集合と論理の対応 数学の国語：集合と論理を正確に読み書きする → 8 番
• 注意 5.5 順序を入れ替えてはいけない 数学の国語：集合と論理を正確に読み書きする → 6, 9 番
• 定理 4.4 ド・モルガンの法則（集合版） 数学の国語：集合と論理を正確に読み書きする → 7 番
• 定理 3.8 べき集合の元の個数 数学の国語：集合と論理を正確に読み書きする → 3, 4 番
• 定理 5.3 量化子の否定 数学の国語：集合と論理を正確に読み書きする → 5, 6, 9 番
• 公理 5.1 実数の連続性公理（上限性質） 数とは何か：自然数から実数へ、そして 1 = 0.999… はなぜ正しいのか → 10, 17 番
• 定義 6.1 無限小数の値 数とは何か：自然数から実数へ、そして 1 = 0.999… はなぜ正しいのか → 11, 12 番
• 定義 2.1 順序体 数とは何か：自然数から実数へ、そして 1 = 0.999… はなぜ正しいのか → 13, 15 番
• 定義 4.4 上界・上限 数とは何か：自然数から実数へ、そして 1 = 0.999… はなぜ正しいのか → 10, 14, 17 番
• 例 6.5 循環小数を分数に直す 数とは何か：自然数から実数へ、そして 1 = 0.999… はなぜ正しいのか → 12 番
• 命題 5.4 アルキメデスの原理 数とは何か：自然数から実数へ、そして 1 = 0.999… はなぜ正しいのか → 13, 14, 16 番
• 命題 6.2 等比級数 数とは何か：自然数から実数へ、そして 1 = 0.999… はなぜ正しいのか → 12, 14 番
• 注意 2.2 数とは何か：自然数から実数へ、そして 1 = 0.999… はなぜ正しいのか → 15 番
• 注意 6.6 数とは何か：自然数から実数へ、そして 1 = 0.999… はなぜ正しいのか → 11 番
• 定理 6.3 1 = 0.999… 数とは何か：自然数から実数へ、そして 1 = 0.999… はなぜ正しいのか → 11, 14 番
• 定理 4.5 有理数体は上限性質を満たさない 数とは何か：自然数から実数へ、そして 1 = 0.999… はなぜ正しいのか → 13 番