量子力学 II 50 本ノック

学部50 問。全問無料です。

対象読者: 量子力学 II の本テーマ第1〜7章（時間依存摂動論・散乱・同種粒子・電磁場中の粒子・密度行列・Dirac 方程式）を一通り学んだ学部生。復習と確認用で、計算は手を動かします。

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執筆: Claude Code（Sonnet 5.5）・監査 4 回（Claude Code）・最終 2026-10-12

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この冊について（出典・構成・使う定理）

主な参考文献

• J. J. Sakurai, J. Napolitano, Modern Quantum Mechanics
• D. J. Griffiths, D. F. Schroeter, Introduction to Quantum Mechanics
• L. D. Landau, E. M. Lifshitz, Quantum Mechanics (Non-relativistic Theory)
• M. A. Nielsen, I. L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information

問題はすべて Rikai の書き下ろしです。参考文献の演習や本文は転載していません。

構成

• 1〜9: 時間発展と時間依存摂動論
• 10〜17: 散乱理論
• 18〜25: 同種粒子と多電子原子
• 26〜34: 電磁場中の荷電粒子と原子の準位
• 35〜42: 密度行列とエンタングルメント
• 43〜50: 相対論的量子力学

形式: 単一選択 17・複数選択 9・○× 6・数値 7・並べ替え 3・誤り探し 4・記述 4。難易度 ★〜★★★★: 10 / 20 / 20 / 0。

この冊で使う定義・定理（87）

• 系 5.5 Landé の g 因子 電磁場中の荷電粒子：最小結合、Landau 準位、Aharonov–Bohm 効果、Zeeman・Stark 効果と微細構造 → 31, 34 番
• 系 5.3 選択則 電磁場中の荷電粒子：最小結合、Landau 準位、Aharonov–Bohm 効果、Zeeman・Stark 効果と微細構造 → 32 番
• 定義 2.1 運動量（kinetic momentum） 電磁場中の荷電粒子：最小結合、Landau 準位、Aharonov–Bohm 効果、Zeeman・Stark 効果と微細構造 → 26 番
• 例 3.2 1 テスラの中の電子 電磁場中の荷電粒子：最小結合、Landau 準位、Aharonov–Bohm 効果、Zeeman・Stark 効果と微細構造 → 28, 29 番
• 例 5.6 ナトリウムの D 線 電磁場中の荷電粒子：最小結合、Landau 準位、Aharonov–Bohm 効果、Zeeman・Stark 効果と微細構造 → 34 番
• 演習 7.3 電磁場中の荷電粒子：最小結合、Landau 準位、Aharonov–Bohm 効果、Zeeman・Stark 効果と微細構造 → 30 番
• 補題 6.2 ⟨r⁻²⟩ と s 状態の原点での値 電磁場中の荷電粒子：最小結合、Landau 準位、Aharonov–Bohm 効果、Zeeman・Stark 効果と微細構造 → 33 番
• 補題 6.1 Kramers の漸化式 電磁場中の荷電粒子：最小結合、Landau 準位、Aharonov–Bohm 効果、Zeeman・Stark 効果と微細構造 → 33 番
• 命題 4.2 磁束を貫くリング 電磁場中の荷電粒子：最小結合、Landau 準位、Aharonov–Bohm 効果、Zeeman・Stark 効果と微細構造 → 30 番
• 命題 2.3 運動量の交換関係 電磁場中の荷電粒子：最小結合、Landau 準位、Aharonov–Bohm 効果、Zeeman・Stark 効果と微細構造 → 27, 44 番
• 命題 5.4 射影定理 電磁場中の荷電粒子：最小結合、Landau 準位、Aharonov–Bohm 効果、Zeeman・Stark 効果と微細構造 → 31 番
• 定理 4.1 Aharonov–Bohm 位相 電磁場中の荷電粒子：最小結合、Landau 準位、Aharonov–Bohm 効果、Zeeman・Stark 効果と微細構造 → 27, 30 番
• 定理 6.3 水素の微細構造 電磁場中の荷電粒子：最小結合、Landau 準位、Aharonov–Bohm 効果、Zeeman・Stark 効果と微細構造 → 33 番
• 定理 2.2 量子力学のゲージ共変性 電磁場中の荷電粒子：最小結合、Landau 準位、Aharonov–Bohm 効果、Zeeman・Stark 効果と微細構造 → 26 番
• 定理 3.1 Landau 準位 電磁場中の荷電粒子：最小結合、Landau 準位、Aharonov–Bohm 効果、Zeeman・Stark 効果と微細構造 → 27, 28, 29 番
• 定理 5.2 Wigner–Eckart の定理 電磁場中の荷電粒子：最小結合、Landau 準位、Aharonov–Bohm 効果、Zeeman・Stark 効果と微細構造 → 32 番
• 系 3.4 積状態の判定とエンタングルメント・エントロピー 密度行列とエンタングルメント：部分トレース、POVM、Bell–CHSH 不等式、Lindblad 方程式 → 37, 38 番
• 定義 2.1 密度行列 密度行列とエンタングルメント：部分トレース、POVM、Bell–CHSH 不等式、Lindblad 方程式 → 35 番
• 定義 6.1 Lindblad 方程式 密度行列とエンタングルメント：部分トレース、POVM、Bell–CHSH 不等式、Lindblad 方程式 → 42 番
• 定義 3.1 部分トレース 密度行列とエンタングルメント：部分トレース、POVM、Bell–CHSH 不等式、Lindblad 方程式 → 37 番
• 定義 4.1 POVM 密度行列とエンタングルメント：部分トレース、POVM、Bell–CHSH 不等式、Lindblad 方程式 → 39 番
• 例 2.3 量子ビットの Bloch 球 密度行列とエンタングルメント：部分トレース、POVM、Bell–CHSH 不等式、Lindblad 方程式 → 35, 36, 38 番
• 例 6.4 自然放出（振幅減衰） 密度行列とエンタングルメント：部分トレース、POVM、Bell–CHSH 不等式、Lindblad 方程式 → 42 番
• 例 4.2 量子ビットの 3 値 POVM（トライン） 密度行列とエンタングルメント：部分トレース、POVM、Bell–CHSH 不等式、Lindblad 方程式 → 39 番
• 命題 2.2 純粋さの判定 密度行列とエンタングルメント：部分トレース、POVM、Bell–CHSH 不等式、Lindblad 方程式 → 36, 42 番
• 定理 5.1 局所実在論の限界（CHSH 不等式） 密度行列とエンタングルメント：部分トレース、POVM、Bell–CHSH 不等式、Lindblad 方程式 → 40, 41 番
• 定理 4.3 Naimark の拡張定理（有限次元・有限個の結果） 密度行列とエンタングルメント：部分トレース、POVM、Bell–CHSH 不等式、Lindblad 方程式 → 39 番
• 定理 3.2 部分トレースは局所観測量の期待値を再現する 密度行列とエンタングルメント：部分トレース、POVM、Bell–CHSH 不等式、Lindblad 方程式 → 38 番
• 定理 3.3 Schmidt 分解 密度行列とエンタングルメント：部分トレース、POVM、Bell–CHSH 不等式、Lindblad 方程式 → 37, 38 番
• 定理 5.2 量子力学の限界（Tsirelson の不等式）と一重項による達成 密度行列とエンタングルメント：部分トレース、POVM、Bell–CHSH 不等式、Lindblad 方程式 → 40, 41 番
• 定義 6.1 Coulomb 演算子・交換演算子・Fock 演算子 同種粒子と多電子原子：Slater 行列式、ヘリウム原子、Hartree–Fock 方程式と交換エネルギー → 22, 24 番
• 定義 2.1 置換演算子と対称化・反対称化 同種粒子と多電子原子：Slater 行列式、ヘリウム原子、Hartree–Fock 方程式と交換エネルギー → 18 番
• 定義 3.1 Slater 行列式 同種粒子と多電子原子：Slater 行列式、ヘリウム原子、Hartree–Fock 方程式と交換エネルギー → 19 番
• 例 4.3 ヘリウムの 1s2s 状態 同種粒子と多電子原子：Slater 行列式、ヘリウム原子、Hartree–Fock 方程式と交換エネルギー → 20, 25 番
• 例 6.6 ヘリウム基底状態：有効核電荷による変分 同種粒子と多電子原子：Slater 行列式、ヘリウム原子、Hartree–Fock 方程式と交換エネルギー → 23 番
• 演習 7.3 同種粒子と多電子原子：Slater 行列式、ヘリウム原子、Hartree–Fock 方程式と交換エネルギー → 23 番
• 命題 6.3 Koopmans の定理 同種粒子と多電子原子：Slater 行列式、ヘリウム原子、Hartree–Fock 方程式と交換エネルギー → 22 番
• 命題 4.1 2 電子の反対称状態 同種粒子と多電子原子：Slater 行列式、ヘリウム原子、Hartree–Fock 方程式と交換エネルギー → 20, 25 番
• 注意 6.4 同種粒子と多電子原子：Slater 行列式、ヘリウム原子、Hartree–Fock 方程式と交換エネルギー → 22 番
• 定理 4.2 交換エネルギーによる一重項・三重項の分裂 同種粒子と多電子原子：Slater 行列式、ヘリウム原子、Hartree–Fock 方程式と交換エネルギー → 20, 25 番
• 定理 6.2 Hartree–Fock 方程式 同種粒子と多電子原子：Slater 行列式、ヘリウム原子、Hartree–Fock 方程式と交換エネルギー → 22, 24 番
• 定理 3.2 Slater 行列式の性質 同種粒子と多電子原子：Slater 行列式、ヘリウム原子、Hartree–Fock 方程式と交換エネルギー → 18, 19, 21 番
• 定理 5.1 Slater 行列式の期待値 同種粒子と多電子原子：Slater 行列式、ヘリウム原子、Hartree–Fock 方程式と交換エネルギー → 24 番
• 系 6.5 微細構造の公式との一致 相対論的量子力学：Klein–Gordon 方程式、Dirac 方程式の共変性、Pauli 方程式、水素原子の Dirac 解 → 45, 47, 50 番
• 定義 2.1 Klein–Gordon 方程式 相対論的量子力学：Klein–Gordon 方程式、Dirac 方程式の共変性、Pauli 方程式、水素原子の Dirac 解 → 43 番
• 定義 6.1 スピン角度関数 相対論的量子力学：Klein–Gordon 方程式、Dirac 方程式の共変性、Pauli 方程式、水素原子の Dirac 解 → 50 番
• 例 6.6 水素のエネルギー準位の数値 相対論的量子力学：Klein–Gordon 方程式、Dirac 方程式の共変性、Pauli 方程式、水素原子の Dirac 解 → 47 番
• 例 4.4 回転のスピノル 相対論的量子力学：Klein–Gordon 方程式、Dirac 方程式の共変性、Pauli 方程式、水素原子の Dirac 解 → 46, 49 番
• 補題 7.1 1 次元 Dirac 方程式の平面波 相対論的量子力学：Klein–Gordon 方程式、Dirac 方程式の共変性、Pauli 方程式、水素原子の Dirac 解 → 48 番
• 命題 4.5 Dirac 共役とカレントの共変性 相対論的量子力学：Klein–Gordon 方程式、Dirac 方程式の共変性、Pauli 方程式、水素原子の Dirac 解 → 49 番
• 命題 3.5 確率密度の保存と正値性 相対論的量子力学：Klein–Gordon 方程式、Dirac 方程式の共変性、Pauli 方程式、水素原子の Dirac 解 → 46 番
• 命題 3.6 スピンは自動的に現れる 相対論的量子力学：Klein–Gordon 方程式、Dirac 方程式の共変性、Pauli 方程式、水素原子の Dirac 解 → 46 番
• 命題 2.2 Klein–Gordon 方程式の保存則と密度の符号 相対論的量子力学：Klein–Gordon 方程式、Dirac 方程式の共変性、Pauli 方程式、水素原子の Dirac 解 → 43 番
• 定理 4.3 Dirac 方程式のローレンツ共変性 相対論的量子力学：Klein–Gordon 方程式、Dirac 方程式の共変性、Pauli 方程式、水素原子の Dirac 解 → 49 番
• 定理 3.2 Dirac 行列の次元 相対論的量子力学：Klein–Gordon 方程式、Dirac 方程式の共変性、Pauli 方程式、水素原子の Dirac 解 → 46 番
• 定理 3.4 自由な Dirac 粒子のスペクトル 相対論的量子力学：Klein–Gordon 方程式、Dirac 方程式の共変性、Pauli 方程式、水素原子の Dirac 解 → 46 番
• 定理 6.4 水素様原子の Dirac 準位 相対論的量子力学：Klein–Gordon 方程式、Dirac 方程式の共変性、Pauli 方程式、水素原子の Dirac 解 → 45, 47, 50 番
• 定理 7.2 Klein のパラドックス 相対論的量子力学：Klein–Gordon 方程式、Dirac 方程式の共変性、Pauli 方程式、水素原子の Dirac 解 → 48 番
• 定理 5.1 Pauli 方程式 相対論的量子力学：Klein–Gordon 方程式、Dirac 方程式の共変性、Pauli 方程式、水素原子の Dirac 解 → 44 番
• 定義 4.3 位相のずれ 散乱理論：Lippmann–Schwinger 方程式から部分波展開、光学定理、Breit–Wigner 共鳴まで → 17 番
• 定義 6.1 S 行列要素 散乱理論：Lippmann–Schwinger 方程式から部分波展開、光学定理、Breit–Wigner 共鳴まで → 13 番
• 定義 2.1 散乱状態と散乱振幅 散乱理論：Lippmann–Schwinger 方程式から部分波展開、光学定理、Breit–Wigner 共鳴まで → 10 番
• 例 4.5 剛体球 散乱理論：Lippmann–Schwinger 方程式から部分波展開、光学定理、Breit–Wigner 共鳴まで → 11, 13, 17 番
• 例 4.6 球形井戸と散乱長 散乱理論：Lippmann–Schwinger 方程式から部分波展開、光学定理、Breit–Wigner 共鳴まで → 15 番
• 例 3.5 湯川ポテンシャルと Rutherford 散乱 散乱理論：Lippmann–Schwinger 方程式から部分波展開、光学定理、Breit–Wigner 共鳴まで → 12 番
• 演習 7.3 散乱理論：Lippmann–Schwinger 方程式から部分波展開、光学定理、Breit–Wigner 共鳴まで → 15 番
• 命題 2.2 微分断面積 散乱理論：Lippmann–Schwinger 方程式から部分波展開、光学定理、Breit–Wigner 共鳴まで → 10 番
• 定理 3.4 Born 級数の収束 散乱理論：Lippmann–Schwinger 方程式から部分波展開、光学定理、Breit–Wigner 共鳴まで → 12 番
• 定理 6.2 Breit–Wigner の公式 散乱理論：Lippmann–Schwinger 方程式から部分波展開、光学定理、Breit–Wigner 共鳴まで → 14 番
• 定理 5.1 光学定理 散乱理論：Lippmann–Schwinger 方程式から部分波展開、光学定理、Breit–Wigner 共鳴まで → 12, 13, 16 番
• 定理 4.4 部分波展開 散乱理論：Lippmann–Schwinger 方程式から部分波展開、光学定理、Breit–Wigner 共鳴まで → 11, 13, 14, 16, 17 番
• 定義 6.3 Berry 位相 時間発展と時間依存摂動論：描像の取り替え、Dyson 級数、Rabi 振動、断熱定理と Berry 位相 → 9 番
• 定義 2.3 Heisenberg 描像 時間発展と時間依存摂動論：描像の取り替え、Dyson 級数、Rabi 振動、断熱定理と Berry 位相 → 2 番
• 定義 2.4 相互作用描像 時間発展と時間依存摂動論：描像の取り替え、Dyson 級数、Rabi 振動、断熱定理と Berry 位相 → 1 番
• 例 5.2 一定の摂動を入れた場合 時間発展と時間依存摂動論：描像の取り替え、Dyson 級数、Rabi 振動、断熱定理と Berry 位相 → 6, 7 番
• 補題 6.1 平行移動の位相の選び方 時間発展と時間依存摂動論：描像の取り替え、Dyson 級数、Rabi 振動、断熱定理と Berry 位相 → 8 番
• 補題 5.3 遷移の核関数 時間発展と時間依存摂動論：描像の取り替え、Dyson 級数、Rabi 振動、断熱定理と Berry 位相 → 7 番
• 命題 6.4 Berry 位相の公式 時間発展と時間依存摂動論：描像の取り替え、Dyson 級数、Rabi 振動、断熱定理と Berry 位相 → 9 番
• 命題 5.1 1 次の遷移確率 時間発展と時間依存摂動論：描像の取り替え、Dyson 級数、Rabi 振動、断熱定理と Berry 位相 → 6 番
• 命題 2.5 相互作用描像の運動方程式 時間発展と時間依存摂動論：描像の取り替え、Dyson 級数、Rabi 振動、断熱定理と Berry 位相 → 1 番
• 命題 2.2 ユニタリ性と合成則 時間発展と時間依存摂動論：描像の取り替え、Dyson 級数、Rabi 振動、断熱定理と Berry 位相 → 2 番
• 注意 3.2 時間発展と時間依存摂動論：描像の取り替え、Dyson 級数、Rabi 振動、断熱定理と Berry 位相 → 5 番
• 定理 6.2 断熱定理 時間発展と時間依存摂動論：描像の取り替え、Dyson 級数、Rabi 振動、断熱定理と Berry 位相 → 8 番
• 定理 6.5 断熱周回後の位相 時間発展と時間依存摂動論：描像の取り替え、Dyson 級数、Rabi 振動、断熱定理と Berry 位相 → 9 番
• 定理 3.1 Dyson 級数 時間発展と時間依存摂動論：描像の取り替え、Dyson 級数、Rabi 振動、断熱定理と Berry 位相 → 2, 5 番
• 定理 5.4 Fermi の黄金律 時間発展と時間依存摂動論：描像の取り替え、Dyson 級数、Rabi 振動、断熱定理と Berry 位相 → 7 番
• 定理 4.1 Rabi の公式 時間発展と時間依存摂動論：描像の取り替え、Dyson 級数、Rabi 振動、断熱定理と Berry 位相 → 3, 4 番