格子フェルミオンの多体理論 50 本ノック

博士・研究50 問。先頭 10 問は無料、残りは購入者向けです。

対象読者: 本テーマ第 1〜6 章（Hubbard 模型、松原形式、BCS 汎関数、多重尺度解析、ボソン化、Bethe 仮説）の証明を一通り読み、定理の主張を知っている博士課程の人。

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執筆: Claude Code（Opus 5.5）、Claude Code（Sonnet 5.5）・監査 2 回（Claude Code）・最終 2026-10-12

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この冊について（出典・構成・使う定理）

主な参考文献

• H. Tasaki, Physics and Mathematics of Quantum Many-Body Systems, Springer, 2020
• A. A. Abrikosov, L. P. Gorkov, I. E. Dzyaloshinski, Methods of Quantum Field Theory in Statistical Physics, Prentice-Hall, 1963
• G. Benfatto, G. Gallavotti, Renormalization Group, Princeton University Press, 1995
• T. Giamarchi, Quantum Physics in One Dimension, Oxford University Press, 2004

問題はすべて Rikai の書き下ろしです。参考文献の演習や本文は転載していません。

構成

• 1〜9: Hubbard 模型と Nagaoka 強磁性
• 10〜18: 松原形式と有限温度 Green 関数
• 19〜26: BCS 汎関数と臨界温度
• 27〜34: フェルミオンの多重尺度解析
• 35〜43: 朝永–Luttinger 模型とボソン化
• 44〜50: Jordan–Wigner 変換と Bethe 仮説

形式: 単一選択 17・複数選択 8・○× 5・数値 8・並べ替え 4・誤り探し 4・記述 4。難易度 ★〜★★★★: 4 / 18 / 24 / 4。

この冊で使う定義・定理（71）

• 定理 5.1 アダマールの不等式 行列の固有値評価と不等式：ゲルシュゴリンからペロン・フロベニウス、カントロヴィッチまで → 27 番
• 定理 5.1 Brydges–Kennedy–Abdesselam–Rivasseau の森公式 クラスター展開と Kotecký–Preiss の判定条件：ポリマー系の対数を木で抑える → 32 番
• 例 5.3 反例：無限個のモードを一様にスクイーズする変換 Bogoliubov 変換と Shale の定理：Fock 空間で実装できる正準変換の判定 → 35 番
• 定理 4.2 Shale の定理 Bogoliubov 変換と Shale の定理：Fock 空間で実装できる正準変換の判定 → 35 番
• 系 3.3 臨界温度の一意性 BCS 汎関数と臨界温度：相対エントロピーの下界・Birman–Schwinger 原理・弱結合での Cooper 不安定性 → 20 番
• 系 4.2 臨界温度の Birman–Schwinger 表示 BCS 汎関数と臨界温度：相対エントロピーの下界・Birman–Schwinger 原理・弱結合での Cooper 不安定性 → 21 番
• 定義 5.1 Fermi 球面上の相互作用作用素 BCS 汎関数と臨界温度：相対エントロピーの下界・Birman–Schwinger 原理・弱結合での Cooper 不安定性 → 19, 26 番
• 補題 5.2 Birman–Schwinger 作用素の分解 BCS 汎関数と臨界温度：相対エントロピーの下界・Birman–Schwinger 原理・弱結合での Cooper 不安定性 → 25 番
• 補題 3.2 K_T の単調性 BCS 汎関数と臨界温度：相対エントロピーの下界・Birman–Schwinger 原理・弱結合での Cooper 不安定性 → 20, 25 番
• 補題 5.3 対数的な発散 BCS 汎関数と臨界温度：相対エントロピーの下界・Birman–Schwinger 原理・弱結合での Cooper 不安定性 → 24, 25 番
• 命題 4.1 Birman–Schwinger 原理 BCS 汎関数と臨界温度：相対エントロピーの下界・Birman–Schwinger 原理・弱結合での Cooper 不安定性 → 21, 23 番
• 命題 6.1 回転対称な相互作用と角運動量 BCS 汎関数と臨界温度：相対エントロピーの下界・Birman–Schwinger 原理・弱結合での Cooper 不安定性 → 19, 22 番
• 注意 6.3 格子上の Fermi 面 BCS 汎関数と臨界温度：相対エントロピーの下界・Birman–Schwinger 原理・弱結合での Cooper 不安定性 → 22 番
• 定理 5.4 弱結合での臨界温度（Frank–Hainzl–Naboko–Seiringer, Hainzl–Seiringer） BCS 汎関数と臨界温度：相対エントロピーの下界・Birman–Schwinger 原理・弱結合での Cooper 不安定性 → 19, 21, 22, 24, 26 番
• 定義 2.1 Grassmann Gauss 積分 フェルミオンの多重尺度解析：Gram–Hadamard 評価と森公式による収束、尺度ごとの次元勘定、閉路気体と遮蔽 → 33, 34 番
• 定義 5.4 局所化と走る結合定数 フェルミオンの多重尺度解析：Gram–Hadamard 評価と森公式による収束、尺度ごとの次元勘定、閉路気体と遮蔽 → 30 番
• 例 5.3 1 次元の Fermi 点の近くでの尺度 フェルミオンの多重尺度解析：Gram–Hadamard 評価と森公式による収束、尺度ごとの次元勘定、閉路気体と遮蔽 → 30 番
• 例 4.5 質量のある格子フェルミオン フェルミオンの多重尺度解析：Gram–Hadamard 評価と森公式による収束、尺度ごとの次元勘定、閉路気体と遮蔽 → 31 番
• 例 3.3 運動量表示からの Gram 表示 フェルミオンの多重尺度解析：Gram–Hadamard 評価と森公式による収束、尺度ごとの次元勘定、閉路気体と遮蔽 → 31 番
• 補題 2.4 ブロック対角な共分散での因数分解 フェルミオンの多重尺度解析：Gram–Hadamard 評価と森公式による収束、尺度ごとの次元勘定、閉路気体と遮蔽 → 34 番
• 補題 4.2 補間行列の半正定値性 フェルミオンの多重尺度解析：Gram–Hadamard 評価と森公式による収束、尺度ごとの次元勘定、閉路気体と遮蔽 → 29, 32 番
• 命題 6.1 閉路気体表示 フェルミオンの多重尺度解析：Gram–Hadamard 評価と森公式による収束、尺度ごとの次元勘定、閉路気体と遮蔽 → 28 番
• 定理 4.3 切断期待値の木の公式（Brydges–Battle–Federbush, Abdesselam–Rivasseau） フェルミオンの多重尺度解析：Gram–Hadamard 評価と森公式による収束、尺度ごとの次元勘定、閉路気体と遮蔽 → 29 番
• 定理 3.2 Gram–Hadamard 評価 フェルミオンの多重尺度解析：Gram–Hadamard 評価と森公式による収束、尺度ごとの次元勘定、閉路気体と遮蔽 → 27 番
• 定理 5.2 1 つの尺度での核の評価 フェルミオンの多重尺度解析：Gram–Hadamard 評価と森公式による収束、尺度ごとの次元勘定、閉路気体と遮蔽 → 30 番
• 定理 4.4 フェルミオン摂動級数の収束 フェルミオンの多重尺度解析：Gram–Hadamard 評価と森公式による収束、尺度ごとの次元勘定、閉路気体と遮蔽 → 29, 31, 34 番
• 系 5.3 正準経路による Poincaré 不等式 Hubbard 模型の厳密な結果：Lieb の定理・Nagaoka–Thouless の強磁性・正準経路による Dirichlet 形式の比較 → 7 番
• 定義 5.1 Dirichlet 形式とスペクトルギャップ Hubbard 模型の厳密な結果：Lieb の定理・Nagaoka–Thouless の強磁性・正準経路による Dirichlet 形式の比較 → 6, 7 番
• 定義 4.3 正孔の連結性条件 Hubbard 模型の厳密な結果：Lieb の定理・Nagaoka–Thouless の強磁性・正準経路による Dirichlet 形式の比較 → 5, 9 番
• 定義 2.1 有限グラフ上の Hubbard 模型 Hubbard 模型の厳密な結果：Lieb の定理・Nagaoka–Thouless の強磁性・正準経路による Dirichlet 形式の比較 → 1, 8 番
• 定義 4.1 U = ∞ の Hubbard 模型 Hubbard 模型の厳密な結果：Lieb の定理・Nagaoka–Thouless の強磁性・正準経路による Dirichlet 形式の比較 → 4 番
• 演習 6.1 Hubbard 模型の厳密な結果：Lieb の定理・Nagaoka–Thouless の強磁性・正準経路による Dirichlet 形式の比較 → 8 番
• 補題 3.1 スピン空間の鏡映正値性 Hubbard 模型の厳密な結果：Lieb の定理・Nagaoka–Thouless の強磁性・正準経路による Dirichlet 形式の比較 → 3 番
• 補題 4.2 正孔の基底とホッピングの行列要素 Hubbard 模型の厳密な結果：Lieb の定理・Nagaoka–Thouless の強磁性・正準経路による Dirichlet 形式の比較 → 4, 5, 9 番
• 補題 2.4 粒子の滑らせ方と既約性 Hubbard 模型の厳密な結果：Lieb の定理・Nagaoka–Thouless の強磁性・正準経路による Dirichlet 形式の比較 → 2, 3 番
• 命題 3.3 下向きスピンの粒子正孔変換 Hubbard 模型の厳密な結果：Lieb の定理・Nagaoka–Thouless の強磁性・正準経路による Dirichlet 形式の比較 → 2, 8 番
• 命題 4.6 三角形による十分条件 Hubbard 模型の厳密な結果：Lieb の定理・Nagaoka–Thouless の強磁性・正準経路による Dirichlet 形式の比較 → 9 番
• 定理 3.2 引力 Hubbard 模型の基底状態（Lieb） Hubbard 模型の厳密な結果：Lieb の定理・Nagaoka–Thouless の強磁性・正準経路による Dirichlet 形式の比較 → 3 番
• 定理 5.2 Dirichlet 形式の比較定理（Diaconis–Saloff-Coste） Hubbard 模型の厳密な結果：Lieb の定理・Nagaoka–Thouless の強磁性・正準経路による Dirichlet 形式の比較 → 6 番
• 定理 3.4 Lieb の定理 Hubbard 模型の厳密な結果：Lieb の定理・Nagaoka–Thouless の強磁性・正準経路による Dirichlet 形式の比較 → 1, 2 番
• 定理 4.4 Nagaoka–Thouless の定理 Hubbard 模型の厳密な結果：Lieb の定理・Nagaoka–Thouless の強磁性・正準経路による Dirichlet 形式の比較 → 4, 5 番
• 定義 2.1 Jordan–Wigner フェルミオンとパリティ Jordan–Wigner 変換と Bethe 仮説：XY 鎖の自由フェルミオン解と XXZ 鎖の座標 Bethe 仮説 → 44, 50 番
• 定義 5.1 2 体の散乱振幅 Jordan–Wigner 変換と Bethe 仮説：XY 鎖の自由フェルミオン解と XXZ 鎖の座標 Bethe 仮説 → 45 番
• 定義 3.1 XY 鎖 Jordan–Wigner 変換と Bethe 仮説：XY 鎖の自由フェルミオン解と XXZ 鎖の座標 Bethe 仮説 → 46 番
• 補題 5.2 隣り合う運動量の入れ替え Jordan–Wigner 変換と Bethe 仮説：XY 鎖の自由フェルミオン解と XXZ 鎖の座標 Bethe 仮説 → 48, 49 番
• 補題 2.2 結合の Jordan–Wigner 表示 Jordan–Wigner 変換と Bethe 仮説：XY 鎖の自由フェルミオン解と XXZ 鎖の座標 Bethe 仮説 → 44, 47, 50 番
• 定理 5.4 Bethe 方程式 Jordan–Wigner 変換と Bethe 仮説：XY 鎖の自由フェルミオン解と XXZ 鎖の座標 Bethe 仮説 → 45, 48 番
• 定理 5.3 座標 Bethe 仮説（無限鎖） Jordan–Wigner 変換と Bethe 仮説：XY 鎖の自由フェルミオン解と XXZ 鎖の座標 Bethe 仮説 → 48, 49 番
• 定理 3.2 XY 鎖のスペクトル（Lieb–Schultz–Mattis） Jordan–Wigner 変換と Bethe 仮説：XY 鎖の自由フェルミオン解と XXZ 鎖の座標 Bethe 仮説 → 46, 47 番
• 系 6.4 2 点関数の異常次元 朝永–Luttinger 模型とボソン化：頂点作用素の公式・Lieb–Mattis の厳密解・異常を含む Ward 恒等式・異常次元・Coleman 対応 → 36, 39, 42 番
• 系 5.2 Luttinger 液体の関係式と和則 朝永–Luttinger 模型とボソン化：頂点作用素の公式・Lieb–Mattis の厳密解・異常を含む Ward 恒等式・異常次元・Coleman 対応 → 36, 38, 39, 40 番
• 補題 6.2 対数の Fourier 級数 朝永–Luttinger 模型とボソン化：頂点作用素の公式・Lieb–Mattis の厳密解・異常を含む Ward 恒等式・異常次元・Coleman 対応 → 42 番
• 補題 4.2 ボソンによる表示 朝永–Luttinger 模型とボソン化：頂点作用素の公式・Lieb–Mattis の厳密解・異常を含む Ward 恒等式・異常次元・Coleman 対応 → 40, 41, 43 番
• 命題 3.4 頂点作用素の Coulomb 気体公式 朝永–Luttinger 模型とボソン化：頂点作用素の公式・Lieb–Mattis の厳密解・異常を含む Ward 恒等式・異常次元・Coleman 対応 → 37 番
• 定理 7.2 自由点での Coleman 対応 朝永–Luttinger 模型とボソン化：頂点作用素の公式・Lieb–Mattis の厳密解・異常を含む Ward 恒等式・異常次元・Coleman 対応 → 37 番
• 定理 4.3 Lieb–Mattis の厳密解 朝永–Luttinger 模型とボソン化：頂点作用素の公式・Lieb–Mattis の厳密解・異常を含む Ward 恒等式・異常次元・Coleman 対応 → 35, 40, 43 番
• 定理 5.1 異常を含む Ward 恒等式 朝永–Luttinger 模型とボソン化：頂点作用素の公式・Lieb–Mattis の厳密解・異常を含む Ward 恒等式・異常次元・Coleman 対応 → 38, 41 番
• 系 3.2 Green 関数の解析的性質 松原形式と有限温度 Green 関数：KMS 条件・Lehmann 表示・Luttinger–Ward 汎関数・Luttinger の定理 → 13, 14, 15, 16 番
• 系 4.2 1 次の極の対称和 松原形式と有限温度 Green 関数：KMS 条件・Lehmann 表示・Luttinger–Ward 汎関数・Luttinger の定理 → 12 番
• 定義 2.1 虚時間 Green 関数 松原形式と有限温度 Green 関数：KMS 条件・Lehmann 表示・Luttinger–Ward 汎関数・Luttinger の定理 → 10 番
• 定義 7.1 Luttinger の定理の仮定 松原形式と有限温度 Green 関数：KMS 条件・Lehmann 表示・Luttinger–Ward 汎関数・Luttinger の定理 → 17 番
• 定義 6.1 正則化した Tr log 松原形式と有限温度 Green 関数：KMS 条件・Lehmann 表示・Luttinger–Ward 汎関数・Luttinger の定理 → 11 番
• 例 3.5 原子極限の Hubbard 模型 松原形式と有限温度 Green 関数：KMS 条件・Lehmann 表示・Luttinger–Ward 汎関数・Luttinger の定理 → 14 番
• 例 3.4 自由フェルミオン 松原形式と有限温度 Green 関数：KMS 条件・Lehmann 表示・Luttinger–Ward 汎関数・Luttinger の定理 → 18 番
• 補題 5.2 正値な分解についての Schwarz 型不等式 松原形式と有限温度 Green 関数：KMS 条件・Lehmann 表示・Luttinger–Ward 汎関数・Luttinger の定理 → 15 番
• 命題 2.2 反周期性（KMS 条件） 松原形式と有限温度 Green 関数：KMS 条件・Lehmann 表示・Luttinger–Ward 汎関数・Luttinger の定理 → 10, 18 番
• 命題 5.3 自己エネルギーの符号と高周波極限 松原形式と有限温度 Green 関数：KMS 条件・Lehmann 表示・Luttinger–Ward 汎関数・Luttinger の定理 → 13, 14, 15 番
• 定理 6.3 自由系の大分配関数の Tr log 表示 松原形式と有限温度 Green 関数：KMS 条件・Lehmann 表示・Luttinger–Ward 汎関数・Luttinger の定理 → 11 番
• 定理 3.1 Lehmann 表示 松原形式と有限温度 Green 関数：KMS 条件・Lehmann 表示・Luttinger–Ward 汎関数・Luttinger の定理 → 13, 16, 18 番
• 定理 7.2 Luttinger の定理（条件つき） 松原形式と有限温度 Green 関数：KMS 条件・Lehmann 表示・Luttinger–Ward 汎関数・Luttinger の定理 → 17 番
• 定理 4.1 松原和の留数公式 松原形式と有限温度 Green 関数：KMS 条件・Lehmann 表示・Luttinger–Ward 汎関数・Luttinger の定理 → 12 番