微分位相 50 本ノック

修士50 問。全問無料です。

対象読者: 本テーマ第 1〜7 章の横断性・管状近傍・交点数・Thom 類・ハンドル分解・同境・h 同境定理を学んだ修士課程の人。各章の定義と主要な定理を覚えているかを確かめます。

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執筆: Claude Code（Sonnet 5.5）・監査 2 回（Claude Code）・最終 2026-10-12

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この冊について（出典・構成・使う定理）

主な参考文献

• J. W. Milnor, Topology from the Differentiable Viewpoint
• V. Guillemin, A. Pollack, Differential Topology
• M. W. Hirsch, Differential Topology
• J. Milnor, Lectures on the h-Cobordism Theorem

問題はすべて Rikai の書き下ろしです。参考文献の演習や本文は転載していません。

構成

• 1〜8: 横断性と一般の位置
• 9〜15: 管状近傍・カラー・イソトピー
• 16〜23: 交点数と写像度
• 24〜30: Thom 類と Poincaré 双対
• 31〜37: ハンドル分解と手術
• 38〜44: 同境と Pontryagin–Thom 構成
• 45〜50: h 同境定理と 4 次元多様体

形式: 単一選択 17・複数選択 9・○× 5・数値 8・並べ替え 3・誤り探し 4・記述 4。難易度 ★〜★★★★: 0 / 14 / 29 / 7。

この冊で使う定義・定理（96）

• 系 4.1 Hopf の写像度定理（一般の定義域） 同境と Pontryagin–Thom 構成 → 38 番
• 系 4.2 向き付け不可能な場合 同境と Pontryagin–Thom 構成 → 38 番
• 定義 6.7 Pontryagin 数と Stiefel–Whitney 数 同境と Pontryagin–Thom 構成 → 43 番
• 定義 4.4 Hopf 不変量 同境と Pontryagin–Thom 構成 → 42 番
• 例 4.3 球面の上の点の枠付き同境と写像度 同境と Pontryagin–Thom 構成 → 41 番
• 演習 7.2 同境と Pontryagin–Thom 構成 → 43 番
• 補題 2.4 連結和は非交和に同境 同境と Pontryagin–Thom 構成 → 39, 40, 44 番
• 命題 6.8 Pontryagin 数の同境不変性 同境と Pontryagin–Thom 構成 → 43 番
• 命題 2.6 境界になる閉多様体の Euler 標数は偶数 同境と Pontryagin–Thom 構成 → 37, 44 番
• 命題 2.3 非有向同境群の元は位数 2 同境と Pontryagin–Thom 構成 → 40, 44 番
• 定理 4.5 Hopf 不変量と絡み数 同境と Pontryagin–Thom 構成 → 41, 42 番
• 定理 3.7 Pontryagin–Thom 構成（枠付きの場合） 同境と Pontryagin–Thom 構成 → 41 番
• 定理 6.4 符号数は有向同境不変量で、乗法的 同境と Pontryagin–Thom 構成 → 39, 40 番
• 系 2.9 高次元の一般化された Poincaré 予想 h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口 → 45 番
• 系 4.7 絡み数の射影図による公式 h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口 → 22 番
• 定義 2.1 h 同境、ホモトピー球面、ねじれ球面 h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口 → 14 番
• 定義 5.1 4 次元多様体の交叉形式 h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口 → 48, 50 番
• 定義 4.1 結び目、絡み目、Seifert 膜 h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口 → 49 番
• 定義 3.5 Milnor の不変量 λ h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口 → 47 番
• 例 5.6 E₈ 形式と K3 曲面 h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口 → 39, 50 番
• 例 3.6 λ(M_{2,−1}) の計算 h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口 → 46, 47 番
• 例 3.2 M_{1,0} は S⁷ h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口 → 46 番
• 補題 2.6 Alexander の技巧 h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口 → 14 番
• 命題 5.5 CP²、S² × S²、CP² # (−CP²) の交叉形式 h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口 → 48 番
• 注意 4.5 h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口 → 49 番
• 定理 5.9 Donaldson の定理（主張のみ） h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口 → 50 番
• 定理 5.7 Freedman の定理（主張のみ） h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口 → 48 番
• 定理 2.2 h 同境定理（Smale。主張のみ） h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口 → 45 番
• 定理 3.3 Milnor のエキゾチック 7 次元球面 h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口 → 45, 46, 47 番
• 定理 4.4 Seifert 膜の存在 h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口 → 49 番
• 系 5.9 0-ハンドルと n-ハンドルは 1 つずつにできる ハンドル分解と手術：曲面の分類と Heegaard 分解 → 34 番
• 補題 7.1 円周の微分同相 ハンドル分解と手術：曲面の分類と Heegaard 分解 → 10 番
• 補題 3.5 切って貼り直す操作と微分同相 ハンドル分解と手術：曲面の分類と Heegaard 分解 → 14 番
• 命題 6.2 双対ハンドル分解 ハンドル分解と手術：曲面の分類と Heegaard 分解 → 34, 37 番
• 命題 6.1 ハンドル鎖複体 ハンドル分解と手術：曲面の分類と Heegaard 分解 → 31, 32 番
• 命題 8.3 種数 1 の Heegaard 分解とレンズ空間 ハンドル分解と手術：曲面の分類と Heegaard 分解 → 35, 36 番
• 注意 5.4 ハンドル分解と手術：曲面の分類と Heegaard 分解 → 34 番
• 定理 3.7 ハンドル分解の存在 ハンドル分解と手術：曲面の分類と Heegaard 分解 → 31, 36 番
• 定理 8.1 Heegaard 分解の存在 ハンドル分解と手術：曲面の分類と Heegaard 分解 → 32, 35, 36 番
• 定理 2.7 臨界点の無い同境は積 ハンドル分解と手術：曲面の分類と Heegaard 分解 → 34 番
• 定理 7.5 閉曲面の分類定理 ハンドル分解と手術：曲面の分類と Heegaard 分解 → 11, 33, 44 番
• 系 4.4 写像度の積分による表示 交点数と写像度：Borsuk–Ulam の定理と Poincaré–Hopf の定理 → 30 番
• 系 6.2 ハムサンドイッチの定理 交点数と写像度：Borsuk–Ulam の定理と Poincaré–Hopf の定理 → 23 番
• 定義 4.1 滑らかな写像の写像度 交点数と写像度：Borsuk–Ulam の定理と Poincaré–Hopf の定理 → 17, 20 番
• 定義 2.1 mod 2 交点数 交点数と写像度：Borsuk–Ulam の定理と Poincaré–Hopf の定理 → 16 番
• 定義 7.1 ベクトル場の孤立零点の指数 交点数と写像度：Borsuk–Ulam の定理と Poincaré–Hopf の定理 → 18 番
• 命題 7.2 指数は座標によらない 交点数と写像度：Borsuk–Ulam の定理と Poincaré–Hopf の定理 → 18, 19 番
• 命題 8.2 絡み数の 3 つの表示と対称性 交点数と写像度：Borsuk–Ulam の定理と Poincaré–Hopf の定理 → 22 番
• 命題 8.5 局所 Lefschetz 数 交点数と写像度：Borsuk–Ulam の定理と Poincaré–Hopf の定理 → 21 番
• 注意 8.6 大域的な Lefschetz 数と Euler 標数 交点数と写像度：Borsuk–Ulam の定理と Poincaré–Hopf の定理 → 21 番
• 定理 6.1 Borsuk–Ulam の定理 交点数と写像度：Borsuk–Ulam の定理と Poincaré–Hopf の定理 → 23 番
• 定理 4.5 正則値による写像度の計算と、ホモロジーによる写像度との一致 交点数と写像度：Borsuk–Ulam の定理と Poincaré–Hopf の定理 → 17, 18, 20, 30, 42 番
• 定理 5.3 Jordan–Brouwer の分離定理（滑らかな場合） 交点数と写像度：Borsuk–Ulam の定理と Poincaré–Hopf の定理 → 5, 23 番
• 定理 2.2 mod 2 交点数のホモトピー不変性 交点数と写像度：Borsuk–Ulam の定理と Poincaré–Hopf の定理 → 16 番
• 定理 7.7 零点のないベクトル場の存在 交点数と写像度：Borsuk–Ulam の定理と Poincaré–Hopf の定理 → 19 番
• 定理 7.6 Poincaré–Hopf の定理 交点数と写像度：Borsuk–Ulam の定理と Poincaré–Hopf の定理 → 19 番
• 系 8.7 平面曲線の次数と種数 Thom 類と Poincaré 双対：交叉とカップ積、Euler 類 → 24, 29 番
• 系 5.6 交点数は Poincaré 双対の積の積分 Thom 類と Poincaré 双対：交叉とカップ積、Euler 類 → 27 番
• 例 6.7 Euler 数の例 Thom 類と Poincaré 双対：交叉とカップ積、Euler 類 → 25 番
• 例 9.2 4 次元多様体の交叉形式 Thom 類と Poincaré 双対：交叉とカップ積、Euler 類 → 12, 31 番
• 補題 8.6 曲面上の複素直線束のテンソル積の Euler 数 Thom 類と Poincaré 双対：交叉とカップ積、Euler 類 → 25 番
• 命題 6.2 Euler 類の性質 Thom 類と Poincaré 双対：交叉とカップ積、Euler 類 → 26, 28 番
• 命題 9.1 交叉形式 Thom 類と Poincaré 双対：交叉とカップ積、Euler 類 → 30 番
• 命題 4.3 Thom 類の特徴づけと基本性質 Thom 類と Poincaré 双対：交叉とカップ積、Euler 類 → 26 番
• 注意 8.8 随伴公式 Thom 類と Poincaré 双対：交叉とカップ積、Euler 類 → 29 番
• 定理 8.4 複素射影空間のコホモロジー環 Thom 類と Poincaré 双対：交叉とカップ積、Euler 類 → 24, 27, 30, 43 番
• 定理 6.4 Euler 類は切断の零点集合の Poincaré 双対 Thom 類と Poincaré 双対：交叉とカップ積、Euler 類 → 25 番
• 定理 6.5 接束の Euler 数は Euler 標数 Thom 類と Poincaré 双対：交叉とカップ積、Euler 類 → 28, 29 番
• 定理 8.3 Gysin 完全列 Thom 類と Poincaré 双対：交叉とカップ積、Euler 類 → 28 番
• 定理 5.8 横断的な交わりは外積 Thom 類と Poincaré 双対：交叉とカップ積、Euler 類 → 27 番
• 定理 7.1 対角集合の Poincaré 双対と Lefschetz 数 Thom 類と Poincaré 双対：交叉とカップ積、Euler 類 → 21 番
• 定理 4.1 Thom 同型定理 Thom 類と Poincaré 双対：交叉とカップ積、Euler 類 → 26 番
• 定義 5.1 安定な性質 横断性：パラメータ付き横断性定理と一般の位置 → 7 番
• 定義 3.1 横断性 横断性：パラメータ付き横断性定理と一般の位置 → 1, 3, 6 番
• 例 10.3 階数 r の行列の集合の余次元 横断性：パラメータ付き横断性定理と一般の位置 → 2 番
• 例 5.3 安定でない性質と、コンパクト性が要る理由 横断性：パラメータ付き横断性定理と一般の位置 → 7 番
• 補題 3.2 横断性の局所的な言い換え 横断性：パラメータ付き横断性定理と一般の位置 → 1 番
• 注意 8.5 次元をさらに下げられるか 横断性：パラメータ付き横断性定理と一般の位置 → 5 番
• 定理 6.1 パラメータ付き横断性定理 横断性：パラメータ付き横断性定理と一般の位置 → 4, 6, 8 番
• 定理 5.2 安定性定理 横断性：パラメータ付き横断性定理と一般の位置 → 4, 7 番
• 定理 3.3 横断的な写像による逆像 横断性：パラメータ付き横断性定理と一般の位置 → 1, 2, 3, 8 番
• 定理 3.8 境界付き多様体からの横断的な写像による逆像 横断性：パラメータ付き横断性定理と一般の位置 → 4 番
• 定理 8.3 Whitney の埋め込み定理（固有な埋め込み） 横断性：パラメータ付き横断性定理と一般の位置 → 5 番
• 定理 8.4 Whitney のはめ込み定理 横断性：パラメータ付き横断性定理と一般の位置 → 5 番
• 系 6.4 連結和は矛盾なく定まる 管状近傍・カラー・イソトピーの拡張 → 12 番
• 系 7.4 境界の一部に沿った貼り合わせ 管状近傍・カラー・イソトピーの拡張 → 13 番
• 定義 6.3 連結和 管状近傍・カラー・イソトピーの拡張 → 33 番
• 定義 3.1 法束と管状近傍 管状近傍・カラー・イソトピーの拡張 → 9 番
• 例 3.6 管状近傍の例 管状近傍・カラー・イソトピーの拡張 → 9 番
• 演習 9.1 管状近傍・カラー・イソトピーの拡張 → 9 番
• 補題 6.1 原点を止める埋め込みは包含写像にイソトピック 管状近傍・カラー・イソトピーの拡張 → 15 番
• 注意 6.5 向きを変えると連結和は変わりうる 管状近傍・カラー・イソトピーの拡張 → 12 番
• 定理 6.2 円板定理（Palais, Cerf） 管状近傍・カラー・イソトピーの拡張 → 15 番
• 定理 7.2 貼り合わせの構造はカラーによらない 管状近傍・カラー・イソトピーの拡張 → 11, 13, 14, 37 番
• 定理 5.4 微分同相群は点の組に推移的に作用する 管状近傍・カラー・イソトピーの拡張 → 10, 15 番
• 定理 5.2 イソトピー拡張定理 管状近傍・カラー・イソトピーの拡張 → 10, 13 番