コンパクト群の表現 50 本ノック

博士・研究50 問。先頭 10 問は無料、残りは購入者向けです。

対象読者: 本テーマ第 1〜5 章の Haar 測度、Peter–Weyl の定理、指標、Casimir 作用素、群積分を学んだ博士課程水準の人。各ブロックは該当章の内容のみ前提とします。

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執筆: Claude Code（Opus 5.5）、Claude Code（Sonnet 5.5）・監査 3 回（Claude Code）・最終 2026-10-12

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この冊について（出典・構成・使う定理）

主な参考文献

• A. W. Knapp, Lie Groups Beyond an Introduction
• B. Simon, Representations of Finite and Compact Groups
• I. Montvay, G. Münster, Quantum Fields on a Lattice（付録の群積分）

問題はすべて Rikai の書き下ろしです。参考文献の演習や本文は転載していません。

構成

• 1〜8: Haar 測度
• 9〜20: Peter–Weyl の定理
• 21〜32: 指標と SU(2)・SU(N)
• 33〜41: Casimir 作用素とラプラシアン
• 42〜50: 格子ゲージの群積分

形式: 単一選択 12・複数選択 7・○× 4・数値 14・並べ替え 3・誤り探し 5・記述 5。難易度 ★〜★★★★: 6 / 21 / 18 / 5。

この冊で使う定義・定理（77）

• 定義 3.3 2 次 Casimir 元 Casimir 作用素と群上のラプラシアン：普遍包絡環・Peter–Weyl 分解・Kogut–Susskind の色電場と熱核 → 33 番
• 例 5.7 反例：左不変だが両側不変でない計量（非対称コマ） Casimir 作用素と群上のラプラシアン：普遍包絡環・Peter–Weyl 分解・Kogut–Susskind の色電場と熱核 → 38 番
• 例 4.5 Casimir の値は表現を決めない Casimir 作用素と群上のラプラシアン：普遍包絡環・Peter–Weyl 分解・Kogut–Susskind の色電場と熱核 → 35, 36 番
• 例 5.8 反例：連結でない群では C₂ = 0 の非自明表現がある Casimir 作用素と群上のラプラシアン：普遍包絡環・Peter–Weyl 分解・Kogut–Susskind の色電場と熱核 → 35 番
• 例 6.3 SU(2) の熱核と鏡像和 Casimir 作用素と群上のラプラシアン：普遍包絡環・Peter–Weyl 分解・Kogut–Susskind の色電場と熱核 → 39 番
• 演習 7.2 Casimir 作用素と群上のラプラシアン：普遍包絡環・Peter–Weyl 分解・Kogut–Susskind の色電場と熱核 → 35, 41 番
• 補題 5.4 Casimir の増大と熱跡の有限性 Casimir 作用素と群上のラプラシアン：普遍包絡環・Peter–Weyl 分解・Kogut–Susskind の色電場と熱核 → 40, 50 番
• 命題 3.4 Casimir 元の基底独立性と中心性 Casimir 作用素と群上のラプラシアン：普遍包絡環・Peter–Weyl 分解・Kogut–Susskind の色電場と熱核 → 37 番
• 命題 5.2 ラプラシアンは不変ベクトル場の 2 乗和 Casimir 作用素と群上のラプラシアン：普遍包絡環・Peter–Weyl 分解・Kogut–Susskind の色電場と熱核 → 38 番
• 命題 4.1 SU(2) の Casimir 値 Casimir 作用素と群上のラプラシアン：普遍包絡環・Peter–Weyl 分解・Kogut–Susskind の色電場と熱核 → 33, 39, 41 番
• 命題 4.3 SU(N) の基本表現・随伴表現の Casimir 値 Casimir 作用素と群上のラプラシアン：普遍包絡環・Peter–Weyl 分解・Kogut–Susskind の色電場と熱核 → 34, 48 番
• 命題 3.2 普遍性と随伴作用 Casimir 作用素と群上のラプラシアン：普遍包絡環・Peter–Weyl 分解・Kogut–Susskind の色電場と熱核 → 37 番
• 注意 4.4 一般の既約表現の Casimir 値 Casimir 作用素と群上のラプラシアン：普遍包絡環・Peter–Weyl 分解・Kogut–Susskind の色電場と熱核 → 34, 36 番
• 注意 6.4 熱核の正値性 Casimir 作用素と群上のラプラシアン：普遍包絡環・Peter–Weyl 分解・Kogut–Susskind の色電場と熱核 → 40 番
• 定理 3.5 Casimir 作用素は既約表現上でスカラー Casimir 作用素と群上のラプラシアン：普遍包絡環・Peter–Weyl 分解・Kogut–Susskind の色電場と熱核 → 35, 37, 38, 41 番
• 定理 6.2 群上の熱核と指標展開 Casimir 作用素と群上のラプラシアン：普遍包絡環・Peter–Weyl 分解・Kogut–Susskind の色電場と熱核 → 39, 40, 50 番
• 定理 5.3 Peter–Weyl 分解の各成分でラプラシアンは Casimir 値 Casimir 作用素と群上のラプラシアン：普遍包絡環・Peter–Weyl 分解・Kogut–Susskind の色電場と熱核 → 36, 40 番
• 系 3.4 重複度の公式と指標による判定 指標と SU(2)・SU(N) の表現：指標の直交性・Weyl の積分公式・Clebsch–Gordan 分解 → 12, 21, 23, 24, 25, 26, 29, 32 番
• 例 4.7 反例：コンパクトでない群では指標は表現を決めない 指標と SU(2)・SU(N) の表現：指標の直交性・Weyl の積分公式・Clebsch–Gordan 分解 → 29 番
• 例 5.5 SU(3) の小さい表現 指標と SU(2)・SU(N) の表現：指標の直交性・Weyl の積分公式・Clebsch–Gordan 分解 → 28 番
• 演習 6.3 指標と SU(2)・SU(N) の表現：指標の直交性・Weyl の積分公式・Clebsch–Gordan 分解 → 26, 32 番
• 演習 6.4 指標と SU(2)・SU(N) の表現：指標の直交性・Weyl の積分公式・Clebsch–Gordan 分解 → 30 番
• 演習 6.1 指標と SU(2)・SU(N) の表現：指標の直交性・Weyl の積分公式・Clebsch–Gordan 分解 → 21, 30 番
• 補題 4.3 SU(2) の共役類 指標と SU(2)・SU(N) の表現：指標の直交性・Weyl の積分公式・Clebsch–Gordan 分解 → 22, 31, 32 番
• 命題 3.2 指標の基本性質 指標と SU(2)・SU(N) の表現：指標の直交性・Weyl の積分公式・Clebsch–Gordan 分解 → 25 番
• 命題 5.2 F ⊗ F̄ の分解 指標と SU(2)・SU(N) の表現：指標の直交性・Weyl の積分公式・Clebsch–Gordan 分解 → 12, 23, 24, 49 番
• 命題 4.2 V_j はユニタリ表現 指標と SU(2)・SU(N) の表現：指標の直交性・Weyl の積分公式・Clebsch–Gordan 分解 → 27, 30, 32 番
• 注意 5.6 中心の作用と N-ality 指標と SU(2)・SU(N) の表現：指標の直交性・Weyl の積分公式・Clebsch–Gordan 分解 → 23, 24, 49 番
• 定理 3.6 類関数の指標展開 指標と SU(2)・SU(N) の表現：指標の直交性・Weyl の積分公式・Clebsch–Gordan 分解 → 19 番
• 定理 4.8 Clebsch–Gordan 分解 指標と SU(2)・SU(N) の表現：指標の直交性・Weyl の積分公式・Clebsch–Gordan 分解 → 21, 24, 25, 26, 27, 41 番
• 定理 5.3 SU(N) の既約表現と Young 図形 指標と SU(2)・SU(N) の表現：指標の直交性・Weyl の積分公式・Clebsch–Gordan 分解 → 28 番
• 定理 4.4 Weyl の積分公式（SU(2)） 指標と SU(2)・SU(N) の表現：指標の直交性・Weyl の積分公式・Clebsch–Gordan 分解 → 2, 5, 22, 29, 31 番
• 系 3.2 1 次モーメント 格子ゲージ理論で使う群積分の公式：SU(N) のモーメント・Weingarten 関数・指標展開と 2 次元の厳密解 → 45 番
• 系 3.4 SU(N) の 2 次モーメント 格子ゲージ理論で使う群積分の公式：SU(N) のモーメント・Weingarten 関数・指標展開と 2 次元の厳密解 → 42 番
• 定義 5.1 指標係数 格子ゲージ理論で使う群積分の公式：SU(N) のモーメント・Weingarten 関数・指標展開と 2 次元の厳密解 → 49 番
• 例 5.4 U(1) と SU(2) の指標係数 格子ゲージ理論で使う群積分の公式：SU(N) のモーメント・Weingarten 関数・指標展開と 2 次元の厳密解 → 46 番
• 例 3.7 反例：U(3) ではバリオン型の積分が消える 格子ゲージ理論で使う群積分の公式：SU(N) のモーメント・Weingarten 関数・指標展開と 2 次元の厳密解 → 45 番
• 例 4.5 n = 1, 2 の Weingarten 関数 格子ゲージ理論で使う群積分の公式：SU(N) のモーメント・Weingarten 関数・指標展開と 2 次元の厳密解 → 43, 44 番
• 演習 8.3 格子ゲージ理論で使う群積分の公式：SU(N) のモーメント・Weingarten 関数・指標展開と 2 次元の厳密解 → 48 番
• 演習 8.1 格子ゲージ理論で使う群積分の公式：SU(N) のモーメント・Weingarten 関数・指標展開と 2 次元の厳密解 → 45 番
• 補題 6.1 類関数の張り合わせ 格子ゲージ理論で使う群積分の公式：SU(N) のモーメント・Weingarten 関数・指標展開と 2 次元の厳密解 → 50 番
• 命題 4.1 釣り合ったモーメントは SU(N) と U(N) で等しい 格子ゲージ理論で使う群積分の公式：SU(N) のモーメント・Weingarten 関数・指標展開と 2 次元の厳密解 → 43, 44 番
• 命題 3.1 モーメントの選択則 格子ゲージ理論で使う群積分の公式：SU(N) のモーメント・Weingarten 関数・指標展開と 2 次元の厳密解 → 47 番
• 命題 5.3 指標係数の強結合での振る舞い 格子ゲージ理論で使う群積分の公式：SU(N) のモーメント・Weingarten 関数・指標展開と 2 次元の厳密解 → 49 番
• 注意 5.5 弱結合では Casimir が現れる 格子ゲージ理論で使う群積分の公式：SU(N) のモーメント・Weingarten 関数・指標展開と 2 次元の厳密解 → 48 番
• 定理 6.3 2 次元格子ゲージ理論の厳密解 格子ゲージ理論で使う群積分の公式：SU(N) のモーメント・Weingarten 関数・指標展開と 2 次元の厳密解 → 46, 48, 50 番
• 定理 3.6 バリオン型の積分 格子ゲージ理論で使う群積分の公式：SU(N) のモーメント・Weingarten 関数・指標展開と 2 次元の厳密解 → 45, 47 番
• 定理 4.3 Weingarten の積分公式（Collins） 格子ゲージ理論で使う群積分の公式：SU(N) のモーメント・Weingarten 関数・指標展開と 2 次元の厳密解 → 43, 44 番
• 系 5.3 準同型による Haar 測度の像 Haar 測度：局所コンパクト群の不変積分とモジュラー関数、U(1)・SU(2)・SO(3) の具体形 → 2, 5, 21 番
• 定義 3.1 左 Haar 測度 Haar 測度：局所コンパクト群の不変積分とモジュラー関数、U(1)・SU(2)・SO(3) の具体形 → 1 番
• 定義 4.1 モジュラー関数 Haar 測度：局所コンパクト群の不変積分とモジュラー関数、U(1)・SU(2)・SO(3) の具体形 → 1, 6, 7 番
• 例 4.4 反例：単模でない ax+b 群 Haar 測度：局所コンパクト群の不変積分とモジュラー関数、U(1)・SU(2)・SO(3) の具体形 → 7 番
• 例 6.3 SU(2) の Haar 測度（Euler 角） Haar 測度：局所コンパクト群の不変積分とモジュラー関数、U(1)・SU(2)・SO(3) の具体形 → 3, 10 番
• 例 4.3 単模群の典型 Haar 測度：局所コンパクト群の不変積分とモジュラー関数、U(1)・SU(2)・SO(3) の具体形 → 4 番
• 演習 8.3 Haar 測度：局所コンパクト群の不変積分とモジュラー関数、U(1)・SU(2)・SO(3) の具体形 → 2 番
• 補題 2.3 C_c 関数の一様連続性 Haar 測度：局所コンパクト群の不変積分とモジュラー関数、U(1)・SU(2)・SO(3) の具体形 → 8 番
• 命題 3.6 Haar 測度は開集合で正 Haar 測度：局所コンパクト群の不変積分とモジュラー関数、U(1)・SU(2)・SO(3) の具体形 → 6 番
• 命題 4.2 モジュラー関数の性質 Haar 測度：局所コンパクト群の不変積分とモジュラー関数、U(1)・SU(2)・SO(3) の具体形 → 1, 6, 7 番
• 注意 5.2 ゲージ不変性が Haar 測度を強制する Haar 測度：局所コンパクト群の不変積分とモジュラー関数、U(1)・SU(2)・SO(3) の具体形 → 8 番
• 注意 5.4 コンパクト性と全質量 Haar 測度：局所コンパクト群の不変積分とモジュラー関数、U(1)・SU(2)・SO(3) の具体形 → 4 番
• 定理 5.1 コンパクト群の正規化 Haar 測度 Haar 測度：局所コンパクト群の不変積分とモジュラー関数、U(1)・SU(2)・SO(3) の具体形 → 3, 4, 5, 8, 18 番
• 定理 3.2 Haar 測度の存在と一意性 Haar 測度：局所コンパクト群の不変積分とモジュラー関数、U(1)・SU(2)・SO(3) の具体形 → 6 番
• 系 4.3 指標の正規直交性 Peter–Weyl の定理：Schur の直交関係、L²(G) の完全分解、ユニタリ表現の有限次元への還元 → 14 番
• 系 5.9 Fourier 展開と Plancherel の公式 Peter–Weyl の定理：Schur の直交関係、L²(G) の完全分解、ユニタリ表現の有限次元への還元 → 14 番
• 例 6.2 反例：R の正則表現には有限次元の部分表現がない Peter–Weyl の定理：Schur の直交関係、L²(G) の完全分解、ユニタリ表現の有限次元への還元 → 13, 16 番
• 演習 8.3 Peter–Weyl の定理：Schur の直交関係、L²(G) の完全分解、ユニタリ表現の有限次元への還元 → 9 番
• 補題 4.1 平均による絡作用素の構成 Peter–Weyl の定理：Schur の直交関係、L²(G) の完全分解、ユニタリ表現の有限次元への還元 → 15 番
• 補題 5.3 畳み込み作用素はコンパクト Peter–Weyl の定理：Schur の直交関係、L²(G) の完全分解、ユニタリ表現の有限次元への還元 → 16, 18 番
• 命題 2.2 有限次元ユニタリ表現の完全可約性 Peter–Weyl の定理：Schur の直交関係、L²(G) の完全分解、ユニタリ表現の有限次元への還元 → 11 番
• 注意 5.5 左右同時の分解と格子ゲージ理論 Peter–Weyl の定理：Schur の直交関係、L²(G) の完全分解、ユニタリ表現の有限次元への還元 → 19, 20 番
• 定理 5.4 Peter–Weyl の定理 Peter–Weyl の定理：Schur の直交関係、L²(G) の完全分解、ユニタリ表現の有限次元への還元 → 9, 10, 13, 20 番
• 定理 3.1 Schur の補題 Peter–Weyl の定理：Schur の直交関係、L²(G) の完全分解、ユニタリ表現の有限次元への還元 → 11, 15, 17, 19, 20 番
• 定理 4.2 Schur の直交関係 Peter–Weyl の定理：Schur の直交関係、L²(G) の完全分解、ユニタリ表現の有限次元への還元 → 10, 12, 14, 15, 18 番
• 定理 6.1 コンパクト群のユニタリ表現の分解 Peter–Weyl の定理：Schur の直交関係、L²(G) の完全分解、ユニタリ表現の有限次元への還元 → 13, 17 番
• 定義 3.1 コンパクト作用素 コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス：特異値で測る作用素の大きさ → 16 番
• 定理 6.4 Hilbert–Schmidt 作用素と L² 積分核 コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス：特異値で測る作用素の大きさ → 18 番
• 定理 7.7 トレースの定義と基本性質 コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス：特異値で測る作用素の大きさ → 17 番