spin-boson 模型と開放量子系 50 本ノック

博士・研究50 問。先頭 10 問は無料、残りは購入者向けです。

対象読者: 本テーマ 5 章（spin-boson 模型、Feynman–Kac 表示、相図、Gell-Mann–Low 公式、GKSL 定理と Davies 極限）を読み、作用素論と確率過程の基礎を学んだ博士課程の人。

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執筆: Claude Code（Opus 5.5）、Claude Code（Sonnet 5.5）・監査 2 回（Claude Code）・最終 2026-10-12

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この冊について（出典・構成・使う定理）

主な参考文献

• U. Weiss, Quantum Dissipative Systems, 4th ed. (World Scientific, 2012)
• H.-P. Breuer, F. Petruccione, The Theory of Open Quantum Systems (Oxford University Press, 2002)
• J. Lőrinczi, F. Hiroshima, V. Betz, Feynman–Kac-Type Theorems and Gibbs Measures on Path Space (de Gruyter, 2011)
• S. Teufel, Adiabatic Perturbation Theory in Quantum Dynamics (Lecture Notes in Mathematics 1821, Springer, 2003)

問題はすべて Rikai の書き下ろしです。参考文献の演習や本文は転載していません。

構成

• 1〜12: spin-boson・Kondo・共鳴準位模型
• 13〜22: Feynman–Kac 表示と連続時間 Ising 模型
• 23〜31: spin-boson 模型の相図
• 32〜40: Gell-Mann–Low 公式の厳密版
• 41〜50: Lindblad 生成子と弱結合極限

形式: 単一選択 17・複数選択 8・○× 5・数値 8・並べ替え 4・誤り探し 4・記述 4。難易度 ★〜★★★★: 2 / 23 / 21 / 4。

この冊で使う定義・定理（67）

• 定義 5.1 緩変動関数・正則変動関数 Laplace・Mellin 変換と Tauber 型定理：完全単調関数・正則変動・斉次核作用素 → 36 番
• 定義 2.1 断熱的な結合と断熱極限 Gell-Mann–Low 公式の厳密版：断熱定理・ギャップ・複素時間と Tauber 定理 → 32 番
• 例 4.3 反例：準位交差では励起状態を拾う Gell-Mann–Low 公式の厳密版：断熱定理・ギャップ・複素時間と Tauber 定理 → 32 番
• 例 6.2 Ohmic 型の van Hove 模型：重なりの冪的消失 Gell-Mann–Low 公式の厳密版：断熱定理・ギャップ・複素時間と Tauber 定理 → 26, 40 番
• 演習 7.1 Gell-Mann–Low 公式の厳密版：断熱定理・ギャップ・複素時間と Tauber 定理 → 37 番
• 補題 2.3 相互作用描像での微分 Gell-Mann–Low 公式の厳密版：断熱定理・ギャップ・複素時間と Tauber 定理 → 39 番
• 補題 3.1 固有射影の微分と交換子方程式 Gell-Mann–Low 公式の厳密版：断熱定理・ギャップ・複素時間と Tauber 定理 → 39 番
• 命題 6.3 虚時間で作った状態の非 Fock 極限 Gell-Mann–Low 公式の厳密版：断熱定理・ギャップ・複素時間と Tauber 定理 → 37 番
• 定理 3.2 指数的な結合に対する断熱定理 Gell-Mann–Low 公式の厳密版：断熱定理・ギャップ・複素時間と Tauber 定理 → 33, 34, 39 番
• 定理 5.1 複素時間の Gell-Mann–Low の公式 Gell-Mann–Low 公式の厳密版：断熱定理・ギャップ・複素時間と Tauber 定理 → 35, 38 番
• 定理 4.1 Gell-Mann–Low の定理（ギャップがある場合） Gell-Mann–Low 公式の厳密版：断熱定理・ギャップ・複素時間と Tauber 定理 → 32, 33, 34 番
• 定理 6.1 真空振幅の冪的減衰とスペクトル測度（Tauber 型定理） Gell-Mann–Low 公式の厳密版：断熱定理・ギャップ・複素時間と Tauber 定理 → 36, 40 番
• 系 5.4 相関の下界と単調性 spin-boson 模型の Feynman–Kac 表示：跳び過程・連続時間 Ising 模型・相関不等式 → 17 番
• 系 3.2 真空の行列要素と連続時間 Ising 模型 spin-boson 模型の Feynman–Kac 表示：跳び過程・連続時間 Ising 模型・相関不等式 → 15, 19, 20, 27 番
• 定義 4.1 連続時間 Ising 模型 spin-boson 模型の Feynman–Kac 表示：跳び過程・連続時間 Ising 模型・相関不等式 → 22 番
• 定義 2.1 スピン反転の跳び過程 spin-boson 模型の Feynman–Kac 表示：跳び過程・連続時間 Ising 模型・相関不等式 → 13 番
• 補題 2.2 遷移確率と Markov 性 spin-boson 模型の Feynman–Kac 表示：跳び過程・連続時間 Ising 模型・相関不等式 → 13, 14, 18, 22 番
• 命題 5.1 格子近似 spin-boson 模型の Feynman–Kac 表示：跳び過程・連続時間 Ising 模型・相関不等式 → 18, 21 番
• 命題 4.2 Ising 相関と量子力学の相関 spin-boson 模型の Feynman–Kac 表示：跳び過程・連続時間 Ising 模型・相関不等式 → 19, 22 番
• 命題 6.1 相互作用の裾とスペクトル密度 spin-boson 模型の Feynman–Kac 表示：跳び過程・連続時間 Ising 模型・相関不等式 → 16, 21 番
• 注意 3.4 正値性改良と基底状態の一意性 spin-boson 模型の Feynman–Kac 表示：跳び過程・連続時間 Ising 模型・相関不等式 → 15, 27 番
• 定理 3.1 spin-boson 模型の Feynman–Kac–Nelson 公式 spin-boson 模型の Feynman–Kac 表示：跳び過程・連続時間 Ising 模型・相関不等式 → 14, 15, 20 番
• 定理 5.2 連続時間 Ising 模型の Griffiths 不等式 spin-boson 模型の Feynman–Kac 表示：跳び過程・連続時間 Ising 模型・相関不等式 → 17 番
• 定理 5.5 無限体積極限の存在 spin-boson 模型の Feynman–Kac 表示：跳び過程・連続時間 Ising 模型・相関不等式 → 17 番
• 定義 2.1 完全正値写像 Lindblad 生成子と弱結合極限：Stinespring・GKSL 定理・Davies の van Hove 極限 → 41 番
• 定義 4.2 Davies 生成子 Lindblad 生成子と弱結合極限：Stinespring・GKSL 定理・Davies の van Hove 極限 → 44, 47, 49, 50 番
• 定義 3.1 量子力学的半群 Lindblad 生成子と弱結合極限：Stinespring・GKSL 定理・Davies の van Hove 極限 → 43 番
• 定義 4.5 縮約発展 Lindblad 生成子と弱結合極限：Stinespring・GKSL 定理・Davies の van Hove 極限 → 45 番
• 定義 4.1 弱結合の設定 Lindblad 生成子と弱結合極限：Stinespring・GKSL 定理・Davies の van Hove 極限 → 44, 49, 50 番
• 例 2.4 反例：転置は正値だが完全正値でない Lindblad 生成子と弱結合極限：Stinespring・GKSL 定理・Davies の van Hove 極限 → 42 番
• 例 4.12 弱結合の spin-boson 模型 Lindblad 生成子と弱結合極限：Stinespring・GKSL 定理・Davies の van Hove 極限 → 47 番
• 補題 3.2 写像の空間の基底 Lindblad 生成子と弱結合極限：Stinespring・GKSL 定理・Davies の van Hove 極限 → 48 番
• 補題 4.3 遷移率の非負性 Lindblad 生成子と弱結合極限：Stinespring・GKSL 定理・Davies の van Hove 極限 → 49 番
• 補題 4.8 ペアリング積分の評価 Lindblad 生成子と弱結合極限：Stinespring・GKSL 定理・Davies の van Hove 極限 → 46 番
• 補題 4.7 語の並びとペアリング Lindblad 生成子と弱結合極限：Stinespring・GKSL 定理・Davies の van Hove 極限 → 46 番
• 命題 4.4 Davies 生成子の性質 Lindblad 生成子と弱結合極限：Stinespring・GKSL 定理・Davies の van Hove 極限 → 44, 45 番
• 注意 4.13 仮定と拡張 Lindblad 生成子と弱結合極限：Stinespring・GKSL 定理・Davies の van Hove 極限 → 45 番
• 定理 2.3 Choi–Kraus の定理 Lindblad 生成子と弱結合極限：Stinespring・GKSL 定理・Davies の van Hove 極限 → 41, 42, 48 番
• 定理 4.10 Davies の弱結合極限 Lindblad 生成子と弱結合極限：Stinespring・GKSL 定理・Davies の van Hove 極限 → 45, 46, 50 番
• 定理 3.3 GKSL 定理（Gorini–Kossakowski–Sudarshan, Lindblad） Lindblad 生成子と弱結合極限：Stinespring・GKSL 定理・Davies の van Hove 極限 → 43, 48 番
• 系 4.3 広帯域極限：Lorentz 分布と占有数 spin-boson・Kondo・共鳴準位模型：構成的ボソン化・Toulouse 点・Coulomb 気体 → 4 番
• 定義 5.1 Dirac の海とカイラル・フェルミオン spin-boson・Kondo・共鳴準位模型：構成的ボソン化・Toulouse 点・Coulomb 気体 → 5 番
• 定義 3.2 異方的 Kondo 模型（切断つき） spin-boson・Kondo・共鳴準位模型：構成的ボソン化・Toulouse 点・Coulomb 気体 → 11 番
• 定義 3.1 共鳴準位模型 spin-boson・Kondo・共鳴準位模型：構成的ボソン化・Toulouse 点・Coulomb 気体 → 3, 11 番
• 定義 2.1 スペクトル密度と虚時間相関 spin-boson・Kondo・共鳴準位模型：構成的ボソン化・Toulouse 点・Coulomb 気体 → 1, 2, 16, 20 番
• 例 6.5 Ohmic 型の Coulomb 気体 spin-boson・Kondo・共鳴準位模型：構成的ボソン化・Toulouse 点・Coulomb 気体 → 8, 12 番
• 補題 7.1 Cauchy の行列式 spin-boson・Kondo・共鳴準位模型：構成的ボソン化・Toulouse 点・Coulomb 気体 → 9 番
• 補題 6.3 キンクの電荷による書き直し spin-boson・Kondo・共鳴準位模型：構成的ボソン化・Toulouse 点・Coulomb 気体 → 8, 12 番
• 補題 5.3 Frobenius 座標 spin-boson・Kondo・共鳴準位模型：構成的ボソン化・Toulouse 点・Coulomb 気体 → 6, 10 番
• 補題 2.2 虚時間相関の性質 spin-boson・Kondo・共鳴準位模型：構成的ボソン化・Toulouse 点・Coulomb 気体 → 1, 2, 28 番
• 注意 3.3 3 つの模型の関係 spin-boson・Kondo・共鳴準位模型：構成的ボソン化・Toulouse 点・Coulomb 気体 → 11 番
• 定理 5.2 密度ゆらぎの異常交換関係 spin-boson・Kondo・共鳴準位模型：構成的ボソン化・Toulouse 点・Coulomb 気体 → 5, 10 番
• 定理 5.4 構成的ボソン化と Kronig の恒等式 spin-boson・Kondo・共鳴準位模型：構成的ボソン化・Toulouse 点・Coulomb 気体 → 5, 6, 10 番
• 定理 6.4 Anderson–Yuval–Hamann の Coulomb 気体表示 spin-boson・Kondo・共鳴準位模型：構成的ボソン化・Toulouse 点・Coulomb 気体 → 7, 8, 12 番
• 定理 4.1 共鳴準位模型の Green 関数 spin-boson・Kondo・共鳴準位模型：構成的ボソン化・Toulouse 点・Coulomb 気体 → 3 番
• 定理 7.2 Toulouse 点：Coulomb 気体と自由フェルミオンの行列式 spin-boson・Kondo・共鳴準位模型：構成的ボソン化・Toulouse 点・Coulomb 気体 → 8, 9 番
• 系 4.3 質量のある浴ではつねに非局在 spin-boson 模型の相図：臨界結合・基底状態と長距離秩序・局在転移 → 24 番
• 定義 2.1 2 点関数・感受率・長距離秩序 spin-boson 模型の相図：臨界結合・基底状態と長距離秩序・局在転移 → 23, 29, 31 番
• 補題 3.2 基底状態は裸の真空と重なる spin-boson 模型の相図：臨界結合・基底状態と長距離秩序・局在転移 → 25, 26, 27 番
• 注意 5.1 Anderson–Yuval–Hamann の繰り込み群（発見的） spin-boson 模型の相図：臨界結合・基底状態と長距離秩序・局在転移 → 30 番
• 注意 5.5 証明の所在と、この章の定理との関係 spin-boson 模型の相図：臨界結合・基底状態と長距離秩序・局在転移 → 28 番
• 注意 4.5 単純性の仮定について spin-boson 模型の相図：臨界結合・基底状態と長距離秩序・局在転移 → 25 番
• 定理 5.4 基底状態の相転移（Betz–Hinrichs–Kraft–Polzer） spin-boson 模型の相図：臨界結合・基底状態と長距離秩序・局在転移 → 28 番
• 定理 2.2 臨界結合の存在と相図の単調性（Spohn） spin-boson 模型の相図：臨界結合・基底状態と長距離秩序・局在転移 → 23, 24, 29, 31 番
• 定理 4.1 基底状態・2 点関数・感受率 spin-boson 模型の相図：臨界結合・基底状態と長距離秩序・局在転移 → 25, 31 番
• 定理 3.1 真空振幅と基底状態の重なり spin-boson 模型の相図：臨界結合・基底状態と長距離秩序・局在転移 → 26, 35 番
• 定理 5.6 弱結合での基底状態の存在（Hasler–Herbst, Hasler–Hinrichs–Siebert） spin-boson 模型の相図：臨界結合・基底状態と長距離秩序・局在転移 → 28 番