Gell-Mann–Low 公式の厳密版：断熱定理・ギャップ・複素時間と Tauber 定理

0. この記事の要点

相互作用のない系の「いちばん静かな状態」から出発して、相互作用をゆっくり入れていくと、相互作用のある系のいちばん静かな状態に行き着くのでしょうか。場の理論の計算はこの素朴な期待に支えられています。この記事は、その期待がどんな条件で正しく、どんな条件で破れるかを、反例も含めて数学的に確かめます。読み終えると、計算に使う公式の仮定がどこで効いているかを指摘できるようになります。

• 場の理論の Gell-Mann–Low の公式（定理 2.3［摂動論とファインマン則］）は、相互作用を $\lambda e^{-\varepsilon|t|}$ のようにゆっくり入れ、$\varepsilon\to0$ とする断熱極限で、自由な真空から相互作用する基底状態が作られることを主張します。発散する位相を分母の真空振幅が打ち消すのが要点です。
• $H_0$ が自己共役、$V$ が有界で、結合を $0$ から $\lambda$ まで動かす間ずっと基底エネルギーが単純でギャップ $\gamma$ を保つなら、Kato の断熱定理により、断熱的に発展させた状態は基底状態から $O(\varepsilon)$ しか離れません。そこから、比 $\Psi_\varepsilon/\langle\Omega_0,\Psi_\varepsilon\rangle$ の収束、エネルギーの公式、入りと出の状態による期待値の公式（Gell-Mann–Low の定理）が従います。
• ギャップが閉じると（準位交差）公式は励起状態を拾い、基底状態が自由な真空と直交すると比が定義できなくなります。どちらも具体例で確かめます。
• 時間を複素数方向に傾けた版（$T\to\infty(1-\mathrm{i}\eta)$）は、ギャップなしでも、基底状態と自由な真空が重なりさえすれば成り立ちます。証明はスペクトル定理だけで済みます。
• 重なりが $0$ のとき、真空振幅 $e^{TE}\langle\Omega_0,e^{-TH}\Omega_0\rangle$ の $T\to\infty$ での冪的減衰と、スペクトル測度の基底エネルギー付近の振る舞いは Tauber 定理で結びつきます。赤外特異な van Hove 模型では振幅は正確に $(1+Ts_{\mathrm{c}})^{-\alpha/2}$ で、スペクトル測度は $x^{\alpha/2}$ で立ち上がり、断熱的な状態は非 Fock なコヒーレント状態（元の Fock 空間のベクトルとしては表せない、別の表現の上の状態）に収束します。

この記事で使う事前知識

• 相互作用描像: 自由な部分 $H_0$ による時間発展を差し引いて、相互作用の効果だけで状態が動くように見る書き方。→ 相互作用描像
• 自己共役作用素: 実数のスペクトルを持ち、時間発展 $e^{-\mathrm{i}tH}$ を生み出す作用素。→ 自己共役
• 関数計算: 自己共役作用素 $H$ から $f(H)$ を定める手続き。複素時間の公式で使います。→ 関数計算
• 基底状態とギャップ: エネルギーが最も低い固有状態が基底状態で、その固有値と残りのスペクトルとの距離がギャップ。→ 基底状態
• スペクトル測度: ベクトル $\Omega$ と自己共役作用素 $H$ に対し、$\langle\Omega,f(H)\Omega\rangle=\int f\,\mathrm{d}\mu$ となる測度 $\mu$。$H$ のスペクトルの上に $\Omega$ が占める重みを表します。

1. 動機

場の理論の摂動論は、相互作用描像の時間発展を自由な真空で挟んだ量で書かれます。その根拠が Gell-Mann–Low の公式で、ファインマン則と LSZ 簡約公式 では、相互作用する基底状態 $|\Omega\rangle$ が自由な真空 $|0\rangle$ と重なることと、ギャップがあることを前提にした導出の筋道（注意 2.4［摂動論とファインマン則］）を示しました。そこには 2 つの「極限の取り方」が混在していました。1 つは相互作用を無限の過去からゆっくり入れる断熱極限（元の Gell-Mann–Low の論文）、もう 1 つは時間を虚軸方向に少し傾ける複素時間の極限（Peskin–Schroeder の教科書の導出）です。

この章では、どちらについても、何を仮定すれば何が証明できるかを正確に述べます。断熱極限では、Kato の断熱定理が本質的な道具になり、ギャップの仮定が欠かせません。複素時間の極限はギャップを必要としませんが、基底状態と自由な真空の重なりを必要とします。そして無限自由度の系では、この重なりこそが失われやすいものです。前章 で見たように、spin-boson 模型の局在相では基底状態そのものが Fock 空間から消えます。その手前の状況を調べるのが、真空振幅の長時間の振る舞いとスペクトル測度を結ぶ Tauber 定理です。

場の理論そのもの（無限体積、紫外発散）では Haag の定理（相互作用する場の理論の真空は、自由場の Fock 空間とは別の表現になる、という趣旨の定理）により相互作用描像が存在しないので、ここでの定理は有限体積・切断つきの近似に対するものです。それでも、どの仮定がどこで効くかを知っておくことは、切断を外す極限を考えるうえで重要だと思います。

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