摂動論とファインマン則：Wick の定理から LSZ 簡約公式・散乱断面積まで

0. この記事の要点

粒子どうしをぶつけたとき、どんな確率で何が飛び出してくるか。実験で測るのはこの量ですが、粒子が力を及ぼし合う理論は厳密には解けません。この記事では、力が弱いとして少しずつ補正を足していく計算を、線と点の絵（ファインマン図）に翻訳する規則を導きます。読み終えると、絵を描いて規則どおりに式を書くだけで、散乱の確率の計算ができるようになります。

• 相互作用のある場の時間順序相関関数は、Gell-Mann–Low の公式により、自由場（相互作用描像の場）の真空期待値の比として書けます。分子と分母に現れるのは、相互作用ハミルトニアンの時間順序指数関数（ダイソン級数）です。
• 自由場の時間順序積は、Wick の定理 $T\{\hat\phi_1\cdots\hat\phi_n\}={:}\hat\phi_1\cdots\hat\phi_n{:}+(\text{すべての縮約})$ により正規順序積と縮約（ファインマン伝播関数）に分解できます。真空期待値では完全な対分割の和だけが残り、各項が 1 つのファインマン図に対応します。
• 図の重みは $1/S$（$S$ は対称因子）で、分母の真空泡は分子の真空泡と指数関数の形で因子化して厳密に相殺します。ここで真空泡とは外線に一切つながらない閉じた図のこと、対称因子とは線や頂点の入れ替えで図が自分自身に重なる回数のことです。運動量空間では、伝播関数 $\frac{i}{p^2-m^2+i\varepsilon}$、頂点 $-i\lambda$、各頂点での運動量保存、ループ運動量の積分、という規則にまとまります。
• LSZ 簡約公式は、相関関数のフーリエ変換が外線の質量殻で示す多重極の留数が S 行列要素であることを述べます。これにより、散乱振幅 $i\mathcal M$ は外線を切り取った連結図の和として計算できます。
• 断面積と崩壊率は $d\sigma=\frac{|\mathcal M|^2}{2E_A2E_B|v_A-v_B|}d\Pi_n$、$d\Gamma=\frac{|\mathcal M|^2}{2m_A}d\Pi_n$ で与えられます。例として $e^+e^-\to\mu^+\mu^-$ の微分断面積 $\frac{d\sigma}{d\Omega}=\frac{\alpha^2}{4E_{\mathrm{cm}}^2}\sqrt{1-\frac{m_\mu^2}{E^2}}\Big[\big(1+\frac{m_\mu^2}{E^2}\big)+\big(1-\frac{m_\mu^2}{E^2}\big)\cos^2\theta\Big]$ を導きます。

この記事で使う事前知識

• 真空: 粒子が 1 個もない最低エネルギーの状態。消滅演算子をかけると $0$ になる状態です。→ 真空
• 生成・消滅演算子: 粒子を 1 個増やす・減らす演算子。自由場はこれらで書き表されます。→ 生成・消滅演算子
• 正規順序: 生成演算子をすべて消滅演算子の左に並べ替える操作。→ 正規順序
• 時間発展演算子: ある時刻の状態を別の時刻の状態へ送る演算子。→ 時間発展演算子
• 交換子: 2 つの演算子 $A,B$ について $AB-BA$ のこと。→ 交換子
• $\gamma$ 行列: ディラック方程式に現れる $4\times4$ 行列で、$\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}=2g^{\mu\nu}$ を満たします。→ γ 行列

1. 動機：相互作用する場から観測量へ

ここまでの章で扱った場は、スカラー場、ディラック場、電磁場のいずれも自由場でした。自由場の量子論は厳密に解けます。生成・消滅演算子でハミルトニアンが対角化され、粒子は互いに素通りします。しかし実験で測るのは散乱であり、散乱は相互作用があって初めて起こります。

相互作用のある場の理論は、ごく特殊な場合を除いて厳密には解けません。そこで結合定数について展開します。必要な道具は次の 3 段階に分かれます。

1. 相関関数を自由場で表す。 相互作用のある真空 $|\Omega\rangle$ とハイゼンベルク場 $\hat\phi(x)$ の時間順序相関関数を、自由場の真空 $|0\rangle$ と自由場 $\hat\phi_I(x)$ の量に書き直します（第 2 節）。
2. 自由場の期待値を計算する規則を作る。 Wick の定理で自由場の時間順序積を縮約の積に分解し、それを図で整理します（第 3 節・第 4 節）。
3. 相関関数を観測量に翻訳する。 相関関数から S 行列要素を取り出し（第 5 節）、断面積と崩壊率に直します（第 6 節）。

経路積分量子化では、1 と 2 を生成汎関数の微分として一挙に実行しました（命題 6.1［経路積分量子化］ と 定理 5.3［経路積分量子化］）。本章は同じ結果を演算子形式で導きます。演算子形式の利点は、状態空間と S 行列が明示的に現れるので、3 の LSZ 簡約公式と断面積の公式に自然につながることです。到達点として、QED の最も基本的な過程 $e^+e^-\to\mu^+\mu^-$ の断面積を最初から最後まで計算します。

本章の論理の流れ

2. 相互作用描像とダイソン級数

ハミルトニアンを $\hat H=\hat H_0+\hat H_{\mathrm{int}}$ と分けます。$\hat H_0$ は自由場のハミルトニアン、$\hat H_{\mathrm{int}}$ は相互作用です。本章で扱う相互作用はいずれも場の時間微分を含まないので、$\hat H_{\mathrm{int}}=-\int d^3x\,\mathcal L_{\mathrm{int}}$ です。たとえば $\phi^4$ 理論では $\hat H_{\mathrm{int}}=\int d^3x\,\frac{\lambda}{4!}\hat\phi^4$ です。

定義 2.1（相互作用描像）↗

基準時刻 $t_0$ でハイゼンベルク場と一致するように、相互作用描像の場を

$$\hat\phi_I(t,\boldsymbol x)=e^{i\hat H_0(t-t_0)}\,\hat\phi(t_0,\boldsymbol x)\,e^{-i\hat H_0(t-t_0)}$$

で定めます。また、相互作用描像の相互作用ハミルトニアンと時間発展演算子を

$$\hat H_I(t)=e^{i\hat H_0(t-t_0)}\,\hat H_{\mathrm{int}}\,e^{-i\hat H_0(t-t_0)},\qquad \hat U(t,t')=e^{i\hat H_0(t-t_0)}e^{-i\hat H(t-t')}e^{-i\hat H_0(t'-t_0)}$$

で定めます。

$\hat\phi_I$ は $\hat H_0$ で時間発展するので、自由場そのものです。したがって 系 5.5［スカラー場の正準量子化］ のモード展開をもち、生成・消滅演算子で完全に記述されます。ハイゼンベルク場は $\hat\phi(t,\boldsymbol x)=\hat U(t,t_0)^\dagger\hat\phi_I(t,\boldsymbol x)\hat U(t,t_0)$ と書けます。定義から直ちに $\hat U(t_1,t_2)\hat U(t_2,t_3)=\hat U(t_1,t_3)$、$\hat U(t,t)=1$、$\hat U(t,t')^\dagger=\hat U(t,t')^{-1}$ です。$\hat H_I(t)=\int d^3x\,\frac{\lambda}{4!}\hat\phi_I(t,\boldsymbol x)^4$ のように、$\hat H_I$ は自由場 $\hat\phi_I$ で書けます。

命題 2.2（ダイソン級数）✓

$\hat U(t,t')$ は $i\partial_t\hat U(t,t')=\hat H_I(t)\hat U(t,t')$、$\hat U(t',t')=1$ を満たします。$\hat H_{\mathrm{int}}$ が有界作用素なら、$t\ge t'$ について

$$\hat U(t,t')=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-i)^n}{n!}\int_{t'}^{t}dt_1\cdots\int_{t'}^{t}dt_n\;T\{\hat H_I(t_1)\cdots\hat H_I(t_n)\}\equiv T\exp\left[-i\int_{t'}^{t}dt''\,\hat H_I(t'')\right]$$

が作用素ノルムで収束します。ここで $T$ は時刻の遅いものほど左に並べる時間順序積です。

証明（命題 2.2）

$\tau=t-t_0$ として微分すると

$$i\partial_t\hat U=e^{i\hat H_0\tau}\left(-\hat H_0+\hat H\right)e^{-i\hat H(t-t')}e^{-i\hat H_0(t'-t_0)}=e^{i\hat H_0\tau}\hat H_{\mathrm{int}}e^{-i\hat H_0\tau}\cdot e^{i\hat H_0\tau}e^{-i\hat H(t-t')}e^{-i\hat H_0(t'-t_0)}=\hat H_I(t)\hat U(t,t')$$

です。積分方程式 $\hat U(t,t')=1-i\int_{t'}^{t}dt_1\,\hat H_I(t_1)\hat U(t_1,t')$ を反復代入すると

$$\hat U(t,t')=\sum_{n=0}^{\infty}(-i)^n\int_{t'}^{t}dt_1\int_{t'}^{t_1}dt_2\cdots\int_{t'}^{t_{n-1}}dt_n\;\hat H_I(t_1)\hat H_I(t_2)\cdots\hat H_I(t_n)$$

を得ます。$\|\hat H_I(t)\|=\|\hat H_{\mathrm{int}}\|$ なので第 $n$ 項のノルムは $\|\hat H_{\mathrm{int}}\|^n(t-t')^n/n!$ 以下で、級数はノルム収束し、反復の剰余項は $0$ に収束します。第 $n$ 項の積分領域 $t\ge t_1\ge\cdots\ge t_n\ge t'$ は、立方体 $[t',t]^n$ を $n!$ 個の単体に分けたうちの 1 つです。各単体上で $T\{\hat H_I(t_1)\cdots\hat H_I(t_n)\}$ は時刻を降順に並べた積に等しく、変数の名前を付け替えれば、どの単体上の積分も同じ値になります。よって単体上の積分は、立方体上の $T\{\cdots\}$ の積分の $1/n!$ 倍です。

∎

場の理論の $\hat H_{\mathrm{int}}$ は有界ではないので、ダイソン級数は形式的べき級数として扱います。注意 6.2［経路積分量子化］ で述べたとおり、この展開は一般に収束せず、漸近展開として意味をもちます。

次に、相互作用のある真空 $|\Omega\rangle$ を自由場の真空 $|0\rangle$ から取り出します。ねらいは、計算できない $|\Omega\rangle$ を、計算できる $|0\rangle$ で置き換えることです。そのために時間を複素数の方向へわずかに傾けて無限大にとります。こうすると $e^{-i\hat HT}$ の中で基底状態以外の成分だけが指数関数的に小さくなり、基底状態 $|\Omega\rangle$ が残ります。

定理 2.3（Gell-Mann–Low の公式）✓

$\hat H_0|0\rangle=0$、$\hat H$ は孤立した一意な基底状態 $|\Omega\rangle$（$\langle\Omega|\Omega\rangle=1$）をもち、$\langle\Omega|0\rangle\neq0$ であるとします。このとき、時刻が $x_1^0,\dots,x_n^0$ の場について

$$\langle\Omega|T\{\hat\phi(x_1)\cdots\hat\phi(x_n)\}|\Omega\rangle=\lim_{T\to\infty(1-i\epsilon)}\frac{\langle0|T\left\{\hat\phi_I(x_1)\cdots\hat\phi_I(x_n)\exp\left[-i\int_{-T}^{T}dt\,\hat H_I(t)\right]\right\}|0\rangle}{\langle0|T\left\{\exp\left[-i\int_{-T}^{T}dt\,\hat H_I(t)\right]\right\}|0\rangle}$$

が成り立ちます。極限は $T$ をわずかに虚軸方向へ傾けて無限大にとるものです。

証明（定理 2.3）

$\hat H$ の基底エネルギーを $E_0$、孤立していることから次の固有値（またはスペクトルの下端）までの間隔を $\delta\gt0$ とし、$|\Omega\rangle$ への射影を $P_\Omega$ とします。以下、$\hat H_{\mathrm{int}}$ が有界なら（有限自由度、あるいは切断した理論）各段階は作用素の等式で、場の理論では 命題 2.2 の後で述べたとおり形式的べき級数としての等式です。時刻 $T$ に複素数 $T(1-i\epsilon)$ を入れるときは、$e^{-i\hat Hz}$（$\mathrm{Im}\,z\le0$）を $\hat H$ のスペクトル分解で定めます（$\hat H$ が下に有界なのでノルム $e^{E_0\,\mathrm{Im}\,z}$ 以下の有界作用素です）。

真空の取り出し。 $\hat H_0|0\rangle=0$ と 定義 2.1 から $\hat U(t_0,-T)|0\rangle=e^{-i\hat H(t_0+T)}|0\rangle$ です。これを

$$e^{-i\hat H(t_0+T)}|0\rangle=e^{-iE_0(t_0+T)}\Big[|\Omega\rangle\langle\Omega|0\rangle+e^{-i(\hat H-E_0)(t_0+T)}(1-P_\Omega)|0\rangle\Big]$$

と分けます。$T$ を $T(1-i\epsilon)$ に替えると、スペクトル分解で $E\ge E_0+\delta$ の部分の因子の絶対値は $e^{-(E-E_0)\epsilon T}\le e^{-\delta\epsilon T}$ なので、第 2 項はノルムで $0$ に収束します。$\langle\Omega|0\rangle\ne0$ なので

$$|\Omega\rangle=\lim_{T\to\infty(1-i\epsilon)}\frac{\hat U(t_0,-T)|0\rangle}{e^{-iE_0(t_0+T)}\langle\Omega|0\rangle},\qquad \langle\Omega|=\lim_{T\to\infty(1-i\epsilon)}\frac{\langle0|\hat U(T,t_0)}{e^{-iE_0(T-t_0)}\langle0|\Omega\rangle}$$

です（後者は $\langle0|\hat U(T,t_0)=\langle0|e^{-i\hat H(T-t_0)}$ に同じ議論を使ったもの）。

分子。 両辺とも時間順序積なので、$x_1^0\ge x_2^0\ge\cdots\ge x_n^0$ としてかまいません。定義 2.1 の後で見たとおり $\hat\phi(x)=\hat U(t_0,x^0)\hat\phi_I(x)\hat U(x^0,t_0)$ なので、合成則 $\hat U(t_1,t_2)\hat U(t_2,t_3)=\hat U(t_1,t_3)$ で隣り合う $\hat U$ をまとめると

$$\langle\Omega|\hat\phi(x_1)\cdots\hat\phi(x_n)|\Omega\rangle=\lim\frac{\langle0|\hat U(T,x_1^0)\hat\phi_I(x_1)\hat U(x_1^0,x_2^0)\hat\phi_I(x_2)\cdots\hat\phi_I(x_n)\hat U(x_n^0,-T)|0\rangle}{e^{-2iE_0T}|\langle0|\Omega\rangle|^2}$$

です。命題 2.2 により各 $\hat U(a,b)$ は $[b,a]$ の時刻の $\hat H_I$ の時間順序指数関数です。区間 $[x_1^0,T],[x_2^0,x_1^0],\dots,[-T,x_n^0]$ は後ろのものほど早い時刻にあり、$\hat\phi_I(x_k)$ はその境目の時刻にあるので、この積は全体として時間順序に並んでいます。時刻の重ならない区間 $I_1,I_2$（$I_1$ が遅い）について $T\exp(-i\int_{I_1\cup I_2}\hat H_I)=T\exp(-i\int_{I_1}\hat H_I)\,T\exp(-i\int_{I_2}\hat H_I)$ が成り立つ（両辺を展開し、$\int_{I_1\cup I_2}$ の $n$ 次の項を 2 項定理で $I_1$ と $I_2$ に振り分ける）ので、分子は $\langle0|T\{\hat\phi_I(x_1)\cdots\hat\phi_I(x_n)\exp[-i\int_{-T}^{T}dt\,\hat H_I(t)]\}|0\rangle$ に等しくなります。

分母。 $n=0$ の場合の同じ計算は $1=\langle\Omega|\Omega\rangle=\lim\langle0|\hat U(T,-T)|0\rangle\big/\big(e^{-2iE_0T}|\langle0|\Omega\rangle|^2\big)$ を与えます。分子の式をこれで割ると、未知の因子 $e^{-2iE_0T}|\langle0|\Omega\rangle|^2$ が消えて主張の式になります。

∎

注意 2.4（証明の筋道と限界）

導出は Peskin–Schroeder 第 4 章 §4.2 にあります。筋道は次のとおりです。$\hat H$ の固有状態で展開すると $e^{-i\hat HT}|0\rangle=e^{-iE_0T}|\Omega\rangle\langle\Omega|0\rangle+\sum_{n\neq0}e^{-iE_nT}|n\rangle\langle n|0\rangle$ で、$T\to\infty(1-i\epsilon)$ では $E_n>E_0$ の項が $|\Omega\rangle$ の項に比べて指数関数的に小さくなります。$\hat H_0|0\rangle=0$ を使うと $e^{-i\hat HT}|0\rangle$ は $\hat U(t_0,-T)|0\rangle$ に比例するので、$|\Omega\rangle\propto\hat U(t_0,-T)|0\rangle$ を得ます。ブラ $\langle\Omega|$ についても同様です。$x_1^0\ge\cdots\ge x_n^0$ のとき $\hat\phi(x_i)=\hat U(t_0,x_i^0)\hat\phi_I(x_i)\hat U(x_i^0,t_0)$ を代入し、$\hat U$ の合成則で隣り合う $\hat U$ をまとめると、分子の時間順序積が現れます。比例定数は $\langle\Omega|\Omega\rangle=1$ から決まり、それが分母です。

この議論は有限自由度の量子力学では正しいですが、無限自由度の場の理論では、Haag の定理により自由場と相互作用する場が同じヒルベルト空間に（ユニタリ同値に）実現できないことが知られています。したがって相互作用描像は厳密には存在しません。実際の計算では、有限体積と紫外切断で正則化した理論にこの公式を適用し、くりこみ（くりこみ理論入門）を経て切断を外します。結果は経路積分による導出（命題 6.1［経路積分量子化］）と一致します。

3. Wick の定理

Gell-Mann–Low の公式の右辺に必要なのは、自由場の積の時間順序積の真空期待値です。これを機械的に計算する道具が Wick の定理です。以下、自由実スカラー場 $\hat\phi_I$ を単に $\hat\phi$ と書き、$\hat\phi_i=\hat\phi(x_i)$ と略記します。系 5.5［スカラー場の正準量子化］ のモード展開のうち消滅演算子を含む部分を $\hat\phi^{+}$、生成演算子を含む部分を $\hat\phi^{-}$ とします：

$$\hat\phi^{+}(x)=\int\frac{d^3k}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\boldsymbol k}}}\hat a_{\boldsymbol k}e^{-ik\cdot x},\qquad \hat\phi^{-}(x)=\hat\phi^{+}(x)^\dagger.$$

$\hat\phi^{+}|0\rangle=0$、$\langle0|\hat\phi^{-}=0$ です。正規順序 ${:}\cdots{:}$（定義 5.2［スカラー場の正準量子化］）は、すべての $\hat\phi^{-}$ をすべての $\hat\phi^{+}$ の左に置く操作です。$\hat\phi^{\pm}$ どうしは互いに可換なので、正規順序積は因子の並べ方によらず、空でない正規順序積の真空期待値は $0$ です。

定義 3.1（縮約）↗

時刻の異なる 2 点 $x,y$ について

$$C(x,y)=T\{\hat\phi(x)\hat\phi(y)\}-{:}\hat\phi(x)\hat\phi(y){:}$$

を $\hat\phi(x)$ と $\hat\phi(y)$ の縮約と呼びます。$C_{ij}=C(x_i,x_j)$ と略記します。

補題 3.2（縮約はファインマン伝播関数である）✓

縮約は c 数（恒等演算子の定数倍）で、

$$C(x,y)=\Delta_F(x-y)=\int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}\frac{i\,e^{-ip\cdot(x-y)}}{p^2-m^2+i\varepsilon}$$

です。また任意の $x,y$ について $[\hat\phi^{+}(x),\hat\phi^{-}(y)]=D(x-y)$、$D(x-y)=\langle0|\hat\phi(x)\hat\phi(y)|0\rangle$ が c 数として成り立ちます。

証明（補題 3.2）

$[\hat a_{\boldsymbol k},\hat a^\dagger_{\boldsymbol k'}]=(2\pi)^3\delta^3(\boldsymbol k-\boldsymbol k')$（命題 4.2［スカラー場の正準量子化］）より

$$[\hat\phi^{+}(x),\hat\phi^{-}(y)]=\int\frac{d^3k}{(2\pi)^3}\frac{1}{2\omega_{\boldsymbol k}}e^{-ik\cdot(x-y)}$$

は c 数で、真空期待値をとると $\langle0|\hat\phi(x)\hat\phi(y)|0\rangle=\langle0|\hat\phi^{+}(x)\hat\phi^{-}(y)|0\rangle=D(x-y)$ に等しくなります。

$x^0>y^0$ とします。$\hat\phi(x)\hat\phi(y)$ を $\hat\phi^\pm$ で 4 項に展開すると、正規順序になっていないのは $\hat\phi^{+}(x)\hat\phi^{-}(y)$ だけです。これを $\hat\phi^{-}(y)\hat\phi^{+}(x)+[\hat\phi^{+}(x),\hat\phi^{-}(y)]$ と書き直すと、$T\{\hat\phi(x)\hat\phi(y)\}=\hat\phi(x)\hat\phi(y)={:}\hat\phi(x)\hat\phi(y){:}+D(x-y)$ です。$y^0>x^0$ なら $x,y$ を入れ替えて $D(y-x)$ を得ます。よって $C(x,y)=\theta(x^0-y^0)D(x-y)+\theta(y^0-x^0)D(y-x)$ で、これは $\langle0|T\{\hat\phi(x)\hat\phi(y)\}|0\rangle$ に等しく、定理 5.2［経路積分量子化］ の $\Delta_F(x-y)$ です（$p^0$ 積分を留数で実行すると、$x^0>y^0$ では下半面の極 $p^0=\omega_{\boldsymbol p}-i\varepsilon$ から $D(x-y)$ が出ることでも確かめられます）。

∎

たとえば 4 個の場の積では、縮約を 1 つもとらない項が 1 個、縮約を 1 対とる項が $C_{12}{:}\hat\phi_3\hat\phi_4{:}$ など 6 個、縮約を 2 対とる項が $C_{12}C_{34}$ など 3 個、合わせて 10 個の項に分解されます。この「対の選び方」を次のように言い表します。

部分対分割とは、$\{1,\dots,n\}$ の互いに交わらない 2 元部分集合（対）の集まりのことです（空集合も含めます）。部分対分割 $P$ について、対に含まれない添字の集合を $R(P)$ と書きます。

定理 3.3（Wick の定理）✓

時刻 $x_1^0,\dots,x_n^0$ が互いに異なるとき、

$$T\{\hat\phi_1\hat\phi_2\cdots\hat\phi_n\}=\sum_{P}\ \prod_{\{i,j\}\in P}C_{ij}\ {:}\prod_{k\in R(P)}\hat\phi_k{:}$$

が成り立ちます。和は $\{1,\dots,n\}$ のすべての部分対分割 $P$ にわたります。

この定理は「時間順序積 $=$ 正規順序積 $+$ 縮約を 1 個とった項の和 $+$ 縮約を 2 個とった項の和 $+\cdots$」と読みます。$n=2$ では 定義 3.1 そのものです。

証明（定理 3.3）

右辺を $W(1,\dots,n)$ と書きます。$C_{ij}=C_{ji}$ であり、正規順序積は因子の並べ方によらないので、$W$ は添字の置換について対称です。左辺も対称なので、番号を付け替えて $x_1^0>x_2^0>\cdots>x_n^0$ と仮定してかまいません。$n$ についての帰納法で示します。$n=1$ は $T\{\hat\phi_1\}=\hat\phi_1={:}\hat\phi_1{:}$ で自明です。

補助的な等式。 任意の添字集合 $X$ と $1\notin X$ について

$$\hat\phi_1\,{:}\prod_{k\in X}\hat\phi_k{:}={:}\hat\phi_1\prod_{k\in X}\hat\phi_k{:}+\sum_{j\in X}D(x_1-x_j)\,{:}\prod_{k\in X\setminus\{j\}}\hat\phi_k{:}$$

が成り立ちます。実際、$\hat\phi_1=\hat\phi^{-}_1+\hat\phi^{+}_1$ のうち $\hat\phi^{-}_1{:}\cdots{:}$ はすでに正規順序です。$\hat\phi^{+}_1{:}\cdots{:}$ では、${:}\cdots{:}$ が $\hat\phi^{-}$ の積の右に $\hat\phi^{+}$ の積を並べたものなので、$\hat\phi^{+}_1$ を $\hat\phi^{-}_j$ の右へ 1 つずつ送ります。送るたびに 補題 3.2 の c 数 $[\hat\phi^{+}_1,\hat\phi^{-}_j]=D(x_1-x_j)$ が現れ、その項では $\hat\phi_j$ が取り除かれます。最後に $\hat\phi^{+}_1$ は $\hat\phi^{+}$ たちの間に入り、正規順序の項になります。

帰納段階。 $x_1^0$ が最も遅いので $T\{\hat\phi_1\cdots\hat\phi_n\}=\hat\phi_1T\{\hat\phi_2\cdots\hat\phi_n\}=\hat\phi_1W(2,\dots,n)$ です（帰納法の仮定）。$W(2,\dots,n)$ の各項 $\prod_{P'}C\,{:}\prod_{R(P')}\hat\phi{:}$ に補助的な等式を適用すると、

• 正規順序の中に $\hat\phi_1$ を加えた項
• $j\in R(P')$ について、$D(x_1-x_j)$ を掛けて $\hat\phi_j$ を正規順序から取り除いた項

が現れます。$x_1^0>x_j^0$ なので $D(x_1-x_j)=C_{1j}$ です。前者は「$1$ が対に含まれない部分対分割」$P=P'$ の項、後者は「$1$ が $j$ と対をなす部分対分割」$P=P'\cup\{\{1,j\}\}$ の項です。$\{1,\dots,n\}$ の部分対分割は、$1$ を含む対を除けば $\{2,\dots,n\}$ の部分対分割になるので、この対応で各 $P$ はちょうど 1 回ずつ現れます。よって和は $W(1,\dots,n)$ に等しくなります。

∎

系 3.4（真空期待値の対分割公式）✓

時刻の異なる点について、$n$ が奇数なら $\langle0|T\{\hat\phi_1\cdots\hat\phi_n\}|0\rangle=0$、偶数なら

$$\langle0|T\{\hat\phi_1\cdots\hat\phi_n\}|0\rangle=\sum_{\text{完全対分割 }P}\ \prod_{\{i,j\}\in P}\Delta_F(x_i-x_j)$$

です。

証明（系 3.4）

定理 3.3 の両辺の真空期待値をとると、$R(P)\neq\emptyset$ の項は空でない正規順序積の真空期待値を含むので $0$ です。残るのは $R(P)=\emptyset$、すなわち完全対分割の項だけで、補題 3.2 より $C_{ij}=\Delta_F(x_i-x_j)$ です。$n$ が奇数なら完全対分割は存在しません。

∎

これは経路積分で導いた 定理 5.3［経路積分量子化］ と同じ式です。2 つの導出は独立で、一方は演算子の並べ替え、他方はガウス積分の微分です。Gell-Mann–Low の公式に現れる $\hat\phi(z)^4$ のように同じ時刻の因子を含む場合も、同じ点の縮約を $\Delta_F(0)$ と読むことで、この公式をそのまま使います。

例 3.5（真空以外の状態では対分割公式は成り立たない）

系 3.4 は真空 $|0\rangle$ の性質 $\hat\phi^{+}|0\rangle=0$ に依存しており、作用素の等式である 定理 3.3 とは違って、一般の状態では成り立ちません。1 粒子状態 $|\psi\rangle=\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}f(\boldsymbol p)\hat a^\dagger_{\boldsymbol p}|0\rangle$（$f$ は急減少関数で $\langle\psi|\psi\rangle=\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}|f|^2=1$）を考え、

$$g(x)=\langle0|\hat\phi^{+}(x)|\psi\rangle=\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{f(\boldsymbol p)}{\sqrt{2\omega_{\boldsymbol p}}}e^{-ip\cdot x}$$

と置きます。${:}\hat\phi(x)\hat\phi(y){:}$ のうち $\langle\psi|\cdot|\psi\rangle$ で残るのは粒子数を変えない $\hat\phi^{-}(x)\hat\phi^{+}(y)+\hat\phi^{-}(y)\hat\phi^{+}(x)$ だけで、$\hat\phi^{+}(y)|\psi\rangle=g(y)|0\rangle$ を使うと

$$\langle\psi|T\{\hat\phi(x)\hat\phi(y)\}|\psi\rangle=\Delta_F(x-y)+\overline{g(x)}g(y)+\overline{g(y)}g(x)$$

です。$g$ は $0$ でない正振動数解なので、右辺の第 2・第 3 項は一般に $0$ になりません。この追加項は「状態に最初からいた粒子」が場の演算子に吸収・再放出される寄与です。真空での縮約の和として期待値を計算できるのは、真空に粒子がいないからです。

フェルミオン場についても同じ定理が成り立ちます。違いは符号だけです。

命題 3.6（フェルミオンの Wick の定理）✓

自由ディラック場 $\hat\psi,\hat{\bar\psi}$ について、時間順序積と正規順序積を、フェルミオン演算子の並べ替えの置換の符号を掛けて定義します。このとき 定理 3.3 と同じ形の等式が成り立ちます。ただし各項には、縮約する対を隣り合わせに持ってくる並べ替えの符号が付き、縮約は

$$\langle0|T\{\hat\psi(x)\hat{\bar\psi}(y)\}|0\rangle=S_F(x-y)=\int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}\frac{i(\not{p}+m)}{p^2-m^2+i\varepsilon}e^{-ip\cdot(x-y)}$$

で、$\hat\psi\hat\psi$ と $\hat{\bar\psi}\hat{\bar\psi}$ の縮約は $0$ です（$\not{p}=\gamma^\mu p_\mu$）。

証明（命題 3.6）

定理 3.3 の証明で交換子を反交換子に替えれば、そのまま通ります。補助的な等式で $\hat\psi^{+}_1$ を $\hat\psi^{-}_j$ の右へ送るとき、$\{\hat\psi^{+}_1,\hat\psi^{-}_j\}$ が c 数として現れ、通過したフェルミオン演算子の個数だけ符号 $-1$ が付きます。その符号が、縮約する対を隣り合わせにする並べ替えの符号に一致します。$S_F$ の表式はディラック場の量子化で導いたもので、$\{\hat a,\hat a^\dagger\}$ と $\{\hat b,\hat b^\dagger\}$（$\hat a$ が粒子、$\hat b$ が反粒子の演算子）だけが $0$ でないことから、$\hat\psi\hat\psi$ 型の縮約は $0$ になります。

∎

4. ファインマン則

4.1. 図の数え方と真空泡

$\phi^4$ 理論 $\mathcal L=\frac12(\partial\phi)^2-\frac12m^2\phi^2-\frac{\lambda}{4!}\phi^4$ で考えます。Gell-Mann–Low の公式の分子を $\lambda$ で展開すると、$V$ 次の項は

$$\frac{1}{V!}\left(\frac{-i\lambda}{4!}\right)^V\int d^4z_1\cdots d^4z_V\;\langle0|T\{\hat\phi_1\cdots\hat\phi_n\,\hat\phi(z_1)^4\cdots\hat\phi(z_V)^4\}|0\rangle$$

です（$T\to\infty$ の極限で時間積分は全時空の積分になります）。系 3.4 によりこれは完全対分割の和です。各対分割は、外点 $x_1,\dots,x_n$ と頂点 $z_1,\dots,z_V$（それぞれ 4 本の足をもつ）を線で結んだ図として表せます。

定義 4.1（ファインマン図と対称因子）↗

外点と、番号を忘れた $V$ 個の 4 価頂点を線で結んだ図をファインマン図と呼び、外点を固定したまま頂点と線を対応させる同型で移り合う図を同じ図とみなします。頂点の番号の入れ替え（$V!$ 通り）と、各頂点での 4 本の足の入れ替え（$(4!)^V$ 通り）からなる群 $G$ は完全対分割の集合に作用します。図 $\Gamma$ を与える対分割を 1 つ固定し、それを動かさない $G$ の元の個数を $\Gamma$ の対称因子 $S(\Gamma)$ と呼びます。

$\Gamma$ を与える対分割は $G$ の 1 つの軌道をなすので、軌道・安定化群の公式により、その個数は $V!(4!)^V/S(\Gamma)$ です。これに係数 $\frac{1}{V!}\left(\frac{1}{4!}\right)^V$ を掛けると $1/S(\Gamma)$ が残ります。$\lambda$ を $4!$ で割っておく理由は、この相殺のためです。

図は連結成分に分かれます。外点を 1 つも含まない連結成分を真空泡と呼びます。

命題 4.2（真空泡の因子化と相殺）✓

形式的べき級数の意味で、Gell-Mann–Low の公式の分子は

$$\left(\sum\ \text{真空泡を含まない図の値}\right)\times\exp\left(\sum_i V_i\right)$$

と因子化します。ここで $V_i$ は連結な真空泡（それぞれの対称因子を含む）の値で、和はすべての連結な真空泡にわたります。分母は $\exp\left(\sum_iV_i\right)$ に等しいので、相関関数は真空泡を含まない図の和です。

証明のねらいは、頂点の番号をどの連結成分に割り振るかという数え上げの係数が、指数関数の展開の $1/n!$ にちょうど一致することを見る点にあります。

証明（命題 4.2）

任意の図は、真空泡を含まない部分 $\Gamma_0$ と、連結な真空泡 $B_i$ を $n_i$ 個ずつ並べたものに一意に分解されます。$\Gamma_0$ が $V_0$ 個、$B_i$ が $V_i'$ 個の頂点をもつとき、全頂点数は $V=V_0+\sum_in_iV_i'$ です。

頂点の番号 $1,\dots,V$ を各成分に割り振る方法は、同じ形の真空泡の並べ替えで区別がつかないことを考慮して

$$\frac{V!}{V_0!\,\prod_i\left(V_i'!\right)^{n_i}n_i!}$$

通りです。これに $\frac{1}{V!}$ を掛けると、$\frac{1}{V_0!}\prod_i\frac{1}{(V_i'!)^{n_i}n_i!}$ が残ります。つまり各成分には、その成分を単独で展開したときと同じ係数 $1/V_0!$、$1/V_i'!$ が付き、さらに同じ真空泡の個数について $1/n_i!$ が付きます。足の入れ替えと対称因子は各成分の中で閉じているので、図の値は

$$\mathrm{val}(\Gamma_0)\prod_i\frac{V_i^{n_i}}{n_i!}$$

です。すべての $\Gamma_0$ と $(n_i)$ について和をとると、$(n_i)$ の和は $\prod_i\sum_{n_i\ge0}\frac{V_i^{n_i}}{n_i!}=\exp\left(\sum_iV_i\right)$ に因子化します。分母は外点のない場合で、$\Gamma_0$ が空図（値 $1$）だけになるので $\exp\left(\sum_iV_i\right)$ です。

∎

例 4.3（対称因子の例）

直接数えて $1/S$ を確かめます。$\langle0|T\{\cdots\}|0\rangle$ の対分割の数に係数 $\frac{1}{V!(4!)^V}$ を掛けたものが $1/S$ です。

• 8 の字の真空泡（$V=1$、頂点の 4 本の足を 2 本ずつ結ぶ）：$\langle\hat\phi(z)^4\rangle$ の対分割は $3$ 通りなので $\frac{3}{4!}=\frac18$、$S=8$。値は $\frac18(-i\lambda)\int d^4z\,\Delta_F(0)^2$ です。
• 2 点関数の $O(\lambda)$ 補正（タドポール）：$\hat\phi(x)$ の相手は 4 本のどれか（4 通り）、$\hat\phi(y)$ の相手は残り 3 本のどれか（3 通り）、残りの 2 本は互いに結ぶ（1 通り）ので $\frac{12}{4!}=\frac12$、$S=2$。値は $\frac{-i\lambda}{2}\int d^4z\,\Delta_F(x-z)\Delta_F(y-z)\Delta_F(0)$ です。
• 4 点関数の $O(\lambda)$：例 6.3［経路積分量子化］ で数えたとおり $4!$ 通りで $S=1$。
• 4 点関数の $O(\lambda^2)$、$s$ チャネルのバブル：外点 $x_1,x_2$ が頂点 $z_1$ に、$x_3,x_4$ が $z_2$ につながり、$z_1$ と $z_2$ が 2 本の線で結ばれる図です。どちらの頂点が $x_1,x_2$ 側かで 2 通り、$x_1$ と $x_2$ の足の選び方が $4\cdot3$、$x_3,x_4$ についても $4\cdot3$、残り 2 本ずつを結ぶ方法が 2 通りで、合計 $2\cdot12\cdot12\cdot2=576$。$\frac{576}{2!\,(4!)^2}=\frac12$ で $S=2$ です。2 本の内線の入れ替えが図の自己同型になっていることに対応します。

4.2. 運動量空間のファインマン則

位置空間の図の値を運動量空間に移します。各伝播関数に $\Delta_F(x-y)=\int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}\frac{ie^{-ip\cdot(x-y)}}{p^2-m^2+i\varepsilon}$ を代入すると、頂点 $z$ の積分は $\int d^4z\,e^{-iz\cdot(p_1+p_2+p_3+p_4)}=(2\pi)^4\delta^4(p_1+p_2+p_3+p_4)$（運動量はすべて頂点に流れ込む向きにとります）を与えます。デルタ関数で運動量積分の一部を実行すると、次の規則にまとまります。

定理 4.4（φ⁴ 理論のファインマン則）✓

$\phi^4$ 理論の $n$ 点相関関数 $\langle\Omega|T\{\hat\phi(x_1)\cdots\hat\phi(x_n)\}|\Omega\rangle$ は、形式的べき級数として、真空泡を含まないすべてのファインマン図の値の和に等しくなります。各図の値は次の規則で与えられます。

1. 各内線・外線（運動量 $p$）に伝播関数 $\dfrac{i}{p^2-m^2+i\varepsilon}$。
2. 各頂点に $-i\lambda$。
3. 各外点 $x$ に、そこから流れ出る運動量 $p$ について $e^{-ip\cdot x}$。
4. 各頂点で運動量保存を課す。
5. 保存則で決まらない運動量（ループ運動量）ごとに $\displaystyle\int\frac{d^4\ell}{(2\pi)^4}$。
6. 全体を対称因子 $S$ で割る。

証明（定理 4.4）

定理 2.3 の分子をダイソン級数で展開し、系 3.4 で対分割の和にします。定義 4.1 の後の数え上げで各図の係数は $\frac{1}{S}(-i\lambda)^V$ となり、各線に $\Delta_F$ が付きます。命題 4.2 で分母を割ると真空泡を含む図が消えます。最後に上の運動量表示を代入します。頂点 $V$ 個から $(2\pi)^4\delta^4$ が $V$ 個、内線・外線から $\int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}$ が線の本数だけ出ます。外点では積分 $\int d^4x$ をしないので、外線の運動量は $e^{-ip\cdot x}$ とともに残ります。デルタ関数で消せる運動量積分を実行すると、連結図では残る積分の数が独立なループの数に等しくなり、規則 4・5 が得られます。

∎

湯川理論と QED のファインマン則も同じ手順で導けます。違いは、フェルミオンの縮約に 命題 3.6 の符号が付くことと、外線のスピノル・偏極ベクトルが LSZ 簡約公式（第 5 節）から現れることです。ここでは S 行列要素 $i\mathcal M$ を計算するための形でまとめます。

定理 4.5（湯川理論と QED のファインマン則）✓

湯川理論 $\mathcal L=\bar\psi(i\not{\partial}-m)\psi+\frac12(\partial\phi)^2-\frac12M^2\phi^2-g\,\phi\bar\psi\psi$ と、QED $\mathcal L=\bar\psi(i\not{\partial}-m)\psi-\frac14F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-e\,\bar\psi\gamma^\mu\psi A_\mu$ の散乱振幅 $i\mathcal M$ は、外線を切り取った連結図の和として次の規則で計算されます（ツリーレベルでは 定理 5.2 の $Z$ は $1$）。

要素	因子
スカラーの内線（運動量 $q$）	$\dfrac{i}{q^2-M^2+i\varepsilon}$
フェルミオンの内線（矢印の向きに運動量 $p$）	$\dfrac{i(\not{p}+m)}{p^2-m^2+i\varepsilon}$
光子の内線（ファインマンゲージ）	$\dfrac{-ig_{\mu\nu}}{q^2+i\varepsilon}$
湯川頂点 / QED 頂点	$-ig$ / $-ie\gamma^\mu$
入射フェルミオン / 出射フェルミオン	$u^s(p)$ / $\bar u^s(p)$
入射反フェルミオン / 出射反フェルミオン	$\bar v^s(p)$ / $v^s(p)$
外線スカラー	$1$
入射光子 / 出射光子	$\varepsilon_\mu(p)$ / $\varepsilon^*_\mu(p)$

さらに、各頂点で運動量保存、ループ運動量の積分、フェルミオンの閉じたループごとに因子 $-1$ とスピノル添字のトレースを課し、図どうしの相対符号はフェルミオン演算子の並べ替えの符号で決めます。スピノルの積は、各フェルミオン線に沿って矢印と逆向きにたどって左から右へ並べます。

証明（定理 4.5）

定理 4.4 と 系 5.4 の証明を、形式的べき級数の意味でそのままなぞります。違う点だけを確かめます。

頂点。 定理 2.3 の証明は場の種類を使っていないので、$\hat\psi,\hat{\bar\psi},\hat A_\mu$ の時間順序積にもそのまま使えます。$\hat H_{\mathrm{int}}=-\int d^3x\,\mathcal L_{\mathrm{int}}$ なので、ダイソン級数の $V$ 次の項は $\frac{1}{V!}\prod_{k=1}^V\big(-ig\int d^4z_k\,\hat\phi\hat{\bar\psi}\hat\psi(z_k)\big)$（QED では $-ie\,\hat{\bar\psi}\gamma^\mu\hat\psi\hat A_\mu$）です。各頂点の 3 本の足はすべて種類の異なる場なので、$\phi^4$ のような足の入れ替えの因子は現れず、頂点の番号の入れ替え $V!$ が $\frac1{V!}$ と打ち消し合います。よって各頂点の因子は $-ig$、$-ie\gamma^\mu$ です（連結で外線をもつ図では、頂点の番号の入れ替えで移り合う対分割はちょうど $V!$ 個ずつあります）。

伝播関数。 縮約はスカラーについて 補題 3.2 の $\Delta_F$（質量 $M$）、フェルミオンについて 命題 3.6 の $S_F$、光子について 命題 6.1［電磁場の量子化とゲージ固定］ の $\frac{-ig_{\mu\nu}}{q^2+i\varepsilon}$ で、運動量表示に移すと表の内線の因子になります。命題 3.6 により $\hat\psi\hat\psi$ と $\hat{\bar\psi}\hat{\bar\psi}$ の縮約は $0$ なので、フェルミオンの線は $\hat\psi$ から $\hat{\bar\psi}$ への向き（矢印）をもちます。

符号とトレース。 命題 3.6 の符号は、縮約する対を隣り合わせにする並べ替えの符号です。各頂点の $\hat{\bar\psi}\hat\psi$ はボソン的な対なので、頂点ごとの因子は動かしても符号を生みません。開いたフェルミオン線では、$\hat{\bar\psi}(z_1)\hat\psi(z_1)\hat{\bar\psi}(z_2)\hat\psi(z_2)\cdots$ を $\hat\psi(z_1)\hat{\bar\psi}(z_2)$ の縮約が隣り合う順に並べると、行列の積 $\cdots S_F(z_1-z_2)\cdots$ がスピノル添字について左から右へ、矢印と逆向きに並びます。$k$ 個の頂点を回る閉じたループでは、最後の縮約 $\hat\psi(z_k)\hat{\bar\psi}(z_1)$ を作るために $\hat{\bar\psi}(z_1)$ を奇数個のフェルミオン演算子を越えて右端に送る必要があり、因子 $-1$ と、スピノル添字の環状の縮約すなわちトレースが現れます。図どうしの相対符号は、外線の場の並べ替えの符号として残ります。

外線。 定理 5.2 の証明は、1 粒子の行列要素を $\langle\Omega|\hat\psi(x)|\boldsymbol p,s\rangle=\sqrt{Z_2}\,u^s(p)e^{-ip\cdot x}$、$\langle\Omega|\hat A_\mu(x)|\boldsymbol k,\lambda\rangle=\sqrt{Z_3}\,\varepsilon_\mu(k)e^{-ik\cdot x}$ などに替えればそのまま通り、多重極の係数に外線ごとのスピノル・偏極ベクトルが現れます（反粒子では $\hat{\bar\psi}$ 側から $\bar v$、$\hat\psi$ 側から $v$）。一方、図の側では、外線の完全な伝播関数の極の留数が 定理 3.3［ディラック場の量子化］ により $\not{p}+m=\sum_su^s\bar u^s$ となり、LSZ の係数と比べると、入射フェルミオンでは切り取った図の右に $u^s(p)$、出射フェルミオンでは左に $\bar u^s(p)$ が残ります。光子も同様に偏極和の 1 つの成分が残ります。ツリーレベルでは $Z_2=Z_3=1$ で、主張の規則を得ます。

∎

注意 4.6（導出の所在と記法）

導出は Peskin–Schroeder 第 4 章 §4.7・§4.8 にあります。符号の規約は Peskin–Schroeder に従い、共変微分を $D_\mu=\partial_\mu+ieA_\mu$、電子の電荷を $e=-|e|$ とします。ゲージ理論と自発的対称性の破れの $D_\mu=\partial_\mu-iqA_\mu$ とは $q=-e$ で対応します。光子の伝播関数は一般の共変ゲージで $k_\mu k_\nu$ に比例する項が加わりますが、Ward 恒等式によって振幅に寄与しません（定理 6.2［電磁場の量子化とゲージ固定］、定理 6.3［電磁場の量子化とゲージ固定］）。スピノルは $\bar u^s(p)u^r(p)=2m\delta^{sr}$ で規格化され、スピン和は $\sum_su^s(p)\bar u^s(p)=\not{p}+m$、$\sum_sv^s(p)\bar v^s(p)=\not{p}-m$ です（ディラック場の量子化）。

5. LSZ 簡約公式と S 行列

運動量 $\boldsymbol k_1,\boldsymbol k_2,\dots$ の粒子が遠い過去に入射し、$\boldsymbol p_1,\dots,\boldsymbol p_n$ の粒子が遠い未来に出ていく確率振幅を考えます。

定義 5.1（S 行列と不変振幅）↗

漸近的な入射状態 $|\boldsymbol k_1\cdots\boldsymbol k_m\rangle_{\mathrm{in}}$ と出射状態 $|\boldsymbol p_1\cdots\boldsymbol p_n\rangle_{\mathrm{out}}$（各粒子は 定義 6.1［スカラー場の正準量子化］ のローレンツ不変な規格化 $\langle\boldsymbol p|\boldsymbol q\rangle=2E_{\boldsymbol p}(2\pi)^3\delta^3(\boldsymbol p-\boldsymbol q)$）の内積を

$$\langle\boldsymbol p_1\cdots\boldsymbol p_n|\hat S|\boldsymbol k_1\cdots\boldsymbol k_m\rangle={}_{\mathrm{out}}\langle\boldsymbol p_1\cdots\boldsymbol p_n|\boldsymbol k_1\cdots\boldsymbol k_m\rangle_{\mathrm{in}}$$

と書き、$\hat S$ を S 行列と呼びます。$\hat S=1+i\hat T$ と分け、不変振幅 $\mathcal M$ を

$$\langle\boldsymbol p_1\cdots\boldsymbol p_n|i\hat T|\boldsymbol k_1\cdots\boldsymbol k_m\rangle=(2\pi)^4\delta^4\Big(\sum_jk_j-\sum_ip_i\Big)\,i\mathcal M(k_1,\dots,k_m\to p_1,\dots,p_n)$$

で定めます。

定理 5.2（LSZ 簡約公式）✓

実スカラー場 $\hat\phi$ の理論が次を満たすとします。(i) $\langle\Omega|\hat\phi(x)|\Omega\rangle=0$。(ii) 質量 $m>0$ の安定な 1 粒子状態 $|\lambda_{\boldsymbol p}\rangle$ があり、そのエネルギー運動量の質量殻 $p^2=m^2$ は他のスペクトル（多粒子状態の連続スペクトル）から離れている。(iii) $Z=|\langle\Omega|\hat\phi(0)|\lambda_{\boldsymbol 0}\rangle|^2>0$。このとき

$$\prod_{i=1}^{n}\int d^4x_i\,e^{ip_i\cdot x_i}\prod_{j=1}^{m}\int d^4y_j\,e^{-ik_j\cdot y_j}\;\langle\Omega|T\{\hat\phi(x_1)\cdots\hat\phi(x_n)\hat\phi(y_1)\cdots\hat\phi(y_m)\}|\Omega\rangle$$

は、各 $p_i^0\to E_{\boldsymbol p_i}$、$k_j^0\to E_{\boldsymbol k_j}$ の近傍で

$$\left(\prod_{i=1}^{n}\frac{i\sqrt Z}{p_i^2-m^2+i\varepsilon}\right)\left(\prod_{j=1}^{m}\frac{i\sqrt Z}{k_j^2-m^2+i\varepsilon}\right)\langle\boldsymbol p_1\cdots\boldsymbol p_n|\hat S|\boldsymbol k_1\cdots\boldsymbol k_m\rangle$$

と同じ多重極をもちます。すなわち、すべての外線を同時に質量殻に乗せたときの多重極の留数が S 行列要素です。

証明の方針は次のとおりです。外点の時刻の積分を、その点が時間順序の端に来る領域とそれ以外に分けます。端の領域では完全系を挟めるので、1 粒子状態から $\frac{1}{p^2-m^2}$ 型の極が現れ、その係数が外線の粒子を 1 個取り出した行列要素になります。これを外線の数だけ繰り返すと、係数が S 行列要素になります。なお多重極とは、外線ごとに 1 つずつ、合わせて外線の数だけ極が同時に現れることを指します。

証明（定理 5.2）

物理の水準の証明を与えます。完全系の挿入と時間積分の交換を認め、多粒子の in/out 状態については次の漸近条件を認めます: 1 個の外線の極を取り出したあとに残る 1 粒子状態は、他の外線の極を順に取り出していくと、遠い未来（過去）に互いに離れた粒子の out（in）状態に組み上がる。漸近条件そのものは Haag–Ruelle の散乱理論が保証する内容です（定理 4.1［Haag–Ruelle の散乱理論］、定理 7.1［Haag–Ruelle の散乱理論］）。$\epsilon\gt0$ の減衰因子 $e^{-\epsilon|x^0|}$ を入れて積分し、最後に $\epsilon\to0$ とします。

1 粒子の行列要素。 $\hat P^\mu$ による並進 $\hat\phi(x)=e^{i\hat P\cdot x}\hat\phi(0)e^{-i\hat P\cdot x}$ と、$|\lambda_{\boldsymbol p}\rangle$ をブーストで $|\lambda_{\boldsymbol 0}\rangle$ に移したときのスカラー場の不変性から、$\langle\Omega|\hat\phi(x)|\lambda_{\boldsymbol p}\rangle=\langle\Omega|\hat\phi(0)|\lambda_{\boldsymbol 0}\rangle e^{-ip\cdot x}|_{p^0=E_{\boldsymbol p}}$ です。$|\lambda_{\boldsymbol p}\rangle$ の位相を選んで $\langle\Omega|\hat\phi(0)|\lambda_{\boldsymbol 0}\rangle=\sqrt Z$ とします。

1 つの出射外線の極。 他の時刻を固定し、それらの最大値を $T_+$、最小値を $T_-$ とします。$x_1^0$ の積分を $x_1^0\gt T_+$、$T_-\le x_1^0\le T_+$、$x_1^0\lt T_-$ に分けます。$x_1^0\gt T_+$ では $\hat\phi(x_1)$ が時間順序積の左端に来るので、$\langle\Omega|\hat\phi(x_1)$ の後ろに $1=|\Omega\rangle\langle\Omega|+\sum_\lambda\int\frac{d^3q}{(2\pi)^32E_{\boldsymbol q}(\lambda)}|\lambda_{\boldsymbol q}\rangle\langle\lambda_{\boldsymbol q}|$ を挿入できます（真空の項は (i) で消えます）。1 粒子状態の項は

$$\int\frac{d^3q}{(2\pi)^32E_{\boldsymbol q}}\int_{T_+}^\infty dx_1^0\int d^3x_1\,e^{ip_1\cdot x_1}\sqrt Z\,e^{-iq\cdot x_1}\,\langle\lambda_{\boldsymbol q}|T\{\cdots\}|\Omega\rangle =\frac{1}{2E_{\boldsymbol p_1}}\frac{i\,e^{i(p_1^0-E_{\boldsymbol p_1}+i\epsilon)T_+}}{p_1^0-E_{\boldsymbol p_1}+i\epsilon}\sqrt Z\,\langle\lambda_{\boldsymbol p_1}|T\{\cdots\}|\Omega\rangle$$

です（空間積分が $(2\pi)^3\delta^3(\boldsymbol p_1-\boldsymbol q)$ を与えます）。$p_1^0\to E_{\boldsymbol p_1}$ の近くで $\frac{1}{p_1^0-E_{\boldsymbol p_1}}=\frac{p_1^0+E_{\boldsymbol p_1}}{p_1^2-m^2}\approx\frac{2E_{\boldsymbol p_1}}{p_1^2-m^2}$ なので、この項は極 $\frac{i\sqrt Z}{p_1^2-m^2+i\epsilon}\langle\lambda_{\boldsymbol p_1}|T\{\cdots\}|\Omega\rangle$ をもちます（極の位置では $e^{i(\cdots)T_+}\to1$）。多粒子状態の項は同じ計算で $\frac{1}{p_1^0-E_{\boldsymbol p_1}(\lambda)}$ を与えますが、仮定 (ii) により $E_{\boldsymbol p_1}(\lambda)$ は $E_{\boldsymbol p_1}$ から離れた値しかとらないので、$p_1^0=E_{\boldsymbol p_1}$ の近くで正則です。有限区間 $[T_-,T_+]$ の積分は $p_1^0$ の整関数、$x_1^0\lt T_-$ の領域では $\hat\phi(x_1)$ が右端に来て、同じ計算で極は $p_1^0=-E_{\boldsymbol p_1}$ の側にしか現れません。よって $p_1^0\to E_{\boldsymbol p_1}$ での極の係数は $i\sqrt Z\langle\lambda_{\boldsymbol p_1}|T\{\hat\phi(x_2)\cdots\}|\Omega\rangle$ の Fourier 変換です。

入射外線。 $\int d^4y_j\,e^{-ik_j\cdot y_j}$ については、$y_j^0\lt T_-$ の領域で $\hat\phi(y_j)$ が右端に来て、$\hat\phi(y_j)|\Omega\rangle$ の前に完全系を挿入すれば、同じ計算（時間積分は $\int_{-\infty}^{T_-}e^{-i(k_j^0-E_{\boldsymbol k_j}-i\epsilon)y^0}dy^0$）で、$k_j^0\to E_{\boldsymbol k_j}$ に極 $\frac{i\sqrt Z}{k_j^2-m^2+i\epsilon}$ が現れ、係数に $|\lambda_{\boldsymbol k_j}\rangle$ が現れます。

すべての外線。 上の操作をすべての外線について行うと、多重極の係数は、出射側の 1 粒子状態たちと入射側の 1 粒子状態たちの内積になります。漸近条件により、これらは $\mathrm{out}$ 状態 $\langle\boldsymbol p_1\cdots\boldsymbol p_n|_{\mathrm{out}}$ と $\mathrm{in}$ 状態 $|\boldsymbol k_1\cdots\boldsymbol k_m\rangle_{\mathrm{in}}$ に組み上がり、その内積は 定義 5.1 により $\langle\boldsymbol p_1\cdots\boldsymbol p_n|\hat S|\boldsymbol k_1\cdots\boldsymbol k_m\rangle$ です。極の因子は各外線について $\frac{i\sqrt Z}{p^2-m^2+i\epsilon}$ で、主張の式になります。

∎

注意 5.3（導出の要点）

導出は Peskin–Schroeder 第 7 章 §7.2 にあります（原論文は Lehmann–Symanzik–Zimmermann 1955）。要点は 3 つです。

1. 1 粒子極。 2 点関数に完全系を挿入すると（Källén–Lehmann 表示）、1 粒子状態からの寄与が $\frac{iZ}{p^2-m^2+i\varepsilon}$ という孤立した極を与え、多粒子状態は $p^2\ge(2m)^2$ 程度から始まる切断を与えます。仮定 (ii) はこの分離を保証します。
2. 時間積分の分割。 $\int dx_1^0$ を $x_1^0$ が十分大きい領域とそれ以外に分けます。大きい領域では $\hat\phi(x_1)$ が時間順序積の最も左に来るので、$\langle\Omega|$ と $\hat\phi(x_1)$ の間に完全系を挿入でき、1 粒子状態の寄与が $p_1^0\to E_{\boldsymbol p_1}$ で極 $\frac{i\sqrt Z}{p_1^2-m^2}$ を生み、その係数に出射粒子を 1 個含む状態が現れます。有限の時間領域からの寄与は極をもちません。
3. 漸近状態。 すべての外点について同じことを行うと、極の係数が in 状態と out 状態の内積、すなわち S 行列要素になります。漸近状態の存在そのものは Haag–Ruelle の散乱理論が保証します（定理 4.1［Haag–Ruelle の散乱理論］。S 行列要素を Wightman 関数の極限で表す厳密な形は 定理 7.1［Haag–Ruelle の散乱理論］）。

仮定 (ii) が破れる典型例が QED の電子です。光子が無質量なので、電子の 1 粒子極は多粒子（電子 $+$ 軟光子）の連続スペクトルに埋もれ、上の形の LSZ 公式はそのままでは成り立ちません。これが赤外発散の起源で、軟光子放出を含めた包含的な断面積を考えることで処理します（Peskin–Schroeder 第 6 章）。ツリーレベルの計算ではこの問題は現れません。

系 5.4（散乱振幅は切り取った連結図の和である）✓

定理 5.2 の下で、すべての外線運動量が異なる（どの部分集合の入射運動量も出射運動量の部分集合と一致しない）とき、

$$\langle\boldsymbol p_1\cdots\boldsymbol p_n|i\hat T|\boldsymbol k_1\cdots\boldsymbol k_m\rangle=\left(\sqrt Z\right)^{n+m}\times\left(\text{外線を切り取った連結図の和}\right)$$

です。ここで「外線を切り取る」とは、外点から最初の頂点までの完全な伝播関数（自己エネルギーの挿入をすべて含めたもの）を図から取り除くことです。

証明（系 5.4）

形式的べき級数としての証明です。運動量の仮定は、入射運動量の空でない部分集合の和が出射運動量の部分集合の和と一致しない（運動量が一般の位置にある）という意味に読みます。

図の整理。 定理 4.4 により、定理 5.2 の左辺は真空泡を含まない図の和です。各図で、外点 $x$ から出た線をたどり、その線を 1 本切ると図が「外点を含む部分」と「残り」に分かれる限り進みます。こうして各外線は、外点から始まる自己エネルギーの挿入の鎖と、それ以外の部分（切り取った図）に一意に分かれます。逆に、切り取った図と各外線の鎖を任意に組み合わせると図が 1 つ得られ、対称因子は各部分の積になります。よって、同じ切り取った図をもつ図の和は、切り取った図の値に、各外線の鎖の和、すなわち完全な伝播関数 $D(p)$ を掛けたものです。

連結な図。 仮定 (ii) と 定理 5.1［Ward–高橋恒等式と Schwinger–Dyson 方程式］ により、$D(p)$ は $p^2\to m^2$ で $\frac{iZ}{p^2-m^2+i\epsilon}$ と振る舞い、残りは正則です。したがって連結な切り取った図の寄与は、外線ごとに極 $\frac{iZ}{p^2-m^2}$ をもち、多重極の係数は (切り取った図の値)$\times(iZ)^{n+m}$ です。定理 5.2 の右辺の係数 $(i\sqrt Z)^{n+m}\langle\cdots|\hat S|\cdots\rangle$ と比べると、連結な部分の寄与は $(\sqrt Z)^{n+m}\times$(切り取った図の値)です。

非連結な図。 外点を含む連結成分ごとに、その成分の外線運動量の保存則 $\delta^4\big(\sum_{A}k-\sum_{B}p\big)$ が付きます（$A,B$ はその成分に属する入射・出射の外線）。成分が 2 つ以上あると、少なくとも 1 つの成分で $A$ または $B$ が全体の真部分集合です。$A=\emptyset$ または $B=\emptyset$ なら、質量殻上の前方の運動量の和は $0$ でない時間的ベクトルなのでデルタ関数は $0$ です。そうでなければ運動量の仮定によりやはり $0$ です。とくに、外線が素通りする $\langle\boldsymbol p|\boldsymbol k\rangle\propto\delta^3(\boldsymbol p-\boldsymbol k)$ の項、すなわち $\hat S=1+i\hat T$ の $1$ の部分も消えるので、$\langle\cdots|\hat S|\cdots\rangle=\langle\cdots|i\hat T|\cdots\rangle$ です。以上で主張の式を得ます。

∎

注意 5.5（系の導き方）

完全な伝播関数は $p^2\to m^2$ で $\frac{iZ}{p^2-m^2}$ と振る舞うので、定理 5.2 の左辺を 定理 4.4 の図で表すと、各外線の完全な伝播関数が右辺の $\frac{i\sqrt Z}{p^2-m^2}$ と $\sqrt Z$ 1 個だけ食い違う形で極を打ち消します。非連結な図のうち、外線が素通りする部分は $\langle\boldsymbol p|\boldsymbol k\rangle\propto\delta^3(\boldsymbol p-\boldsymbol k)$ を含み、運動量が異なるという仮定の下では $0$ です。全体の運動量保存のデルタ関数をくくり出せば主張の式になります。詳細は Peskin–Schroeder 第 7 章 §7.2 の式 (7.45) 前後を参照してください。

ツリーレベルでは自己エネルギーの挿入がなく $Z=1$ なので、外線を切り取るとは単に外線の伝播関数 $\frac{i}{p^2-m^2}$ を外すことです。たとえば $\phi^4$ 理論の $2\to2$ 散乱では、最低次で $i\mathcal M=-i\lambda$ です。

6. 断面積・崩壊率と位相空間

定理 6.1（断面積と崩壊率の公式）✓

粒子 $A,B$ が同一直線上で衝突して終状態 $f=\{p_1,\dots,p_n\}$ に移る微分断面積と、静止した粒子 $A$ の崩壊の微分崩壊率は

$$d\sigma=\frac{1}{2E_A\,2E_B\,|v_A-v_B|}\,|\mathcal M(p_A,p_B\to\{p_f\})|^2\,d\Pi_n,\qquad d\Gamma=\frac{1}{2m_A}\,|\mathcal M(m_A\to\{p_f\})|^2\,d\Pi_n$$

で与えられます。ここで $v_A,v_B$ はビーム軸方向の速度、

$$d\Pi_n=\left(\prod_{f=1}^{n}\frac{d^3p_f}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_f}\right)(2\pi)^4\delta^4\Big(P-\sum_fp_f\Big)$$

はローレンツ不変な位相空間要素で、$P$ は始状態の全 4 元運動量です。終状態に同種粒子が $k$ 個あるときは、全位相空間で積分した後に $1/k!$ を掛けます。

証明のねらいは、振幅 $\mathcal M$ を実験で測る量（単位時間あたりの反応数を入射流束で割ったもの）に結びつけることです。デルタ関数の 2 乗は有限の箱と時間で置き換えて扱います。

証明（定理 6.1）

波束を使う正確な導出は Peskin–Schroeder 第 4 章 §4.5 にあります。ここでは体積 $V$ の箱と有限の時間 $T$ で規格化する導出を示します。この規格化では $(2\pi)^3\delta^3(\boldsymbol 0)=V$、$(2\pi)^4\delta^4(0)=VT$ と読み替えるので、状態のノルムは $\langle\boldsymbol p|\boldsymbol p\rangle=2E_{\boldsymbol p}V$ です。

始状態 $i=|\boldsymbol p_A\boldsymbol p_B\rangle$ から終状態 $f$ への遷移確率は、規格化した状態の振幅の絶対値の 2 乗で

$$\mathcal P=\frac{|\langle f|i\hat T|i\rangle|^2}{\langle f|f\rangle\langle i|i\rangle}=\frac{\left|(2\pi)^4\delta^4(P-\sum p_f)\right|^2|\mathcal M|^2}{2E_AV\cdot2E_BV\cdot\prod_f2E_fV}$$

です。デルタ関数の 2 乗の一方を $(2\pi)^4\delta^4(0)=VT$ で置き換えます。箱の中の運動量 $\boldsymbol p_f$ の近傍 $d^3p_f$ にある状態の数は $V\frac{d^3p_f}{(2\pi)^3}$ なので、終状態についての和をとると

$$d\mathcal P=\frac{VT\,|\mathcal M|^2}{2E_AV\cdot2E_BV}\prod_f\left(\frac{V\,d^3p_f}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_fV}\right)(2\pi)^4\delta^4\Big(P-\sum p_f\Big)=\frac{T}{V}\frac{|\mathcal M|^2}{2E_A2E_B}\,d\Pi_n$$

です。単位時間あたりの遷移確率は $d\mathcal P/T$ です。断面積は、これを入射流束（$A$ の数密度 $1/V$ と相対速度 $|v_A-v_B|$ の積）で割ったものなので

$$d\sigma=\frac{d\mathcal P/T}{|v_A-v_B|/V}=\frac{|\mathcal M|^2}{2E_A2E_B|v_A-v_B|}d\Pi_n$$

です。崩壊では始状態が $A$ 1 個なので $\langle i|i\rangle=2E_AV$ だけで割り、同じ計算で $d\mathcal P/T=\frac{|\mathcal M|^2}{2E_A}d\Pi_n$ となります。静止系で $E_A=m_A$ とすれば $d\Gamma$ の式です。同種粒子については、運動量の入れ替えだけが異なる終状態は同じ状態なので、全位相空間で積分すると $k!$ 回重複して数えることになります。

∎

$d\Pi_n$ は 補題 2.1［スカラー場の正準量子化］ によりローレンツ不変です。$|\mathcal M|^2$ も不変なので、断面積の非不変性は流束因子 $E_AE_B|v_A-v_B|$ だけにあります。これはビーム軸方向のブーストで不変です。

命題 6.2（2 体の位相空間）✓

重心系 $P=(E_{\mathrm{cm}},\boldsymbol 0)$ で、質量 $m_1,m_2$ の 2 粒子の終状態について、$\boldsymbol p_1$ の向きの立体角要素 $d\Omega$ を用いて

$$\int d\Pi_2=\int d\Omega\;\frac{|\boldsymbol p_1|}{16\pi^2E_{\mathrm{cm}}}$$

が成り立ちます。ここで $|\boldsymbol p_1|$ は $E_1+E_2=E_{\mathrm{cm}}$ で決まる値です。

証明（命題 6.2）

$\delta^3$ で $\boldsymbol p_2=-\boldsymbol p_1$ と固定すると

$$\int d\Pi_2=\int\frac{d^3p_1}{(2\pi)^3}\frac{2\pi}{2E_12E_2}\delta(E_{\mathrm{cm}}-E_1-E_2)=\int d\Omega\int\frac{p^2\,dp}{16\pi^2E_1E_2}\delta(E_{\mathrm{cm}}-E_1-E_2)$$

です（$p=|\boldsymbol p_1|$、$E_{1,2}=\sqrt{p^2+m_{1,2}^2}$）。$\frac{d}{dp}(E_1+E_2)=\frac{p}{E_1}+\frac{p}{E_2}=\frac{pE_{\mathrm{cm}}}{E_1E_2}$ なので、デルタ関数の公式から $p$ 積分は $\frac{p^2}{16\pi^2E_1E_2}\cdot\frac{E_1E_2}{pE_{\mathrm{cm}}}=\frac{p}{16\pi^2E_{\mathrm{cm}}}$ を与えます。

∎

系 6.3（重心系での 2→2 微分断面積）✓

$2\to2$ 散乱の重心系での微分断面積は

$$\left(\frac{d\sigma}{d\Omega}\right)_{\mathrm{cm}}=\frac{1}{64\pi^2E_{\mathrm{cm}}^2}\frac{|\boldsymbol p_f|}{|\boldsymbol p_i|}|\mathcal M|^2$$

です。$|\boldsymbol p_i|,|\boldsymbol p_f|$ は始状態・終状態の粒子 1 個の運動量の大きさです。

証明（系 6.3）

重心系では $|\boldsymbol p_A|=|\boldsymbol p_B|=|\boldsymbol p_i|$ で、$|v_A-v_B|=\frac{|\boldsymbol p_i|}{E_A}+\frac{|\boldsymbol p_i|}{E_B}$ なので、$2E_A2E_B|v_A-v_B|=4|\boldsymbol p_i|(E_A+E_B)=4|\boldsymbol p_i|E_{\mathrm{cm}}$ です。定理 6.1 と 命題 6.2 を組み合わせると $\frac{1}{4|\boldsymbol p_i|E_{\mathrm{cm}}}\cdot\frac{|\boldsymbol p_f|}{16\pi^2E_{\mathrm{cm}}}|\mathcal M|^2$ となり、主張の式です。

∎

7. 例：e⁺e⁻ → μ⁺μ⁻ の微分断面積

QED の最も基本的な散乱過程を、定理 4.5 から断面積まで計算します。スピン和のトレースには次の公式を使います。$\gamma^5=i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3$ は $(\gamma^5)^2=1$、$\{\gamma^5,\gamma^\mu\}=0$ を満たします。

補題 7.1（γ 行列のトレース）✓

$\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}=2g^{\mu\nu}$ を満たす $4\times4$ 行列について

1. 奇数個の $\gamma$ 行列の積のトレースは $0$。
2. $\mathrm{tr}(\gamma^\mu\gamma^\nu)=4g^{\mu\nu}$。
3. $\mathrm{tr}(\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma)=4\left(g^{\mu\nu}g^{\rho\sigma}-g^{\mu\rho}g^{\nu\sigma}+g^{\mu\sigma}g^{\nu\rho}\right)$。

証明（補題 7.1）

1. $n$ を奇数として $\mathrm{tr}(\gamma^{\mu_1}\cdots\gamma^{\mu_n})=\mathrm{tr}(\gamma^5\gamma^5\gamma^{\mu_1}\cdots\gamma^{\mu_n})$ と書き、右の $\gamma^5$ を $n$ 個の $\gamma$ 行列の右へ反交換で送ると $(-1)^n$ が出ます。トレースの巡回性で最後の $\gamma^5$ を先頭に戻すと元の式の $(-1)^n=-1$ 倍になるので、$0$ です。

2. 巡回性より $\mathrm{tr}(\gamma^\mu\gamma^\nu)=\mathrm{tr}(\gamma^\nu\gamma^\mu)$ なので、$\mathrm{tr}(\gamma^\mu\gamma^\nu)=\frac12\mathrm{tr}\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}=g^{\mu\nu}\mathrm{tr}\,1=4g^{\mu\nu}$ です。

3. 反交換関係で $\gamma^\mu$ を右端まで送ると

$$\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma=2g^{\mu\nu}\gamma^\rho\gamma^\sigma-2g^{\mu\rho}\gamma^\nu\gamma^\sigma+2g^{\mu\sigma}\gamma^\nu\gamma^\rho-\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma\gamma^\mu$$

です。トレースをとると最後の項は巡回性で左辺のトレースに等しいので、$2\,\mathrm{tr}(\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma)$ が右辺の最初の 3 項のトレースに等しく、2 を使えば主張を得ます。

∎

e⁺e⁻ → μ⁺μ⁻ の最低次の図。電子と陽電子が対消滅して仮想光子（運動量 q = p + p′）になり、それがミューオン対を生成する。

命題 7.2（e⁺e⁻ → μ⁺μ⁻ の最低次の微分断面積）✓

電子の質量を $0$ とし、偏極していない電子・陽電子が重心系で衝突してミューオン対になる過程の、QED の最低次の微分断面積は、$E=E_{\mathrm{cm}}/2>m_\mu$、$\theta$ を電子とミューオンの運動量のなす角、$\alpha=e^2/(4\pi)$ として

$$\frac{d\sigma}{d\Omega}=\frac{\alpha^2}{4E_{\mathrm{cm}}^2}\sqrt{1-\frac{m_\mu^2}{E^2}}\left[\left(1+\frac{m_\mu^2}{E^2}\right)+\left(1-\frac{m_\mu^2}{E^2}\right)\cos^2\theta\right]$$

である（終状態のスピンについては和をとる）。

証明（命題 7.2）

電子 $e^-(p,s)$ と陽電子 $e^+(p',s')$ がミューオン $\mu^-(k,r)$ と反ミューオン $\mu^+(k',r')$ になる過程を考えます。最低次の図は上の 1 つだけで、定理 4.5 から

$$i\mathcal M=\left[\bar v^{s'}(p')(-ie\gamma^\mu)u^s(p)\right]\frac{-ig_{\mu\nu}}{q^2}\left[\bar u^r(k)(-ie\gamma^\nu)v^{r'}(k')\right]=\frac{ie^2}{q^2}\left(\bar v(p')\gamma^\mu u(p)\right)\left(\bar u(k)\gamma_\mu v(k')\right)$$

です（$q=p+p'$、$(-ie)^2(-i)=ie^2$）。

スピン和。 $(\bar v\gamma^\mu u)^*=\bar u\gamma^\mu v$（$\gamma^0\gamma^{\mu\dagger}\gamma^0=\gamma^\mu$ による）なので、始状態のスピンを平均し（因子 $\frac14$）、終状態のスピンについて和をとると、スピン和 $\sum_su^s(p)\bar u^s(p)=\not{p}+m$、$\sum_sv^s(p)\bar v^s(p)=\not{p}-m$（定理 3.3［ディラック場の量子化］）を使って

$$\frac14\sum_{\text{spins}}|\mathcal M|^2=\frac{e^4}{4q^4}\,\mathrm{tr}\left[(\not{p}'-m_e)\gamma^\mu(\not{p}+m_e)\gamma^\nu\right]\mathrm{tr}\left[(\not{k}+m_\mu)\gamma_\mu(\not{k}'-m_\mu)\gamma_\nu\right]$$

となります。$m_e/m_\mu\approx1/207$ なので $m_e=0$ とします。補題 7.1 の 1 で奇数個のトレースを落とし、3 と 2 を使うと

$$\mathrm{tr}[\not{p}'\gamma^\mu\not{p}\gamma^\nu]=4\left(p'^\mu p^\nu+p'^\nu p^\mu-g^{\mu\nu}p\cdot p'\right),\qquad \mathrm{tr}[(\not{k}+m_\mu)\gamma_\mu(\not{k}'-m_\mu)\gamma_\nu]=4\left(k_\mu k'_\nu+k_\nu k'_\mu-g_{\mu\nu}(k\cdot k'+m_\mu^2)\right)$$

です。縮約すると（$g^{\mu\nu}g_{\mu\nu}=4$）

$$\frac14\sum|\mathcal M|^2=\frac{8e^4}{q^4}\left[(p\cdot k)(p'\cdot k')+(p\cdot k')(p'\cdot k)+m_\mu^2\,(p\cdot p')\right]$$

を得ます。

重心系の運動学。 $E=E_{\mathrm{cm}}/2$、$\theta$ を $\boldsymbol p$ と $\boldsymbol k$ のなす角として

$$p=(E,0,0,E),\quad p'=(E,0,0,-E),\quad k=(E,|\boldsymbol k|\sin\theta,0,|\boldsymbol k|\cos\theta),\quad k'=(E,-\boldsymbol k),\quad |\boldsymbol k|=\sqrt{E^2-m_\mu^2}$$

と置きます。$q^2=4E^2$、$p\cdot p'=2E^2$、$p\cdot k=p'\cdot k'=E(E-|\boldsymbol k|\cos\theta)$、$p\cdot k'=p'\cdot k=E(E+|\boldsymbol k|\cos\theta)$ です。代入すると

$$\frac14\sum|\mathcal M|^2=\frac{8e^4}{16E^4}E^2\left[2E^2+2|\boldsymbol k|^2\cos^2\theta+2m_\mu^2\right]=e^4\left[\left(1+\frac{m_\mu^2}{E^2}\right)+\left(1-\frac{m_\mu^2}{E^2}\right)\cos^2\theta\right]$$

です。

微分断面積。 系 6.3 で $|\boldsymbol p_i|=E$、$|\boldsymbol p_f|=|\boldsymbol k|$、$e^2=4\pi\alpha$ とすると

$$\frac{d\sigma}{d\Omega}=\frac{\alpha^2}{4E_{\mathrm{cm}}^2}\sqrt{1-\frac{m_\mu^2}{E^2}}\left[\left(1+\frac{m_\mu^2}{E^2}\right)+\left(1-\frac{m_\mu^2}{E^2}\right)\cos^2\theta\right]$$

です。

∎

例 7.3（e⁺e⁻ → μ⁺μ⁻ の微分断面積）

命題 7.2 の計算は、ファインマン則から振幅を書き、スピン和を $\gamma$ 行列のトレースに直し、重心系の運動学を代入して 系 6.3 に入れる、という QED の断面積計算の典型的な手順でした。結果を読みます。閾値 $E\downarrow m_\mu$ では因子 $\sqrt{1-m_\mu^2/E^2}$（終状態の運動量 $|\boldsymbol k|/E$）のために断面積は $0$ に近づき、角度分布は等方的になります。高エネルギー極限 $E\gg m_\mu$ では $\frac{d\sigma}{d\Omega}=\frac{\alpha^2}{4E_{\mathrm{cm}}^2}(1+\cos^2\theta)$ となります。$1+\cos^2\theta$ という角度分布は、スピン $1/2$ の対がスピン $1$ の仮想光子を通して生成されることの帰結で、PETRA などの $e^+e^-$ 衝突実験で確認されています。ただしこの結果は QED の最低次であり、重心エネルギーが $Z$ ボソンの質量（約 $91\ \mathrm{GeV}$）に近づくと $Z$ 交換の寄与が加わり、前後非対称性が現れます。

8. 演習

演習 8.1易

命題 2.2 の $n=2$ の場合として、有界作用素値の連続関数 $\hat H_I(t)$ について

$$\int_{t'}^{t}dt_1\int_{t'}^{t_1}dt_2\,\hat H_I(t_1)\hat H_I(t_2)=\frac12\int_{t'}^{t}dt_1\int_{t'}^{t}dt_2\,T\{\hat H_I(t_1)\hat H_I(t_2)\}$$

を直接示してください。また、$\hat H_I(t_1)$ と $\hat H_I(t_2)$ が可換でないとき、左辺が $\frac12\left(\int_{t'}^{t}\hat H_I\right)^2$ と一致しないことを、その差を交換子で表して確かめてください。

解答

正方形 $[t',t]^2$ を $t_1\ge t_2$ の三角形 $\Delta_1$ と $t_2\ge t_1$ の三角形 $\Delta_2$ に分けます（対角線は測度 $0$）。$\Delta_1$ 上では $T\{\hat H_I(t_1)\hat H_I(t_2)\}=\hat H_I(t_1)\hat H_I(t_2)$、$\Delta_2$ 上では $\hat H_I(t_2)\hat H_I(t_1)$ です。$\Delta_2$ 上の積分で変数名 $t_1\leftrightarrow t_2$ を入れ替えると $\Delta_1$ 上の $\hat H_I(t_1)\hat H_I(t_2)$ の積分になるので、右辺の正方形上の積分は左辺の 2 倍です。

一方 $\left(\int\hat H_I\right)^2=\iint_{[t',t]^2}\hat H_I(t_1)\hat H_I(t_2)$ を同じように分けると、$\Delta_2$ 上では $\hat H_I(t_1)\hat H_I(t_2)=\hat H_I(t_2)\hat H_I(t_1)+[\hat H_I(t_1),\hat H_I(t_2)]$ なので

$$\frac12\left(\int_{t'}^{t}\hat H_I\right)^2=\int_{\Delta_1}\hat H_I(t_1)\hat H_I(t_2)+\frac12\int_{\Delta_2}[\hat H_I(t_1),\hat H_I(t_2)]$$

です。第 2 項が差で、一般に $0$ ではありません。時間順序が必要なのは、異なる時刻の $\hat H_I$ が可換でないからです。

演習 8.2標準

$\phi^4$ 理論の 2 点関数の $O(\lambda^2)$ の寄与のうち、外点 $x$ が頂点 $z_1$ に、外点 $y$ が頂点 $z_2$ につながり、$z_1$ と $z_2$ が 3 本の線で結ばれる図（サンセット図）の対称因子が $S=3!=6$ であることを、対分割の個数を数えて確かめてください。また運動量空間での値を 定理 4.4 で書いてください。

解答

$\langle0|T\{\hat\phi(x)\hat\phi(y)\hat\phi(z_1)^4\hat\phi(z_2)^4\}|0\rangle$ の対分割のうち、この図を与えるものを数えます。$\hat\phi(x)$ の相手は $z_1$ か $z_2$ のどちらかの頂点の 4 本の足のいずれかで $2\times4=8$ 通り、$\hat\phi(y)$ の相手はもう一方の頂点の足で 4 通りです。残りは各頂点 3 本ずつで、それらを頂点をまたいで 1 対 1 に結ぶ方法は $3!=6$ 通りです。合計 $8\cdot4\cdot6=192$ 通りで、係数 $\frac{1}{2!}\left(\frac{1}{4!}\right)^2=\frac{1}{1152}$ を掛けると $\frac{192}{1152}=\frac16$、すなわち $S=6$ です。これは 3 本の内線の置換 $3!$ 個が図の自己同型であることに対応し、定義 4.1 の軌道の大きさ $2!\,(4!)^2/6=192$ とも一致します。

外線運動量を $p$ として、運動量空間の値は

$$\frac{(-i\lambda)^2}{6}\,\frac{i}{p^2-m^2}\left[\int\frac{d^4\ell_1}{(2\pi)^4}\frac{d^4\ell_2}{(2\pi)^4}\frac{i}{\ell_1^2-m^2}\frac{i}{\ell_2^2-m^2}\frac{i}{(p-\ell_1-\ell_2)^2-m^2}\right]\frac{i}{p^2-m^2}$$

です（$i\varepsilon$ は省略）。3 本の内線の運動量の和が頂点の保存則で $p$ に固定されるので、独立なループ運動量は 2 つです。

演習 8.3標準

命題 7.2 の微分断面積を全立体角で積分し、$s=E_{\mathrm{cm}}^2$ として

$$\sigma(e^+e^-\to\mu^+\mu^-)=\frac{4\pi\alpha^2}{3s}\sqrt{1-\frac{4m_\mu^2}{s}}\left(1+\frac{2m_\mu^2}{s}\right)$$

を示してください。さらに $\sqrt s=10\ \mathrm{GeV}$ での値を nb 単位で求めてください（$\alpha=1/137.036$、$(\hbar c)^2=0.3894\ \mathrm{mb\cdot GeV^2}$、$m_\mu=0.1057\ \mathrm{GeV}$）。

解答

$a=m_\mu^2/E^2=4m_\mu^2/s$ と置きます。$\int d\Omega=4\pi$、$\int d\Omega\cos^2\theta=\frac{4\pi}{3}$ より

$$\int d\Omega\left[(1+a)+(1-a)\cos^2\theta\right]=4\pi(1+a)+\frac{4\pi}{3}(1-a)=\frac{16\pi}{3}\left(1+\frac a2\right)$$

です。よって $\sigma=\frac{\alpha^2}{4s}\sqrt{1-a}\cdot\frac{16\pi}{3}\left(1+\frac a2\right)=\frac{4\pi\alpha^2}{3s}\sqrt{1-\frac{4m_\mu^2}{s}}\left(1+\frac{2m_\mu^2}{s}\right)$ です。

数値：$\frac{4\pi\alpha^2}{3}=\frac{4.18879}{18778.9}=2.2306\times10^{-4}$ なので、$\frac{4\pi\alpha^2}{3s}=\frac{2.2306\times10^{-4}}{s}\ \mathrm{GeV^{-2}}$ です。$(\hbar c)^2$ を掛けて $\mathrm{GeV^{-2}}$ を面積に直すと $2.2306\times10^{-4}\times0.3894\ \mathrm{mb}=8.686\times10^{-5}\ \mathrm{mb}=86.86\ \mathrm{nb}$ を $s/\mathrm{GeV^2}$ で割ったものです。$s=100\ \mathrm{GeV^2}$ では $4m_\mu^2/s=4.47\times10^{-4}$ で、補正因子 $\sqrt{1-4.47\times10^{-4}}\,(1+2.23\times10^{-4})\approx1.0000$ なので、$\sigma\approx0.869\ \mathrm{nb}$ です。

演習 8.4標準

湯川理論で $M\gt 2m$ とし、スカラー粒子 $\phi$ がフェルミオン・反フェルミオン対に崩壊する崩壊率が、最低次で

$$\Gamma(\phi\to\psi\bar\psi)=\frac{g^2M}{8\pi}\left(1-\frac{4m^2}{M^2}\right)^{3/2}$$

であることを示してください。

解答

終状態を $\psi(p_1,s_1)$、$\bar\psi(p_2,s_2)$ とすると、定理 4.5 より $i\mathcal M=-ig\,\bar u^{s_1}(p_1)v^{s_2}(p_2)$ です。スピン和は

$$\sum_{s_1,s_2}|\mathcal M|^2=g^2\,\mathrm{tr}\left[(\not{p}_1+m)(\not{p}_2-m)\right]=g^2\left(4\,p_1\cdot p_2-4m^2\right)$$

です（補題 7.1 の 1 で $\not{p}$ を 1 個含む項が消え、2 から $\mathrm{tr}(\not{p}_1\not{p}_2)=4p_1\cdot p_2$）。$M^2=(p_1+p_2)^2=2m^2+2p_1\cdot p_2$ より $p_1\cdot p_2=\frac{M^2}{2}-m^2$ なので、$\sum|\mathcal M|^2=2g^2(M^2-4m^2)$ です。始状態はスカラーなのでスピン平均は不要です。

命題 6.2 で $E_{\mathrm{cm}}=M$、$|\boldsymbol p_1|=\frac M2\sqrt{1-\frac{4m^2}{M^2}}$ とし、角度依存がないので $\int d\Omega=4\pi$ です。定理 6.1 より

$$\Gamma=\frac{1}{2M}\cdot2g^2(M^2-4m^2)\cdot\frac{4\pi|\boldsymbol p_1|}{16\pi^2M}=\frac{g^2(M^2-4m^2)}{4\pi M^2}\cdot\frac M2\sqrt{1-\frac{4m^2}{M^2}}=\frac{g^2M}{8\pi}\left(1-\frac{4m^2}{M^2}\right)^{3/2}$$

です。$\psi$ と $\bar\psi$ は同種粒子ではないので $1/2!$ は付きません。閾値 $M\to2m$ で $(1-4m^2/M^2)^{3/2}$ と速く消えるのは、スカラーの崩壊でフェルミオン対が $P$ 波（軌道角運動量 $1$）で出るためです。

参考文献

• M. E. Peskin, D. V. Schroeder『An Introduction to Quantum Field Theory』Addison-Wesley、1995 — 第 4 章（§4.2 Gell-Mann–Low、§4.3 Wick の定理、§4.4 ファインマン図、§4.5 断面積と S 行列、§4.7・§4.8 湯川理論と QED のファインマン則）、第 5 章 §5.1（$e^+e^-\to\mu^+\mu^-$）、第 7 章 §7.2（LSZ 簡約公式）。
• F. J. Dyson, “The radiation theories of Tomonaga, Schwinger, and Feynman”, Physical Review 75 (1949), 486.
• G. C. Wick, “The evaluation of the collision matrix”, Physical Review 80 (1950), 268.
• M. Gell-Mann, F. Low, “Bound states in quantum field theory”, Physical Review 84 (1951), 350.
• H. Lehmann, K. Symanzik, W. Zimmermann, “Zur Formulierung quantisierter Feldtheorien”, Il Nuovo Cimento 1 (1955), 205.
• S. Weinberg『The Quantum Theory of Fields, Vol. I: Foundations』Cambridge University Press、1995 — 第 3 章（S 行列と断面積）、第 6 章（ファインマン則）。