湯川理論と QED のファインマン則

定理 4.5（「摂動論とファインマン則」§4）・ ✓公理まで証明済み

湯川理論 $\mathcal L=\bar\psi(i\not{\partial}-m)\psi+\frac12(\partial\phi)^2-\frac12M^2\phi^2-g\,\phi\bar\psi\psi$ と、QED $\mathcal L=\bar\psi(i\not{\partial}-m)\psi-\frac14F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-e\,\bar\psi\gamma^\mu\psi A_\mu$ の散乱振幅 $i\mathcal M$ は、外線を切り取った連結図の和として次の規則で計算されます（ツリーレベルでは定理 5.2 の $Z$ は $1$ ）。

要素	因子
スカラーの内線（運動量 $q$ ）	$\dfrac{i}{q^2-M^2+i\varepsilon}$
フェルミオンの内線（矢印の向きに運動量 $p$ ）	$\dfrac{i(\not{p}+m)}{p^2-m^2+i\varepsilon}$
光子の内線（ファインマンゲージ）	$\dfrac{-ig_{\mu\nu}}{q^2+i\varepsilon}$
湯川頂点 / QED 頂点	$-ig$ / $-ie\gamma^\mu$
入射フェルミオン / 出射フェルミオン	$u^s(p)$ / $\bar u^s(p)$
入射反フェルミオン / 出射反フェルミオン	$\bar v^s(p)$ / $v^s(p)$
外線スカラー	$1$
入射光子 / 出射光子	$\varepsilon_\mu(p)$ / $\varepsilon^*_\mu(p)$

さらに、各頂点で運動量保存、ループ運動量の積分、フェルミオンの閉じたループごとに因子 $-1$ とスピノル添字のトレースを課し、図どうしの相対符号はフェルミオン演算子の並べ替えの符号で決めます。スピノルの積は、各フェルミオン線に沿って矢印と逆向きにたどって左から右へ並べます。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 35 件、定義なども含めて 42 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 8 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

φ⁴ 理論のファインマン則✓定理 4.4・摂動論とファインマン則
- Gell-Mann–Low の公式✓定理 2.3・摂動論とファインマン則（上で展開済み）
- 真空期待値の対分割公式✓系 3.4・摂動論とファインマン則
  - Wick の定理✓定理 3.3・摂動論とファインマン則（上で展開済み）
  - 縮約はファインマン伝播関数である✓補題 3.2・摂動論とファインマン則（上で展開済み）
- ファインマン図と対称因子定義 4.1・摂動論とファインマン則
- 真空泡の因子化と相殺✓命題 4.2・摂動論とファインマン則
散乱振幅は切り取った連結図の和である✓系 5.4・摂動論とファインマン則
- φ⁴ 理論のファインマン則✓定理 4.4・摂動論とファインマン則（上で展開済み）
- LSZ 簡約公式✓定理 5.2・摂動論とファインマン則（上で展開済み）
- Källén–Lehmann 表示✓定理 5.1・Ward–高橋恒等式と Schwinger–Dyson 方程式
  - スカラーのファインマン伝播関数✓補題 6.3・ディラック場の量子化
    共変なモード展開✓系 5.5・スカラー場の正準量子化この先をたどる →
    真空定義 5.3・スカラー場の正準量子化
    正準交換関係との同値性✓命題 4.2・スカラー場の正準量子化（上で展開済み）
    微視的因果律✓定理 7.1・スカラー場の正準量子化この先をたどる →
Gell-Mann–Low の公式✓定理 2.3・摂動論とファインマン則
- ダイソン級数✓命題 2.2・摂動論とファインマン則
- 相互作用描像定義 2.1・摂動論とファインマン則
縮約はファインマン伝播関数である✓補題 3.2・摂動論とファインマン則
- 正準交換関係との同値性✓命題 4.2・スカラー場の正準量子化
  - 生成・消滅演算子定義 4.1・スカラー場の正準量子化
- 自由場の生成汎関数✓定理 5.2・経路積分量子化
  - 生成汎関数定義 5.1・経路積分量子化
フェルミオンの Wick の定理✓命題 3.6・摂動論とファインマン則
- Wick の定理✓定理 3.3・摂動論とファインマン則
  - 縮約はファインマン伝播関数である✓補題 3.2・摂動論とファインマン則（上で展開済み）
ファインマンゲージの光子の伝播関数✓命題 6.1・電磁場の量子化とゲージ固定
LSZ 簡約公式✓定理 5.2・摂動論とファインマン則
- Haag–Ruelle の漸近状態の存在✓定理 4.1・Haag–Ruelle の散乱理論
  - Haag–Ruelle 作用素が作る 1 粒子状態✓補題 2.3・Haag–Ruelle の散乱理論
    場によるエネルギー運動量の移動✓補題 7.4・Wightman 関数の解析性
    真空上の Fourier 乗数✓補題 2.2・Haag–Ruelle の散乱理論
  - 速度の異なる波束の交換子✓補題 3.3・Haag–Ruelle の散乱理論
    Wightman 関数の基本性質✓命題 5.2・Wightman 公理と再構成定理
    Haag–Ruelle 試験関数の局在✓補題 3.2・Haag–Ruelle の散乱理論（上で展開済み）
  - Haag–Ruelle 試験関数の局在✓補題 3.2・Haag–Ruelle の散乱理論
    Klein–Gordon 波束の非停留位相の評価✓補題 3.1・Haag–Ruelle の散乱理論この先をたどる →
- Haag–Ruelle 形の LSZ 公式✓定理 7.1・Haag–Ruelle の散乱理論
  - 波動作用素✓定理 5.3・Haag–Ruelle の散乱理論
    漸近状態の内積✓定理 5.1・Haag–Ruelle の散乱理論この先をたどる →
    速度の分かれた積状態の稠密性✓補題 5.2・Haag–Ruelle の散乱理論この先をたどる →
    Haag–Ruelle 作用素が作る 1 粒子状態✓補題 2.3・Haag–Ruelle の散乱理論（上で展開済み）
  - 漸近状態の内積✓定理 5.1・Haag–Ruelle の散乱理論この先をたどる →
  - Haag–Ruelle の漸近状態の存在✓定理 4.1・Haag–Ruelle の散乱理論（上で展開済み）
- S 行列と不変振幅定義 5.1・摂動論とファインマン則
スピン和の公式✓定理 3.3・ディラック場の量子化

これを使っている定理証明で参照している 2 件

e⁺e⁻ → μ⁺μ⁻ の最低次の微分断面積✓命題 7.2・摂動論とファインマン則
Ward–高橋恒等式（1 ループ）✓定理 3.2・QED の 1 ループ

湯川理論と QED のファインマン則

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 8 件）

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関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 8 件）

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