微視的因果律

定理 7.1（「スカラー場の正準量子化」§7）・ ✓公理まで証明済み

系 5.5 の自由スカラー場について、任意の時空点 $x,y$ で

[\hat\phi(x),\hat\phi(y)] = \Delta(x-y)\cdot\hat{1},\qquad \Delta(z) = \int\frac{d^3k}{(2\pi)^3\,2\omega_{\boldsymbol k}}\left(e^{-ik\cdot z} - e^{ik\cdot z}\right)\Bigg|_{k^0=\omega_{\boldsymbol k}}

が成り立ちます（右辺は c 数、すなわち恒等演算子の定数倍）。さらに $x-y$ が空間的、すなわち $(x-y)^2 < 0$ ならば

[\hat\phi(x),\hat\phi(y)] = 0

です。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 5 件、定義なども含めて 7 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

共変なモード展開✓系 5.5・スカラー場の正準量子化
- はしご演算子とハミルトニアン✓命題 5.4・スカラー場の正準量子化
  - 正準交換関係との同値性✓命題 4.2・スカラー場の正準量子化（上で展開済み）
- ハイゼンベルク方程式からクライン–ゴルドン方程式へ✓命題 3.3・スカラー場の正準量子化
  - 実スカラー場の正準量子化定義 3.1・スカラー場の正準量子化
正準交換関係との同値性✓命題 4.2・スカラー場の正準量子化
- 生成・消滅演算子定義 4.1・スカラー場の正準量子化
質量殻上のローレンツ不変測度✓補題 2.1・スカラー場の正準量子化