実スカラー場の正準量子化

定義 3.1（「スカラー場の正準量子化」§3）

実スカラー場の量子論とは、ヒルベルト空間 $\mathcal{H}$ と、その上のエルミート演算子（値をとる超関数）の組 $\hat\phi(t,\boldsymbol x),\ \hat\pi(t,\boldsymbol x)$ であって、同一時刻で

[\hat\phi(t,\boldsymbol x),\hat\pi(t,\boldsymbol y)] = i\,\delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y),

[\hat\phi(t,\boldsymbol x),\hat\phi(t,\boldsymbol y)] = [\hat\pi(t,\boldsymbol x),\hat\pi(t,\boldsymbol y)] = 0

を満たし、かつハミルトニアン

\hat H = \int d^3x\left[\frac{1}{2}\hat\pi^2 + \frac{1}{2}(\nabla\hat\phi)^2 + \frac{1}{2}m^2\hat\phi^2\right]

によってハイゼンベルク方程式 $\partial_t\hat A = i[\hat H,\hat A]$ に従って時間発展するもののことです。これらを等時刻正準交換関係と呼びます。

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。