有限温度の場の理論：虚時間形式・KMS 条件・松原和・熱的質量

0. この記事の要点

これまでの場の量子論は、粒子が何もない真空の中を飛ぶ場面を扱ってきました。この記事では、まわりに熱をもった粒子がたくさんある「温度のある世界」で、場の理論がどう変わるかを考えます。熱い物質の中では、同じ粒子でも重く振る舞うことがあります。読み終えると、熱平衡での相関関数を計算する標準的な手順と、高温で粒子の質量が増える理由を、式で追えるようになります。

• 温度 $T=1/\beta$ の熱平衡状態 $\langle\cdot\rangle_\beta=\mathrm{Tr}(e^{-\beta H}\cdot)/Z$ では、トレースの巡回性から $\langle A\,B(t+i\beta)\rangle_\beta=\langle B(t)A\rangle_\beta$ が成り立ちます（KMS 条件）。虚時間 $\tau=it$ で書くと、時間順序の相関関数はボソンで周期的、フェルミオンで反周期的（周期 $\beta$）です。
• そのため虚時間の相関関数は Fourier 級数で展開され、振動数は離散的な松原振動数 $\omega_n=\frac{2\pi n}\beta$（ボソン）、$\frac{(2n+1)\pi}\beta$（フェルミオン）になります。虚時間の関数 $G_E(i\omega_n)$ を $i\omega_n\to\omega+i0$ と解析接続すると、実時間の遅延グリーン関数が得られます。揺らぎと応答の比は $1+n_B(\omega)$ で、これが揺動散逸定理です。
• 松原和 $\frac1\beta\sum_nh(i\omega_n)$ は、$\frac12\coth\frac{\beta z}2$ を掛けた周回積分で $h$ の極の留数の和に直せます。$\frac1\beta\sum_n\frac{1}{\omega_n^2+\omega^2}=\frac{1+2n_B(\omega)}{2\omega}$ は「真空の寄与 $+$ 熱的な寄与」の分解を与えます。
• $\phi^4$ 理論の自己エネルギーの熱的な部分は、高温で $\delta m^2(T)=\frac{\lambda T^2}{24}$ です（熱的質量）。そのため $-\frac12\mu^2\phi^2$ で自発的に破れた $\phi\mapsto-\phi$ 対称性は $T_c^2=24\mu^2/\lambda$ より上で回復します。

この記事で使う事前知識

• 分配関数: 熱平衡状態の重み $e^{-\beta H}$ を全状態にわたって足した量 $Z=\mathrm{Tr}\,e^{-\beta H}$。→ 分配関数
• 密度行列: 混合状態を表す行列で、熱平衡では $e^{-\beta H}/Z$。→ 密度行列
• トレースの巡回性: 行列の積のトレースは順序を巡回的に入れ替えても変わらない、$\mathrm{Tr}(XY)=\mathrm{Tr}(YX)$ という性質。
• 経路積分によるトレース: 分配関数を、虚時間について周期的な経路の積分で書く方法。→ 経路積分量子化
• ボース分布・フェルミ分布: 熱平衡で 1 つの状態にいる粒子数の平均 $\frac{1}{e^{\beta\omega}\mp1}$（ボソンは $-$、フェルミオンは $+$）。
• 留数定理: 複素平面の閉じた経路に沿った積分を、内側の極での留数の和に直す定理。

1. 動機：宇宙初期と重イオン衝突

ここまでの場の量子論は、すべて真空 $|\Omega\rangle$ のまわりの理論でした。散乱実験の大部分はこの設定で記述できますが、初期宇宙（温度が W ボソンの質量程度以上）や重イオン衝突で作られるクォーク・グルーオン・プラズマでは、粒子が熱平衡の背景の中を伝わります。そこでの問いは「真空の S 行列」ではなく、熱平衡状態での相関関数・応答・自由エネルギーです。

この設定には便利な事実があります。統計力学の密度行列 $e^{-\beta H}$ は、時間発展 $e^{-iHt}$ を虚数の時間 $t=-i\beta$ まで進めたものです。したがって分配関数は、長さ $\beta$ の虚時間区間で周期的な経路についての経路積分になります（命題 4.2［経路積分量子化］）。温度は「Euclid 時間の円周の長さの逆数」であり、有限温度の場の理論は $S^1_\beta\times\mathbb R^3$ 上の Euclid 場の理論です。ここで $S^1_\beta$ は周囲の長さが $\beta$ の円周のことで、虚時間 $\tau$ を $0$ から $\beta$ まで進むと出発点に戻ってくる、と考えてください。空間 $\mathbb R^3$ は、この円周の各点にそれぞれ付いています。

虚時間 τ は長さ β の円周をなす。温度が高いほど円は小さい。ボソンは 1 周して元の値に戻り、フェルミオンは符号が反転して戻る

本章ではまず、この周期性の正確な形である KMS 条件を演算子の言葉で証明します。数学的には、KMS 条件は KMS 状態と熱平衡で無限自由度系の熱平衡状態の定義に使われます（定義 3.1［KMS 状態と熱平衡］）。本章はその物理側で、KMS 条件から松原形式・解析接続・揺動散逸定理・熱的質量までを導きます。単位は $\hbar=k_B=1$ です。

2. 熱平衡状態と虚時間

この節と次節では、証明を有限次元の Hilbert 空間（あるいは $e^{-\beta H}$ がトレース級の場合）で行います。場の理論では有限の箱に入れて運動量を離散化し、さらにエネルギーの上限で切った系がこれにあたり、得られた恒等式の極限として場の理論の式を読みます。

定義 2.1（熱平衡状態と虚時間発展）↗

自己共役なハミルトニアン $H$ と $\beta\gt0$ について、

$$\langle A\rangle_\beta=\frac{\mathrm{Tr}\big(e^{-\beta H}A\big)}{Z},\qquad Z=\mathrm{Tr}\,e^{-\beta H}$$

を熱平衡状態（Gibbs 状態）と呼びます。実時間の Heisenberg 演算子を $A(t)=e^{iHt}Ae^{-iHt}$、虚時間の演算子を $A(\tau)\equiv e^{H\tau}Ae^{-H\tau}$（$t=-i\tau$）と書きます。ボソン的な演算子 $A,B$ について、虚時間の時間順序積の相関関数を

$$G_{AB}(\tau)=\langle T_\tau A(\tau)B\rangle_\beta=\begin{cases}\langle A(\tau)B\rangle_\beta&(0\lt\tau\lt\beta)\\\langle BA(\tau)\rangle_\beta&(-\beta\lt\tau\lt0)\end{cases}$$

で定めます。フェルミオン的な演算子（奇数個の Fermi 場の積）どうしでは、$\tau\lt0$ の場合に符号 $-1$ を付けます。

次の定理は、熱平衡状態の相関関数には「虚時間を $\beta$ だけずらすと、演算子の順序が入れ替わる」という規則性がある、と述べています。時間を複素数に延ばすのは、この規則を式で書くための道具です。証明の中身は、トレースの巡回性を使うだけの短い計算です。

定理 2.2（KMS 条件）✓

定義 2.1 の設定で、任意の演算子 $A,B$ について次が成り立ちます。

1. $F_{AB}(t)=\langle A\,B(t)\rangle_\beta$ は $t$ の整関数に延び、$F_{AB}(t+i\beta)=\langle B(t)A\rangle_\beta$ です。
2. 虚時間の相関関数は $0\lt\tau\lt\beta$ で $G_{AB}(\tau-\beta)=\zeta\,G_{AB}(\tau)$ を満たします。ここで $\zeta=+1$（ボソン）、$\zeta=-1$（フェルミオン）です。

逆に、有限次元では 1 を満たす状態は Gibbs 状態に限ります（命題 3.3［KMS 状態と熱平衡］）。

証明（定理 2.2）

1。 有限次元では $e^{iHz}$ は任意の複素数 $z$ について定義され、$z$ の整関数です。よって $F_{AB}(z)=\frac1Z\mathrm{Tr}\big(e^{-\beta H}Ae^{iHz}Be^{-iHz}\big)$ は整関数で、$z=t+i\beta$ では $e^{iH(t+i\beta)}=e^{-\beta H}e^{iHt}$ なので、トレースの巡回性から

$$F_{AB}(t+i\beta)=\frac1Z\mathrm{Tr}\big(e^{-\beta H}A\,e^{-\beta H}B(t)e^{\beta H}\big)=\frac1Z\mathrm{Tr}\big(A\,e^{-\beta H}B(t)\big)=\frac1Z\mathrm{Tr}\big(e^{-\beta H}B(t)A\big)$$

です。

2。 $0\lt\tau\lt\beta$ では $-\beta\lt\tau-\beta\lt0$ なので、定義から $G_{AB}(\tau-\beta)=\zeta\langle BA(\tau-\beta)\rangle_\beta$ です。$A(\tau-\beta)=e^{-\beta H}A(\tau)e^{\beta H}$ を代入し巡回性を使うと

$$\langle BA(\tau-\beta)\rangle_\beta=\frac1Z\mathrm{Tr}\big(e^{-\beta H}Be^{-\beta H}A(\tau)e^{\beta H}\big)=\frac1Z\mathrm{Tr}\big(e^{-\beta H}A(\tau)B\big)=G_{AB}(\tau)$$

です。

∎

KMS 条件は「熱平衡では、$B$ のあとに $A$ を測る相関と $A$ のあとに $B$ を測る相関が、虚時間 $\beta$ だけずらすと一致する」ことを言っています。無限体積の極限では $e^{-\beta H}$ が意味を失いますが、この関係は意味をもち続けるので、作用素環論では熱平衡状態の定義として採用されます（定理 3.2［KMS 状態と熱平衡］）。

注意 2.3（経路積分の境界条件）

定理 2.2 の 2 は、経路積分の境界条件として現れます。ボソンでは $Z=\mathrm{Tr}\,e^{-\beta H}$ が虚時間について周期的な経路の積分であること（命題 4.2［経路積分量子化］）と対応し、フェルミオンでは Grassmann 変数のコヒーレント状態でトレースをとると $\mathrm{Tr}\,X=\int d\bar\theta d\theta\,e^{-\bar\theta\theta}\langle-\theta|X|\theta\rangle$ の符号 $-\theta$ が現れて、反周期的な境界条件 $\psi(\beta)=-\psi(0)$ になります（Kapusta–Gale 第 2 章）。以下の計算では、経路積分の言葉では「$S^1_\beta\times\mathbb R^3$ 上の Euclid 場の理論で、ボソンは周期、フェルミオンは反周期」という規則だけを使います。

系 2.4（松原振動数）✓

$G_{AB}$ が $(-\beta,\beta)$ 上で区分的に滑らかなら、$0\lt\tau\lt\beta$ で

$$G_{AB}(\tau)=\frac1\beta\sum_{n\in\mathbb Z}e^{-i\omega_n\tau}G_{AB}(i\omega_n),\qquad G_{AB}(i\omega_n)=\int_0^\beta d\tau\,e^{i\omega_n\tau}G_{AB}(\tau)$$

（不連続点では左右の平均）で、$\omega_n=\frac{2\pi n}{\beta}$（ボソン）、$\omega_n=\frac{(2n+1)\pi}{\beta}$（フェルミオン）です。

証明（系 2.4）

定理 2.2 の 2 により、$G_{AB}$ は周期 $\beta$（ボソン）の関数、または $e^{i\pi\tau/\beta}G_{AB}(\tau)$ が周期 $\beta$ の関数（フェルミオン。$e^{i\pi(\tau-\beta)/\beta}=-e^{i\pi\tau/\beta}$ と $G(\tau-\beta)=-G(\tau)$ の符号が打ち消す）に延びます。周期 $\beta$ の区分的に滑らかな関数の Fourier 級数は $e^{-2\pi in\tau/\beta}$ で展開でき各点で収束するので、ボソンでは主張のとおり、フェルミオンでは $e^{-i\pi\tau/\beta}$ を掛け戻して振動数が $\frac{(2n+1)\pi}\beta$ にずれます。

∎

3. スペクトル表示と解析接続

虚時間の関数は計算しやすい一方、測定にかかるのは実時間の応答です。両者をつなぐのがスペクトル表示です。ここではボソン的な演算子を扱います（フェルミオンでは交換子を反交換子に、$n_B$ を $-n_F$ に置き換えます）。

次の定義のスペクトル関数 $\rho_{AB}(\omega)$ は、「エネルギー $\omega$ だけ違う 2 つの固有状態の間の遷移が、どれだけ強いか」を、温度による重みを込めて集めたものです。遅延グリーン関数は「時刻 $0$ に $B$ で系をつついたとき、時刻 $t$ に $A$ がどう応答するか」を表し、揺らぎ $S_{AB}$ は熱平衡で自発的に起きる $A$ と $B$ の相関の大きさを表します。定理の 1〜3 は、これら 3 つが同じ $\rho_{AB}$ から決まることを述べています。

定義 3.1（スペクトル関数・遅延グリーン関数・揺らぎ）↗

$H$ の固有値を $E_m$、固有ベクトルを $|m\rangle$、$A_{mn}=\langle m|A|n\rangle$ として、

$$\rho_{AB}(\omega)=\frac1Z\sum_{m,n}A_{mn}B_{nm}\big(e^{-\beta E_m}-e^{-\beta E_n}\big)\delta\big(\omega-(E_n-E_m)\big)$$

をスペクトル関数と呼びます。遅延グリーン関数を $G^R_{AB}(t)=-i\theta(t)\langle[A(t),B]\rangle_\beta$、揺らぎ（動的構造因子）を $S_{AB}(\omega)=\int dt\,e^{i\omega t}\langle A(t)B\rangle_\beta$ で定め、$G^R_{AB}(\omega)=\int dt\,e^{i\omega t}G^R_{AB}(t)$ と書きます。

定理 3.2（スペクトル表示と揺動散逸定理）✓

ボソン的な $A,B$ について次が成り立ちます。

1. $\omega_n\ne0$ なら $G_{AB}(i\omega_n)=\displaystyle\int d\omega'\frac{\rho_{AB}(\omega')}{\omega'-i\omega_n}$。$\omega_n=0$ では、右辺（$\omega'=0$ の点を除いた積分）に $\frac\beta Z\sum_{E_m=E_n}e^{-\beta E_m}A_{mn}B_{nm}$ が加わります。
2. $G^R_{AB}(\omega)=\displaystyle\int d\omega'\frac{\rho_{AB}(\omega')}{\omega-\omega'+i0}$。したがって $G^R_{AB}(\omega)=-G_{AB}(i\omega_n\to\omega+i0)$ で、$\rho_{AB}(\omega)=-\frac1\pi\mathrm{Im}\,G^R_{AA^\dagger}(\omega)$（$B=A^\dagger$ のとき）です。
3. $S_{AB}(-\omega)=e^{-\beta\omega}S_{BA}(\omega)$（詳細つり合い）、$S_{AB}(\omega)=2\pi\big(1+n_B(\omega)\big)\rho_{AB}(\omega)$（揺動散逸定理）。ここで $n_B(\omega)=\frac{1}{e^{\beta\omega}-1}$ です。

証明（定理 3.2）

固有ベクトルで挟むと $\langle A(\tau)B\rangle_\beta=\frac1Z\sum_{m,n}e^{-\beta E_m}e^{\tau(E_m-E_n)}A_{mn}B_{nm}$ です。

1。 $e^{i\omega_n\beta}=1$ なので $\int_0^\beta e^{i\omega_n\tau}e^{\tau(E_m-E_n)}d\tau=\frac{e^{\beta(E_m-E_n)}-1}{i\omega_n+E_m-E_n}$ です。$e^{-\beta E_m}$ を掛けると分子は $e^{-\beta E_n}-e^{-\beta E_m}$ で、$\omega'=E_n-E_m$ と置けば $\frac{e^{-\beta E_m}-e^{-\beta E_n}}{\omega'-i\omega_n}$ です。和を $\rho$ で書いて 1 を得ます。$E_m=E_n$ の項は、$\omega_n\ne0$ なら分子が $0$ で両辺とも寄与しません。$\omega_n=0$ では左辺の積分が $\int_0^\beta d\tau=\beta$ となり、$\rho$ には現れない項 $\frac\beta Ze^{-\beta E_m}A_{mn}B_{nm}$ が残ります（零振動数の松原成分だけに現れる、保存量に由来する項）。

2。 $\langle[A(t),B]\rangle_\beta=\frac1Z\sum A_{mn}B_{nm}(e^{-\beta E_m}-e^{-\beta E_n})e^{-i(E_n-E_m)t}=\int d\omega'\rho(\omega')e^{-i\omega't}$ です。$\int_0^\infty e^{i(\omega-\omega'+i0)t}dt=\frac{i}{\omega-\omega'+i0}$ を掛けて $-i$ 倍すると 2 の第 1 式です。1 の $i\omega_n$ を $\omega+i0$ に置き換えたものと比べると符号が逆で、虚部は $\mathrm{Im}\frac1{\omega-\omega'+i0}=-\pi\delta(\omega-\omega')$ から読みます（$B=A^\dagger$ なら $A_{mn}B_{nm}=|A_{mn}|^2$ で $\rho$ は実）。

3。 $S_{AB}(\omega)=\frac{2\pi}Z\sum e^{-\beta E_m}A_{mn}B_{nm}\delta(\omega-(E_n-E_m))$ です。$S_{AB}(-\omega)$ で和の添字 $m,n$ を入れ替えると $\frac{2\pi}Z\sum e^{-\beta E_n}B_{mn}A_{nm}\delta(\omega-(E_n-E_m))$ で、デルタ関数の台では $e^{-\beta E_n}=e^{-\beta\omega}e^{-\beta E_m}$ なので $e^{-\beta\omega}S_{BA}(\omega)$ です。同じく台の上で $e^{-\beta E_m}-e^{-\beta E_n}=e^{-\beta E_m}(1-e^{-\beta\omega})$ なので $\rho_{AB}=\frac{1-e^{-\beta\omega}}{2\pi}S_{AB}$、すなわち $S_{AB}=\frac{2\pi\rho_{AB}}{1-e^{-\beta\omega}}=2\pi(1+n_B)\rho_{AB}$ です。

∎

左辺の $S$ は熱平衡での自発的な揺らぎ、右辺の $\rho=-\frac1\pi\mathrm{Im}\,G^R$ は外場に対する応答の散逸部分です。比 $1+n_B(\omega)$ は温度だけで決まり、系の詳細によりません。$\beta\omega\ll1$ では $1+n_B\approx\frac{T}{\omega}$ となり、古典的な揺動散逸定理（Johnson–Nyquist 雑音など）に戻ります。

注意 3.3（解析接続の一意性）

離散的な点 $i\omega_n$ での値から $\omega+i0$ への解析接続は、一般には一意ではありません（ボソンの松原点 $z=i\omega_n$ では $e^{\beta z}=1$ なので、$e^{\beta z}$ を掛けても松原点での値は変わらないため）。$|z|\to\infty$ で $0$ に減衰し、実軸の外で正則という条件を課すと一意になります（Baym–Mermin 1961。Carlson の定理による）。定理 3.2 の 1 の右辺はこの条件を満たす接続を与えます。

4. 自由場と松原和

命題 4.1（自由スカラー場の熱的伝播関数）✓

質量 $m$ の自由な実スカラー場で、運動量 $\boldsymbol k$ のモードを $\phi_{\boldsymbol k}=\frac{1}{\sqrt{2\omega_k}}\big(a_{\boldsymbol k}+a^\dagger_{-\boldsymbol k}\big)$（$\omega_k=\sqrt{\boldsymbol k^2+m^2}$、箱の中で離散化）とします。熱平衡状態で $\langle a^\dagger_{\boldsymbol k}a_{\boldsymbol k}\rangle_\beta=n_B(\omega_k)$ で、$0\le\tau\le\beta$ では

$$G_{\boldsymbol k}(\tau)\equiv\langle T_\tau\phi_{\boldsymbol k}(\tau)\phi_{-\boldsymbol k}\rangle_\beta=\frac{\big(1+n_B(\omega_k)\big)e^{-\omega_k\tau}+n_B(\omega_k)e^{\omega_k\tau}}{2\omega_k},\qquad G_{\boldsymbol k}(i\omega_n)=\frac{1}{\omega_n^2+\omega_k^2}$$

です。

証明（命題 4.1）

自由場のハミルトニアンは独立な調和振動子 $\omega_k a^\dagger_{\boldsymbol k}a_{\boldsymbol k}$ の和（定理 5.1［スカラー場の正準量子化］ の箱の版）なので、Gibbs 状態はモードごとの積です。1 つの振動子では $\langle a^\dagger a\rangle=\frac{\sum_NNe^{-\beta\omega N}}{\sum_Ne^{-\beta\omega N}}=-\frac{1}{\omega}\frac{\partial}{\partial\beta}\ln\frac{1}{1-e^{-\beta\omega}}=\frac{e^{-\beta\omega}}{1-e^{-\beta\omega}}=n_B(\omega)$、$\langle aa\rangle=\langle a^\dagger a^\dagger\rangle=0$（粒子数を変える）です。$a(\tau)=e^{H\tau}ae^{-H\tau}=e^{-\omega\tau}a$、$a^\dagger(\tau)=e^{\omega\tau}a^\dagger$ なので、$\tau\gt0$ で

$$\langle\phi_{\boldsymbol k}(\tau)\phi_{-\boldsymbol k}\rangle=\frac{1}{2\omega_k}\Big(e^{-\omega_k\tau}\langle a_{\boldsymbol k}a^\dagger_{\boldsymbol k}\rangle+e^{\omega_k\tau}\langle a^\dagger_{-\boldsymbol k}a_{-\boldsymbol k}\rangle\Big)$$

で、$\langle aa^\dagger\rangle=1+n_B$ から第 1 式です。Fourier 係数は、$e^{i\omega_n\beta}=1$ と $(1+n_B)(e^{-\beta\omega}-1)=-1$、$n_B(e^{\beta\omega}-1)=1$ を使うと

$$\int_0^\beta e^{i\omega_n\tau}G_{\boldsymbol k}(\tau)d\tau=\frac1{2\omega_k}\Big[\frac{1}{\omega_k-i\omega_n}+\frac{1}{\omega_k+i\omega_n}\Big]=\frac{1}{\omega_n^2+\omega_k^2}$$

です。

∎

$\frac{1}{\omega_n^2+\boldsymbol k^2+m^2}$ は Euclid 伝播関数 $\frac{1}{k_E^2+m^2}$ の $k_4$ を $\omega_n$ に置き換えたものです。したがって有限温度の Feynman 則は、Euclid の Feynman 則で $\int\frac{dk_4}{2\pi}$ を $\frac1\beta\sum_n$ に置き換えたものになります。これを実行するのが次の公式です。

公式の発想は、和を複素平面上の積分に読み替えることです。関数 $\frac12\coth\frac{\beta z}2$ は、まさに松原振動数に対応する虚軸上の点 $z=\frac{2\pi in}\beta$ に、留数が等しい（$\frac1\beta$）極をもちます。そこで $h(z)$ にこれを掛けて大きな円周上で積分すると、虚軸上の極の留数の和（求めたい松原和）と、$h$ 自身の極の留数の和が、足して $0$ になります。したがって、無限個の項の和が、$h$ の有限個の極の計算に置き換わります。

定理 4.2（松原和の公式）✓

$h$ を $\mathbb C$ 上の有理関数で、虚軸上に極をもたず、$|z|\to\infty$ で $|h(z)|=O(|z|^{-2})$ とします。$h$ の極を $z_j$ とすると

$$\frac1\beta\sum_{n\in\mathbb Z}h\Big(\frac{2\pi in}\beta\Big)=-\sum_j\mathrm{Res}_{z=z_j}\Big[h(z)\,\frac12\coth\frac{\beta z}2\Big],\qquad \frac1\beta\sum_{n\in\mathbb Z}h\Big(\frac{(2n+1)\pi i}\beta\Big)=-\sum_j\mathrm{Res}_{z=z_j}\Big[h(z)\,\frac12\tanh\frac{\beta z}2\Big]$$

です。特に

$$\frac1\beta\sum_n\frac{1}{\omega_n^2+\omega^2}=\frac{1}{2\omega}\coth\frac{\beta\omega}2=\frac{1+2n_B(\omega)}{2\omega}\quad(\text{ボソン}),\qquad\frac1\beta\sum_n\frac{1}{\omega_n^2+\omega^2}=\frac{1-2n_F(\omega)}{2\omega}\quad(\text{フェルミオン})$$

（$n_F=\frac1{e^{\beta\omega}+1}$）です。

証明（定理 4.2）

$g(z)=\frac12\coth\frac{\beta z}2$ は $z=\frac{2\pi in}\beta$ に 1 位の極をもち、留数は $\frac12\cdot\frac{2}{\beta}=\frac1\beta$ です（$\coth w$ の $w=i\pi n$ での留数は $1$）。半径 $R_N=\frac{(2N+1)\pi}\beta$ の円 $C_N$ を考えると、$C_N$ は $g$ の極を避け、その上で $|g|$ は $N$ によらず有界です（$\coth$ は極から一定距離離れた所で有界）。仮定から $\oint_{C_N}|gh||dz|=O(R_N\cdot R_N^{-2})\to0$ です。留数定理により、$C_N$ の内部の $gh$ の留数の和は $0$ に収束し、

$$\sum_{|n|\le N}\frac1\beta h\Big(\frac{2\pi in}\beta\Big)+\sum_{|z_j|\lt R_N}\mathrm{Res}_{z_j}(gh)\to0$$

です。$N\to\infty$ で第 1 式です。フェルミオンでは $\frac12\tanh\frac{\beta z}2$ が $z=\frac{(2n+1)\pi i}\beta$ に留数 $\frac1\beta$ の極をもつので、半径 $\frac{2\pi N}\beta$ の円で同じ議論が通ります。

例の式は $h(z)=\frac{1}{\omega^2-z^2}$ で、$h(i\omega_n)=\frac{1}{\omega^2+\omega_n^2}$ です。$h$ の極 $z=\pm\omega$ での留数は $\mp\frac1{2\omega}$ なので、右辺は $-\big[-\frac1{2\omega}g(\omega)+\frac1{2\omega}g(-\omega)\big]=\frac{1}{\omega}g(\omega)=\frac1{2\omega}\coth\frac{\beta\omega}2$ です（$g$ は奇関数）。$\coth\frac x2=1+\frac{2}{e^x-1}$ から $1+2n_B$ の形です。フェルミオンは $\tanh\frac x2=1-\frac{2}{e^x+1}$ から同様です。

∎

この公式の $1+2n_B(\omega)$ の「$1$」は零温度の寄与（$\frac1\beta\sum_n\to\int\frac{dk_4}{2\pi}$ の極限で $\int\frac{dk_4}{2\pi}\frac{1}{k_4^2+\omega^2}=\frac1{2\omega}$）、$2n_B$ は熱浴の粒子による寄与です。紫外発散はすべて前者にあり、後者は $n_B$ の指数関数的な減衰のため有限です。したがって有限温度は新しい紫外発散を生まず、零温度のくりこみがそのまま使えます。

補題 4.3（ζ(2) と Bose 積分）✓

$$\sum_{n\ge1}\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}{6},\qquad\int_0^\infty\frac{x\,dx}{e^x-1}=\frac{\pi^2}{6}.$$

証明（補題 4.3）

定理 4.2 のボソンの公式で $\beta=1$ とし、両辺から $n=0$ の項 $\frac1{\omega^2}$ を引くと、$\omega_n=2\pi n$ について

$$2\sum_{n\ge1}\frac{1}{4\pi^2n^2+\omega^2}=\frac{1}{2\omega}\coth\frac\omega2-\frac{1}{\omega^2}=\frac{1}{\omega^2}\Bigl(\frac\omega2\coth\frac\omega2-1\Bigr).$$

$\omega\downarrow0$ のとき左辺の各項は単調に増加して $\frac{1}{4\pi^2n^2}$ に近づくので、単調収束定理（定理 5.2［ルベーグ積分の定義と収束定理］。和を数え上げ測度の積分とみる）から左辺は $\frac{1}{2\pi^2}\sum_{n\ge1}\frac1{n^2}$ に収束する。右辺は $x=\omega/2$ として $\frac{1}{4x^2}\bigl(x\coth x-1\bigr)=\frac{x\cosh x-\sinh x}{4x^2\sinh x}$ で、Taylor 展開 $x\cosh x-\sinh x=\frac{x^3}{3}+O(x^5)$、$\sinh x=x+O(x^3)$ から $\frac1{12}$ に収束する。よって $\sum_{n\ge1}\frac1{n^2}=\frac{2\pi^2}{12}=\frac{\pi^2}6$。積分は、$x\gt0$ で $\frac{x}{e^x-1}=\sum_{k\ge1}xe^{-kx}$（非負項の級数）に単調収束定理を使い、$\int_0^\infty xe^{-kx}dx=\frac{1}{k^2}$ を足せば得られる。

∎

例 4.4（松原和から ζ(2)）

ボソンの公式で $\omega\to0$ とします。$\coth x=\frac1x+\frac x3+O(x^3)$ から右辺は $\frac{1}{\beta\omega^2}+\frac{\beta}{12}+O(\omega^2)$ です。左辺は $n=0$ の項 $\frac{1}{\beta\omega^2}$ と、$n\ne0$ の項の和 $\frac2\beta\sum_{n\ge1}\frac{\beta^2}{4\pi^2n^2}+O(\omega^2)$ です。$\omega^0$ の係数を比べると $\frac{\beta}{2\pi^2}\sum_{n\ge1}\frac1{n^2}=\frac\beta{12}$、すなわち $\sum_{n\ge1}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ です（極限の交換の正当化は 補題 4.3 の証明）。これを使うと

$$\int_0^\infty\frac{x\,dx}{e^x-1}=\sum_{k\ge1}\int_0^\infty xe^{-kx}dx=\sum_{k\ge1}\frac1{k^2}=\frac{\pi^2}6,\qquad\int_0^\infty\frac{x\,dx}{e^x+1}=\Big(1-\frac12\Big)\frac{\pi^2}6=\frac{\pi^2}{12}$$

です（2 つ目は $\frac{1}{e^x+1}=\frac{1}{e^x-1}-\frac{2}{e^{2x}-1}$ から）。

5. 熱的質量と対称性の回復

自己エネルギー $\Sigma$ は、粒子が伝わる間に周囲の場との相互作用から受ける質量 2 乗の補正のことです。$\phi^4$ 理論の 1 ループでは、1 つの頂点から出て同じ頂点に戻る輪（タドポール）だけが現れ、その輪の中を伝わる伝播関数 $G_0(x,x)$ が補正を与えます。この伝播関数に前節の松原和を使うと、熱浴の粒子の分布 $n_B$ に比例する部分が、そのまま質量の補正になります。

定理 5.1（φ⁴ 理論の熱的質量）✓

Euclid 作用 $\int_0^\beta d\tau\int d^3x\big[\frac12(\partial\phi)^2+\frac12m^2\phi^2+\frac\lambda{4!}\phi^4\big]$ の理論で、1 ループの自己エネルギーは運動量によらず

$$\Sigma=\Sigma_{T=0}+\delta m^2(T),\qquad\delta m^2(T)=\frac\lambda2\int\frac{d^3k}{(2\pi)^3}\frac{n_B(\omega_k)}{\omega_k}$$

です。$\Sigma_{T=0}$ は零温度の（くりこみで処理される）タドポールで、$\delta m^2(T)$ は有限です。さらに $\lim_{m/T\to0}\frac{\delta m^2(T)}{T^2}=\frac{\lambda}{24}$ です。

証明（定理 5.1）

命題 2.3［Ward–高橋恒等式と Schwinger–Dyson 方程式］ の導出は Euclid 時空の形によらないので $S^1_\beta\times\mathbb R^3$ でもそのまま成り立ち、その最低次は $\Sigma=\frac\lambda2G_0(x,x)$ です。命題 4.1 と 定理 4.2 から

$$G_0(x,x)=\frac1\beta\sum_n\int\frac{d^3k}{(2\pi)^3}\frac{1}{\omega_n^2+\omega_k^2}=\int\frac{d^3k}{(2\pi)^3}\frac{1+2n_B(\omega_k)}{2\omega_k}$$

です。第 1 項は零温度のタドポール（くりこみ で扱う 2 点関数の 1 ループ補正と同じ量）、第 2 項が $\frac2\lambda\delta m^2$ です。被積分関数 $\frac{k^2n_B(\omega_k)}{\omega_k}$ は $k\to\infty$ で $e^{-\beta k}$ のように減衰し、$k\to0$ では $n_B(\omega)\le\frac{1}{\beta\omega}$ から $\frac{k^2}{\beta\omega_k^2}\le\frac1\beta$ で有界なので、積分は収束します。$k=Tx$、$\omega_k=T\sqrt{x^2+(m/T)^2}$ と置くと

$$\frac{\delta m^2}{T^2}=\frac{\lambda}{4\pi^2}\int_0^\infty\frac{x^2\,dx}{\sqrt{x^2+r^2}\,\big(e^{\sqrt{x^2+r^2}}-1\big)}\qquad(r=m/T)$$

です。被積分関数は $r$ について単調減少で $r=0$ の値 $\frac{x}{e^x-1}$（可積分）で上から抑えられるので、優収束定理と 補題 4.3 から $r\to0$ で $\frac{\lambda}{4\pi^2}\cdot\frac{\pi^2}{6}=\frac{\lambda}{24}$ に収束します。

∎

熱浴の粒子との前方散乱が、伝播する粒子に有効質量を与えます。プラズマ中の光子が質量（プラズマ振動数）をもつのと同じ現象です。

例 5.2（高温での対称性の回復）

$m^2=-\mu^2\lt0$、すなわちポテンシャル $V(\phi)=-\frac12\mu^2\phi^2+\frac{\lambda}{4!}\phi^4$ の理論では、零温度で $\phi\mapsto-\phi$ 対称性が自発的に破れ、$\langle\phi\rangle^2=6\mu^2/\lambda$ です（ゲージ理論と自発的対称性の破れ）。高温では原点のまわりの有効な質量の 2 乗が 定理 5.1 により $m^2_{\mathrm{eff}}(T)=-\mu^2+\frac{\lambda T^2}{24}$ になり（$T\gg\mu$ で主要項）、$T\gt T_c=\sqrt{24\mu^2/\lambda}$ で正になります。原点が安定になり、対称性が回復します（Kirzhnits–Linde、Weinberg、Dolan–Jackiw 1974）。標準模型の Higgs 場でも同じ機構で、初期宇宙の高温では電弱対称性が回復していたと考えられています。転移の次数（1 次か連続か）を決めるには、$n=0$ の松原モードからくる赤外の寄与（$\propto\lambda T\,m_{\mathrm{eff}}$）を含めた解析が必要で、ゲージ理論では摂動論が適用限界に達します（Linde の赤外問題）。

温度を上げたとき、原点のまわりの質量 2 乗 $m^2_{\mathrm{eff}}(T)$ が負から正に変わるにつれて二重井戸が浅くなり、$T_c$ で 1 つの井戸になる様子を見てみましょう。

$m_{\mathrm{eff}}^2(T)=-{\mu }^2+\lambda T^2/24$ を使ったポテンシャル $V=\frac{1}{2}{m}_{\mathrm{eff}}^2{\varphi }^2+\frac{\lambda }{4!}{\varphi }^4$（$\varphi$ は $v=\sqrt{6{\mu }^2/\lambda }$ で規格化）。温度を上げると 2 つの谷が原点に寄り、$T_c$ で合流して対称性が回復する。

注意 5.3（高温での次元の縮小）

命題 4.1 の松原モードのうち $n\ne0$ のものは $\omega_n^2\ge(2\pi T)^2$ の質量をもつので、$T$ より十分低い運動量の物理には効かず、熱的質量などの形で有効理論の係数に吸収されます。残る $n=0$ のモードは $\tau$ によらない 3 次元の場で、高温の 4 次元理論は 3 次元の Euclid 理論で記述されます（次元の縮小）。フェルミオンには $n=0$ のモードがないので（最小の $|\omega_n|$ は $\pi T$）、高温では完全に切り離されます。

6. 演習

演習 6.1易

定理 4.2 のフェルミオンの公式 $\frac1\beta\sum_n\frac{1}{\omega_n^2+\omega^2}=\frac{1-2n_F(\omega)}{2\omega}$（$\omega_n=\frac{(2n+1)\pi}\beta$）を $\omega\to0$ で調べ、$\sum_{n\ge0}\frac{1}{(2n+1)^2}=\frac{\pi^2}8$ を導いてください。

解答

右辺は $\frac{1}{2\omega}\tanh\frac{\beta\omega}2=\frac{1}{2\omega}\big(\frac{\beta\omega}2+O(\omega^3)\big)\to\frac\beta4$ です。左辺は $\omega\to0$ で $\frac1\beta\sum_{n\in\mathbb Z}\frac{\beta^2}{(2n+1)^2\pi^2}=\frac{2\beta}{\pi^2}\sum_{n\ge0}\frac1{(2n+1)^2}$ です（$n$ と $-n-1$ が同じ値）。等しいと置いて $\sum_{n\ge0}\frac{1}{(2n+1)^2}=\frac{\pi^2}8$ です。これは $\sum\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6$ の奇数部分 $(1-\frac14)\frac{\pi^2}6$ と一致します。

演習 6.2易

2 準位系 $H=\mathrm{diag}(0,\Delta)$ と $A=\sigma^-=|0\rangle\langle1|$、$B=A^\dagger$ について $S_{AB}(\omega)$ と $S_{BA}(\omega)$ を求め、定理 3.2 の詳細つり合い $S_{BA}(-\omega)=e^{-\beta\omega}S_{AB}(\omega)$ を確かめてください。物理的な意味も述べてください。

解答

$A_{01}=1$ だけが $0$ でないので、$S_{AB}(\omega)=\frac{2\pi}Ze^{-\beta\cdot0}\delta(\omega-\Delta)=\frac{2\pi}{Z}\delta(\omega-\Delta)$、$S_{BA}(\omega)=\frac{2\pi}Ze^{-\beta\Delta}\delta(\omega+\Delta)$ です（$Z=1+e^{-\beta\Delta}$）。$S_{BA}(-\omega)=\frac{2\pi}Ze^{-\beta\Delta}\delta(\omega-\Delta)=e^{-\beta\omega}S_{AB}(\omega)$ で成り立ちます（$\delta$ の台で $\omega=\Delta$）。$S_{AB}(\omega)$ は系がエネルギー $\omega$ を受け取る（下の準位から励起される）過程、$S_{BA}(-\omega)$ は同じエネルギーを放出する過程の強さで、比 $e^{-\beta\omega}$ は 2 つの準位の占有確率の比です。熱浴と接した系の遷移率がこの比を満たすことが、熱平衡が保たれる条件（詳細つり合い）です。

演習 6.3標準

質量 $0$ の Dirac フェルミオン（電荷 $e$）の気体で、化学ポテンシャル $\mu$ の電荷密度は $n(\mu)=2\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\big[n_F(p-\mu)-n_F(p+\mu)\big]$（因子 $2$ はスピン）です。静的な電場の遮蔽長の逆数の 2 乗（Debye 質量）が $m_D^2=e^2\frac{\partial n}{\partial\mu}\big|_{\mu=0}$ で与えられることを認めて、$m_D^2=\frac{e^2T^2}3$ を示してください。

解答

$\frac{\partial}{\partial\mu}\big[n_F(p-\mu)-n_F(p+\mu)\big]_{\mu=0}=-2n_F'(p)$ なので $\frac{\partial n}{\partial\mu}\big|_0=4\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\big(-n_F'(p)\big)=\frac{2}{\pi^2}\int_0^\infty p^2\big(-n_F'(p)\big)dp$ です。部分積分で $\int_0^\infty p^2(-n_F')dp=2\int_0^\infty p\,n_F(p)dp=2T^2\int_0^\infty\frac{x\,dx}{e^x+1}=\frac{\pi^2T^2}{6}$（例 4.4）です。よって $\frac{\partial n}{\partial\mu}\big|_0=\frac{2}{\pi^2}\cdot\frac{\pi^2T^2}6=\frac{T^2}3$、$m_D^2=\frac{e^2T^2}3$ です。Coulomb ポテンシャルは $\frac{e^{-m_Dr}}{r}$ に遮蔽されます。

参考文献

• J. I. Kapusta, C. Gale『Finite-Temperature Field Theory: Principles and Applications』2nd ed., Cambridge University Press、2006 — 第 1〜3 章（虚時間形式、松原和）、第 6 章（熱的質量・Debye 遮蔽）。
• M. Le Bellac『Thermal Field Theory』Cambridge University Press、1996 — 第 2〜3 章、第 6 章（hard thermal loop）。
• M. Laine, A. Vuorinen『Basics of Thermal Field Theory』Lecture Notes in Physics 925, Springer、2016 — 第 1〜2 章、第 6 章（次元の縮小）。arXiv:1701.01554。
• T. Matsubara, “A new approach to quantum-statistical mechanics”, Progress of Theoretical Physics 14 (1955), 351.
• R. Kubo, “Statistical-mechanical theory of irreversible processes. I”, Journal of the Physical Society of Japan 12 (1957), 570. P. C. Martin, J. Schwinger, “Theory of many-particle systems. I”, Physical Review 115 (1959), 1342.
• L. Dolan, R. Jackiw, “Symmetry behavior at finite temperature”, Physical Review D 9 (1974), 3320. S. Weinberg, “Gauge and global symmetries at high temperature”, Physical Review D 9 (1974), 3357.