ふつうの量子力学では、系の状態を 1 本のベクトルで表しました。ところが、ランダムに準備された粒子や、別の粒子と強く結びついた粒子の片方だけを見る場合、1 本のベクトルでは状態を書けません。この記事では、そうした状態を表す道具（密度行列）、より一般的な測定の表し方、離れた 2 地点の測定結果の相関が古典的な説明を超えること、環境の影響で状態が変わっていく様子を順に見ます。読み終えると、「全体は完全にわかっているのに、部分については何もわからない」という状況を式で説明できるようになります。
状態ベクトルで書けない状態、つまり統計的な混合や、他の系と相関した部分系の状態は、トレース 1 の半正定値行列 ρ \rho ρ A A A t r ( ρ A ) \mathrm{tr}(\rho A) tr ( ρ A ) ρ ↦ U ρ U † \rho\mapsto U\rho U^\dagger ρ ↦ U ρ U †
合成系 A + B A+B A + B B B B A A A 部分トレース ρ A = t r B ρ A B \rho_A=\mathrm{tr}_B\rho_{AB} ρ A = tr B ρ A B 混合状態 になります。Schmidt 分解は、ρ A \rho_A ρ A ρ B \rho_B ρ B エンタングルメント （量子もつれ）の強さをエントロピーで測れるようにします。
射影測定以外の測定は POVM { E i } \{E_i\} { E i } E i ≥ 0 E_i\ge0 E i ≥ 0 ∑ E i = 1 \sum E_i=1 ∑ E i = 1
局所的な隠れた変数（粒子対があらかじめ共有している、測定結果を決める仕込み）で説明できる相関は CHSH の量 S S S ∣ S ∣ ≤ 2 |S|\le2 ∣ S ∣ ≤ 2 ∣ S ∣ ≤ 2 2 |S|\le2\sqrt2 ∣ S ∣ ≤ 2 2
環境と相互作用する系の時間発展は Lindblad 方程式で書かれます。この方程式が与える時間発展は、トレースを保存し、完全正値（部分系に対する意味でも正）であることを証明できます。
半正定値 : どのベクトル ∣ ϕ ⟩ |\phi\rangle ∣ ϕ ⟩ ⟨ ϕ ∣ M ∣ ϕ ⟩ ≥ 0 \langle\phi|M|\phi\rangle\ge0 ⟨ ϕ ∣ M ∣ ϕ ⟩ ≥ 0 スペクトル分解 : エルミート行列を、固有値と固有ベクトルの射影の和 ∑ k λ k ∣ k ⟩ ⟨ k ∣ \sum_k\lambda_k|k\rangle\langle k| ∑ k λ k ∣ k ⟩ ⟨ k ∣ 演算子と物理量 パウリ行列とスピン 1/2 : 2 × 2 2\times2 2 × 2 σ x , σ y , σ z \sigma_x,\sigma_y,\sigma_z σ x , σ y , σ z 角運動量とスピン テンソル積 : 2 つの系をあわせた系の状態空間 H A ⊗ H B \mathcal{H}_A\otimes\mathcal{H}_B H A ⊗ H B 交換子とノルム : 交換子は [ A , B ] = A B − B A [A,B]=AB-BA [ A , B ] = A B − B A これまで、系の状態は状態ベクトル ∣ ψ ⟩ |\psi\rangle ∣ ψ ⟩
第一に、準備が不完全 な場合です。炉から出る原子の向きはランダムで、「上向き確率 1 2 \frac12 2 1 1 2 \frac12 2 1 ∣ ↑ ⟩ + ∣ ↓ ⟩ |\!\uparrow\rangle+|\!\downarrow\rangle ∣ ↑ ⟩ + ∣ ↓ ⟩ x x x
第二に、他の系とつながっている 場合です。2 つのスピンの一重項 では全体は純粋状態ですが、片方だけを見ると、向きはまったくでたらめです。全体について知っていることが多すぎて、部分については何も言えない、という奇妙な構造です。
第三に、測定そのもの です。射影測定（固有状態への射影）しか許さないと、現実の検出器の働きが説明しきれません。
この章では、まず状態の一般化（密度行列）、次に部分系の状態（部分トレース）、測定の一般化（POVM）を導入し、その上で量子相関が古典的な説明を超えること（Bell–CHSH 不等式）と、環境の影響で状態が変化すること（Lindblad 方程式）を見ます。数学は有限次元ヒルベルト空間に限り、無限次元への拡張はテンソル積に関する章 にあります。
定義 2.1 （密度行列 ） ↗
ヒルベルト空間 H \mathcal{H} H ρ \rho ρ 密度行列 （統計演算子）であるとは、(1) ρ ≥ 0 \rho\ge0 ρ ≥ 0 ∣ ϕ ⟩ |\phi\rangle ∣ ϕ ⟩ ⟨ ϕ ∣ ρ ∣ ϕ ⟩ ≥ 0 \langle\phi|\rho|\phi\rangle\ge0 ⟨ ϕ ∣ ρ ∣ ϕ ⟩ ≥ 0 t r ρ = 1 \mathrm{tr}\,\rho=1 tr ρ = 1 ∣ ψ ⟩ |\psi\rangle ∣ ψ ⟩ ρ = ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ \rho=|\psi\rangle\langle\psi| ρ = ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ 純粋状態 、そうでないとき 混合状態 という。
ρ \rho ρ ρ = ∑ k p k ∣ k ⟩ ⟨ k ∣ \rho=\sum_kp_k|k\rangle\langle k| ρ = ∑ k p k ∣ k ⟩ ⟨ k ∣ p k ≥ 0 p_k\ge0 p k ≥ 0 ∑ k p k = 1 \sum_kp_k=1 ∑ k p k = 1 どんな密度行列も、純粋状態の確率的な混合 です。観測量 A A A
⟨ A ⟩ ρ = t r ( ρ A ) = ∑ k p k ⟨ k ∣ A ∣ k ⟩ \langle A\rangle_\rho=\mathrm{tr}(\rho A)=\sum_kp_k\langle k|A|k\rangle ⟨ A ⟩ ρ = tr ( ρ A ) = k ∑ p k ⟨ k ∣ A ∣ k ⟩ で、ρ = ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ \rho=|\psi\rangle\langle\psi| ρ = ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ ⟨ ψ ∣ A ∣ ψ ⟩ \langle\psi|A|\psi\rangle ⟨ ψ ∣ A ∣ ψ ⟩
命題 2.2 （純粋さの判定 ） ✓
密度行列 ρ \rho ρ 0 < t r ρ 2 ≤ 1 0<\mathrm{tr}\,\rho^2\le1 0 < tr ρ 2 ≤ 1 t r ρ 2 = 1 \mathrm{tr}\,\rho^2=1 tr ρ 2 = 1 ρ \rho ρ
証明（命題 2.2） スペクトル分解で t r ρ 2 = ∑ k p k 2 \mathrm{tr}\,\rho^2=\sum_kp_k^2 tr ρ 2 = ∑ k p k 2 0 ≤ p k ≤ 1 0\le p_k\le1 0 ≤ p k ≤ 1 p k 2 ≤ p k p_k^2\le p_k p k 2 ≤ p k ∑ p k 2 ≤ ∑ p k = 1 \sum p_k^2\le\sum p_k=1 ∑ p k 2 ≤ ∑ p k = 1 k k k p k ∈ { 0 , 1 } p_k\in\{0,1\} p k ∈ { 0 , 1 } p k = 1 p_k=1 p k = 1 k k k ρ \rho ρ
∎ 例 2.3 （量子ビットの Bloch 球 ）
H = C 2 \mathcal{H}=\mathbb{C}^2 H = C 2 { 1 , σ x , σ y , σ z } \{1,\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z\} { 1 , σ x , σ y , σ z } ρ = 1 2 ( 1 + r ⋅ σ ) \rho=\tfrac12(1+\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{\sigma}) ρ = 2 1 ( 1 + r ⋅ σ ) r ∈ R 3 \boldsymbol{r}\in\mathbb{R}^3 r ∈ R 3 命題 5.2［角運動量とスピン］ より ( r ⋅ σ ) 2 = ∣ r ∣ 2 (\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{\sigma})^2=|\boldsymbol{r}|^2 ( r ⋅ σ ) 2 = ∣ r ∣ 2 1 2 ( 1 ± ∣ r ∣ ) \tfrac12(1\pm|\boldsymbol{r}|) 2 1 ( 1 ± ∣ r ∣ ) ρ ≥ 0 \rho\ge0 ρ ≥ 0 ∣ r ∣ ≤ 1 |\boldsymbol{r}|\le1 ∣ r ∣ ≤ 1 単位球 ∣ r ∣ ≤ 1 |\boldsymbol{r}|\le1 ∣ r ∣ ≤ 1 ∣ r ∣ = 1 |\boldsymbol{r}|=1 ∣ r ∣ = 1 r = 0 \boldsymbol{r}=0 r = 0 ρ = 1 2 1 \rho=\tfrac121 ρ = 2 1 1 t r ρ 2 = 1 2 ( 1 + ∣ r ∣ 2 ) \mathrm{tr}\,\rho^2=\tfrac12(1+|\boldsymbol{r}|^2) tr ρ 2 = 2 1 ( 1 + ∣ r ∣ 2 ) ∣ ↑ ⟩ , ∣ ↓ ⟩ |\!\uparrow\rangle,|\!\downarrow\rangle ∣ ↑ ⟩ , ∣ ↓ ⟩ 1 2 \tfrac12 2 1 ∣ → ⟩ , ∣ ← ⟩ |\!\rightarrow\rangle,|\!\leftarrow\rangle ∣ → ⟩ , ∣ ← ⟩ 1 2 \tfrac12 2 1 ρ = 1 2 1 \rho=\tfrac121 ρ = 2 1 1 同じ密度行列を与える混合の仕方は一意でありません。
ユニタリ時間発展 ∣ ψ ⟩ ↦ U ∣ ψ ⟩ |\psi\rangle\mapsto U|\psi\rangle ∣ ψ ⟩ ↦ U ∣ ψ ⟩ ρ ↦ U ρ U † \rho\mapsto U\rho U^\dagger ρ ↦ U ρ U † ρ ( t ) = U ( t ) ρ ( 0 ) U ( t ) † \rho(t)=U(t)\rho(0)U(t)^\dagger ρ ( t ) = U ( t ) ρ ( 0 ) U ( t ) † i ℏ ρ ˙ = [ H , ρ ] i\hbar\,\dot\rho=[H,\rho] i ℏ ρ ˙ = [ H , ρ ]
2 つの系 A , B A,B A , B H A ⊗ H B \mathcal{H}_A\otimes\mathcal{H}_B H A ⊗ H B A A A X X X X ⊗ 1 B X\otimes1_B X ⊗ 1 B
定義 3.1 （部分トレース ） ↗
H A ⊗ H B \mathcal{H}_A\otimes\mathcal{H}_B H A ⊗ H B Z Z Z B B B t r B Z \mathrm{tr}_BZ tr B Z H B \mathcal{H}_B H B { ∣ f j ⟩ } \{|f_j\rangle\} { ∣ f j ⟩}
t r B Z = ∑ j ( 1 A ⊗ ⟨ f j ∣ ) Z ( 1 A ⊗ ∣ f j ⟩ ) \mathrm{tr}_BZ=\sum_j(1_A\otimes\langle f_j|)\,Z\,(1_A\otimes|f_j\rangle) tr B Z = j ∑ ( 1 A ⊗ ⟨ f j ∣ ) Z ( 1 A ⊗ ∣ f j ⟩) で定める。Z = X ⊗ Y Z=X\otimes Y Z = X ⊗ Y t r B ( X ⊗ Y ) = X t r Y \mathrm{tr}_B(X\otimes Y)=X\,\mathrm{tr}\,Y tr B ( X ⊗ Y ) = X tr Y
定理 3.2 （部分トレースは局所観測量の期待値を再現する ） ✓
(1) t r B Z \mathrm{tr}_BZ tr B Z { ∣ f j ⟩ } \{|f_j\rangle\} { ∣ f j ⟩} H A \mathcal{H}_A H A W W W H A \mathcal{H}_A H A X X X t r ( W X ) = t r ( Z ( X ⊗ 1 B ) ) \mathrm{tr}(WX)=\mathrm{tr}\bigl(Z(X\otimes1_B)\bigr) tr ( W X ) = tr ( Z ( X ⊗ 1 B ) ) ρ A B \rho_{AB} ρ A B ρ A : = t r B ρ A B \rho_A:=\mathrm{tr}_B\rho_{AB} ρ A := tr B ρ A B A A A X X X t r ( ρ A B ( X ⊗ 1 B ) ) = t r ( ρ A X ) \mathrm{tr}\bigl(\rho_{AB}(X\otimes1_B)\bigr)=\mathrm{tr}(\rho_AX) tr ( ρ A B ( X ⊗ 1 B ) ) = tr ( ρ A X )
証明（定理 3.2） (1) H A \mathcal{H}_A H A { ∣ e i ⟩ } \{|e_i\rangle\} { ∣ e i ⟩}
t r ( t r B ( Z ) X ) = ∑ i , j ⟨ e i ∣ X ( 1 ⊗ ⟨ f j ∣ ) Z ( 1 ⊗ ∣ f j ⟩ ) ∣ e i ⟩ = ∑ i , j ⟨ e i f j ∣ ( X ⊗ 1 ) Z ∣ e i f j ⟩ = t r ( ( X ⊗ 1 ) Z ) \mathrm{tr}(\mathrm{tr}_B(Z)\,X)=\sum_{i,j}\langle e_i|X(1\otimes\langle f_j|)Z(1\otimes|f_j\rangle)|e_i\rangle=\sum_{i,j}\langle e_if_j|(X\otimes1)Z|e_if_j\rangle=\mathrm{tr}\bigl((X\otimes1)Z\bigr) tr ( tr B ( Z ) X ) = i , j ∑ ⟨ e i ∣ X ( 1 ⊗ ⟨ f j ∣ ) Z ( 1 ⊗ ∣ f j ⟩) ∣ e i ⟩ = i , j ∑ ⟨ e i f j ∣ ( X ⊗ 1 ) Z ∣ e i f j ⟩ = tr ( ( X ⊗ 1 ) Z ) です。右辺は基底によらないので、すべての X X X t r ( W X ) \mathrm{tr}(WX) tr ( W X ) W W W t r ( W X ) = 0 \mathrm{tr}(WX)=0 tr ( W X ) = 0 X X X X = W † X=W^\dagger X = W † t r ( W W † ) = 0 \mathrm{tr}(WW^\dagger)=0 tr ( W W † ) = 0 W = 0 W=0 W = 0 ρ A ≥ 0 \rho_A\ge0 ρ A ≥ 0 ∣ ϕ ⟩ ∈ H A |\phi\rangle\in\mathcal{H}_A ∣ ϕ ⟩ ∈ H A ⟨ ϕ ∣ ρ A ∣ ϕ ⟩ = ∑ j ⟨ ϕ f j ∣ ρ A B ∣ ϕ f j ⟩ ≥ 0 \langle\phi|\rho_A|\phi\rangle=\sum_j\langle\phi f_j|\rho_{AB}|\phi f_j\rangle\ge0 ⟨ ϕ ∣ ρ A ∣ ϕ ⟩ = ∑ j ⟨ ϕ f j ∣ ρ A B ∣ ϕ f j ⟩ ≥ 0 t r ρ A = t r ρ A B = 1 \mathrm{tr}\rho_A=\mathrm{tr}\rho_{AB}=1 tr ρ A = tr ρ A B = 1 X = 1 X=1 X = 1
∎ したがって、A A A A A A ρ A \rho_A ρ A ρ A B = ∣ Φ ⟩ ⟨ Φ ∣ \rho_{AB}=|\Phi\rangle\langle\Phi| ρ A B = ∣Φ ⟩ ⟨ Φ∣ ∣ Φ ⟩ = 1 2 ( ∣ 00 ⟩ + ∣ 11 ⟩ ) |\Phi\rangle=\tfrac{1}{\sqrt2}(|00\rangle+|11\rangle) ∣Φ ⟩ = 2 1 ( ∣00 ⟩ + ∣11 ⟩) ρ A B = 1 2 ∑ i , j ∈ { 0 , 1 } ∣ i ⟩ ⟨ j ∣ ⊗ ∣ i ⟩ ⟨ j ∣ \rho_{AB}=\tfrac12\sum_{i,j\in\{0,1\}}|i\rangle\langle j|\otimes|i\rangle\langle j| ρ A B = 2 1 ∑ i , j ∈ { 0 , 1 } ∣ i ⟩ ⟨ j ∣ ⊗ ∣ i ⟩ ⟨ j ∣ B B B t r ∣ i ⟩ ⟨ j ∣ = δ i j \mathrm{tr}\,|i\rangle\langle j|=\delta_{ij} tr ∣ i ⟩ ⟨ j ∣ = δ ij i ≠ j i\ne j i = j t r B ρ A B = 1 2 ( ∣ 0 ⟩ ⟨ 0 ∣ + ∣ 1 ⟩ ⟨ 1 ∣ ) = 1 2 1 \mathrm{tr}_B\rho_{AB}=\tfrac12(|0\rangle\langle0|+|1\rangle\langle1|)=\tfrac121 tr B ρ A B = 2 1 ( ∣0 ⟩ ⟨ 0∣ + ∣1 ⟩ ⟨ 1∣ ) = 2 1 1
定理 3.3 （Schmidt 分解 ） ✓
∣ Ψ ⟩ ∈ H A ⊗ H B |\Psi\rangle\in\mathcal{H}_A\otimes\mathcal{H}_B ∣Ψ ⟩ ∈ H A ⊗ H B { ∣ a k ⟩ } ⊂ H A \{|a_k\rangle\}\subset\mathcal{H}_A { ∣ a k ⟩} ⊂ H A { ∣ b k ⟩ } ⊂ H B \{|b_k\rangle\}\subset\mathcal{H}_B { ∣ b k ⟩} ⊂ H B s k > 0 s_k>0 s k > 0 ∑ k s k 2 = 1 \sum_ks_k^2=1 ∑ k s k 2 = 1
∣ Ψ ⟩ = ∑ k = 1 r s k ∣ a k ⟩ ⊗ ∣ b k ⟩ |\Psi\rangle=\sum_{k=1}^rs_k\,|a_k\rangle\otimes|b_k\rangle ∣Ψ ⟩ = k = 1 ∑ r s k ∣ a k ⟩ ⊗ ∣ b k ⟩ と書ける（r r r ρ A = ∑ k s k 2 ∣ a k ⟩ ⟨ a k ∣ \rho_A=\sum_ks_k^2|a_k\rangle\langle a_k| ρ A = ∑ k s k 2 ∣ a k ⟩ ⟨ a k ∣ ρ B = ∑ k s k 2 ∣ b k ⟩ ⟨ b k ∣ \rho_B=\sum_ks_k^2|b_k\rangle\langle b_k| ρ B = ∑ k s k 2 ∣ b k ⟩ ⟨ b k ∣ ρ A \rho_A ρ A ρ B \rho_B ρ B
証明（定理 3.3） 基底展開 ∣ Ψ ⟩ = ∑ i j C i j ∣ e i ⟩ ∣ f j ⟩ |\Psi\rangle=\sum_{ij}C_{ij}|e_i\rangle|f_j\rangle ∣Ψ ⟩ = ∑ ij C ij ∣ e i ⟩ ∣ f j ⟩ C C C 特異値分解（定理 7.2）［コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス］ を使うと C i j = ∑ k U i k s k V j k ‾ C_{ij}=\sum_kU_{ik}s_k\overline{V_{jk}} C ij = ∑ k U ik s k V j k U , V U,V U , V ∣ a k ⟩ = ∑ i U i k ∣ e i ⟩ |a_k\rangle=\sum_iU_{ik}|e_i\rangle ∣ a k ⟩ = ∑ i U ik ∣ e i ⟩ ∣ b k ⟩ = ∑ j V j k ‾ ∣ f j ⟩ |b_k\rangle=\sum_j\overline{V_{jk}}|f_j\rangle ∣ b k ⟩ = ∑ j V j k ∣ f j ⟩ ρ A B = ∣ Ψ ⟩ ⟨ Ψ ∣ \rho_{AB}=|\Psi\rangle\langle\Psi| ρ A B = ∣Ψ ⟩ ⟨ Ψ∣ B B B ⟨ b k ∣ b k ′ ⟩ = δ k k ′ \langle b_k|b_{k'}\rangle=\delta_{kk'} ⟨ b k ∣ b k ′ ⟩ = δ k k ′ ρ A = ∑ k s k 2 ∣ a k ⟩ ⟨ a k ∣ \rho_A=\sum_ks_k^2|a_k\rangle\langle a_k| ρ A = ∑ k s k 2 ∣ a k ⟩ ⟨ a k ∣ A A A B B B ρ B \rho_B ρ B
∎ 系 3.4 （積状態の判定とエンタングルメント・エントロピー ） ✓
純粋状態 ∣ Ψ ⟩ |\Psi\rangle ∣Ψ ⟩ ∣ Ψ ⟩ = ∣ ϕ A ⟩ ⊗ ∣ ϕ B ⟩ |\Psi\rangle=|\phi_A\rangle\otimes|\phi_B\rangle ∣Ψ ⟩ = ∣ ϕ A ⟩ ⊗ ∣ ϕ B ⟩ 積状態 ）。(b) Schmidt ランクが 1。(c) ρ A \rho_A ρ A S ( ρ A ) : = − t r ( ρ A ln ρ A ) = 0 S(\rho_A):=-\mathrm{tr}(\rho_A\ln\rho_A)=0 S ( ρ A ) := − tr ( ρ A ln ρ A ) = 0 エンタングルしている という。このとき S ( ρ A ) = S ( ρ B ) = − ∑ k s k 2 ln s k 2 S(\rho_A)=S(\rho_B)=-\sum_ks_k^2\ln s_k^2 S ( ρ A ) = S ( ρ B ) = − ∑ k s k 2 ln s k 2 ln min ( d A , d B ) \ln\min(d_A,d_B) ln min ( d A , d B ) s k 2 s_k^2 s k 2 最大エンタングル状態 ）に限る。
証明（系 3.4） (a)⇔(b) は Schmidt 分解の形から、(b)⇔(c) は ρ A = ∑ s k 2 ∣ a k ⟩ ⟨ a k ∣ \rho_A=\sum s_k^2|a_k\rangle\langle a_k| ρ A = ∑ s k 2 ∣ a k ⟩ ⟨ a k ∣ 命題 2.2 による。(c)⇔(d) は S = − ∑ p k ln p k S=-\sum p_k\ln p_k S = − ∑ p k ln p k { p k } \{p_k\} { p k } ( 1 , 0 , … , 0 ) (1,0,\ldots,0) ( 1 , 0 , … , 0 ) 0 0 0 S ( ρ A ) = S ( ρ B ) S(\rho_A)=S(\rho_B) S ( ρ A ) = S ( ρ B ) p k p_k p k ln r \ln r ln r − x ln x -x\ln x − x ln x
∎ 例 3.5 （Bell 状態 ）
∣ Φ + ⟩ = 1 2 ( ∣ 00 ⟩ + ∣ 11 ⟩ ) |\Phi^+\rangle=\tfrac{1}{\sqrt2}(|00\rangle+|11\rangle) ∣ Φ + ⟩ = 2 1 ( ∣00 ⟩ + ∣11 ⟩) s 1 = s 2 = 1 / 2 s_1=s_2=1/\sqrt2 s 1 = s 2 = 1/ 2 ρ A = ρ B = 1 2 1 \rho_A=\rho_B=\tfrac121 ρ A = ρ B = 2 1 1 S = ln 2 S=\ln2 S = ln 2 ∣ ψ − ⟩ = 1 2 ( ∣ ↑ ↓ ⟩ − ∣ ↓ ↑ ⟩ ) |\psi^-\rangle=\tfrac{1}{\sqrt2}(|\!\uparrow\downarrow\rangle-|\!\downarrow\uparrow\rangle) ∣ ψ − ⟩ = 2 1 ( ∣ ↑↓ ⟩ − ∣ ↓↑ ⟩) ρ A = ρ B = 1 2 1 \rho_A=\rho_B=\tfrac121 ρ A = ρ B = 2 1 1
逆向きの構成もあります。任意の混合状態 ρ A = ∑ p k ∣ a k ⟩ ⟨ a k ∣ \rho_A=\sum p_k|a_k\rangle\langle a_k| ρ A = ∑ p k ∣ a k ⟩ ⟨ a k ∣ B B B ∣ Ψ ⟩ = ∑ k p k ∣ a k ⟩ ∣ b k ⟩ |\Psi\rangle=\sum_k\sqrt{p_k}|a_k\rangle|b_k\rangle ∣Ψ ⟩ = ∑ k p k ∣ a k ⟩ ∣ b k ⟩ 純粋化 ）の部分トレースとして得られます。混合状態は、見えない系とのエンタングルメントの影と見ることもできます。
射影測定では、観測量 A = ∑ i a i P i A=\sum_ia_iP_i A = ∑ i a i P i a i a_i a i t r ( ρ P i ) \mathrm{tr}(\rho P_i) tr ( ρ P i ) P i P_i P i P i P j = δ i j P i P_iP_j=\delta_{ij}P_i P i P j = δ ij P i
定義 4.1 （POVM ） ↗
有限個の半正定値作用素 E 1 , … , E n ≥ 0 E_1,\ldots,E_n\ge0 E 1 , … , E n ≥ 0 ∑ i E i = 1 \sum_iE_i=1 ∑ i E i = 1 POVM （正作用素値測度）という。測定で結果 i i i p i = t r ( ρ E i ) p_i=\mathrm{tr}(\rho E_i) p i = tr ( ρ E i ) E i E_i E i
p i ≥ 0 p_i\ge0 p i ≥ 0 ∑ p i = 1 \sum p_i=1 ∑ p i = 1 E i E_i E i
例 4.2 （量子ビットの 3 値 POVM（トライン） ）
Bloch 球の同じ平面上で 120 ∘ 120^\circ 12 0 ∘ n 1 , n 2 , n 3 \boldsymbol{n}_1,\boldsymbol{n}_2,\boldsymbol{n}_3 n 1 , n 2 , n 3 ∑ k n k = 0 \sum_k\boldsymbol{n}_k=0 ∑ k n k = 0 E k = 2 3 ⋅ 1 2 ( 1 + n k ⋅ σ ) E_k=\tfrac23\cdot\tfrac12(1+\boldsymbol{n}_k\cdot\boldsymbol{\sigma}) E k = 3 2 ⋅ 2 1 ( 1 + n k ⋅ σ ) E k ≥ 0 E_k\ge0 E k ≥ 0 ∑ k E k = 1 3 ( 3 ⋅ 1 + 0 ) = 1 \sum_kE_k=\tfrac13(3\cdot1+0)=1 ∑ k E k = 3 1 ( 3 ⋅ 1 + 0 ) = 1 E k E_k E k n k \boldsymbol{n}_k n k k k k 2 3 ⋅ 1 2 ( 1 + 1 ) = 2 3 \tfrac23\cdot\tfrac12(1+1)=\tfrac23 3 2 ⋅ 2 1 ( 1 + 1 ) = 3 2 1 6 \tfrac16 6 1
POVM は特殊な道具に見えますが、じつは より大きな系での通常の測定に過ぎません 。
定理 4.3 （Naimark の拡張定理（有限次元・有限個の結果） ） ✓
H \mathcal{H} H { E i } i = 1 n \{E_i\}_{i=1}^n { E i } i = 1 n K = C n \mathcal{K}=\mathbb{C}^n K = C n U U U H ⊗ K \mathcal{H}\otimes\mathcal{K} H ⊗ K ρ \rho ρ
t r ( ρ E i ) = t r [ U ( ρ ⊗ ∣ 0 ⟩ ⟨ 0 ∣ ) U † ( 1 ⊗ ∣ i ⟩ ⟨ i ∣ ) ] \mathrm{tr}(\rho E_i)=\mathrm{tr}\Bigl[U(\rho\otimes|0\rangle\langle0|)U^\dagger\;(1\otimes|i\rangle\langle i|)\Bigr] tr ( ρ E i ) = tr [ U ( ρ ⊗ ∣0 ⟩ ⟨ 0∣ ) U † ( 1 ⊗ ∣ i ⟩ ⟨ i ∣ ) ] が成り立つ。すなわち POVM は、補助系を基準状態 ∣ 0 ⟩ |0\rangle ∣0 ⟩ U U U { 1 ⊗ ∣ i ⟩ ⟨ i ∣ } \{1\otimes|i\rangle\langle i|\} { 1 ⊗ ∣ i ⟩ ⟨ i ∣ }
この定理のねらいは、POVM という新しい測定が、「補助系を足して全体をユニタリに発展させ、補助系を普通に測る」操作に言い換えられると示すことです。証明の方針は、E i \sqrt{E_i} E i V V V
証明（定理 4.3） V : H → H ⊗ K V:\mathcal{H}\to\mathcal{H}\otimes\mathcal{K} V : H → H ⊗ K V ∣ ψ ⟩ = ∑ i E i ∣ ψ ⟩ ⊗ ∣ i ⟩ V|\psi\rangle=\sum_i\sqrt{E_i}|\psi\rangle\otimes|i\rangle V ∣ ψ ⟩ = ∑ i E i ∣ ψ ⟩ ⊗ ∣ i ⟩ E i \sqrt{E_i} E i V † V = ∑ i E i † E i = ∑ i E i = 1 V^\dagger V=\sum_i\sqrt{E_i}^\dagger\sqrt{E_i}=\sum_iE_i=1 V † V = ∑ i E i † E i = ∑ i E i = 1 V V V P i = 1 ⊗ ∣ i ⟩ ⟨ i ∣ P_i=1\otimes|i\rangle\langle i| P i = 1 ⊗ ∣ i ⟩ ⟨ i ∣ V † P i V = E i † E i = E i V^\dagger P_iV=\sqrt{E_i}^\dagger\sqrt{E_i}=E_i V † P i V = E i † E i = E i H ⊗ ∣ 0 ⟩ \mathcal{H}\otimes|0\rangle H ⊗ ∣0 ⟩ V H V\mathcal{H} V H ∣ ψ ⟩ ⊗ ∣ 0 ⟩ ↦ V ∣ ψ ⟩ |\psi\rangle\otimes|0\rangle\mapsto V|\psi\rangle ∣ ψ ⟩ ⊗ ∣0 ⟩ ↦ V ∣ ψ ⟩ dim H \dim\mathcal{H} dim H n dim H − dim H n\dim\mathcal{H}-\dim\mathcal{H} n dim H − dim H U U U t r [ U ( ρ ⊗ ∣ 0 ⟩ ⟨ 0 ∣ ) U † P i ] = t r [ V ρ V † P i ] = t r [ ρ V † P i V ] = t r ( ρ E i ) \mathrm{tr}[U(\rho\otimes|0\rangle\langle0|)U^\dagger P_i]=\mathrm{tr}[V\rho V^\dagger P_i]=\mathrm{tr}[\rho V^\dagger P_iV]=\mathrm{tr}(\rho E_i) tr [ U ( ρ ⊗ ∣0 ⟩ ⟨ 0∣ ) U † P i ] = tr [ V ρ V † P i ] = tr [ ρ V † P i V ] = tr ( ρ E i )
∎ 遠く離れた 2 人 Alice と Bob が、一重項状態の粒子対の片方ずつを持ち、それぞれ測定装置の向きを選んで ± 1 \pm1 ± 1 a , a ′ a,a' a , a ′ b , b ′ b,b' b , b ′ E ( a , b ) E(a,b) E ( a , b )
S = E ( a , b ) + E ( a , b ′ ) + E ( a ′ , b ) − E ( a ′ , b ′ ) S=E(a,b)+E(a,b')+E(a',b)-E(a',b') S = E ( a , b ) + E ( a , b ′ ) + E ( a ′ , b ) − E ( a ′ , b ′ ) を CHSH の量 と呼びます。図のように、粒子源から出た粒子対の片方を Alice が、もう片方を Bob が受け取り、それぞれ 2 通りの向きのどちらかを選んで測ります。a , a ′ a,a' a , a ′ b , b ′ b,b' b , b ′
粒子源 Alice 向き a か a’ Bob 向き b か b’ 結果 ±1 結果 ±1
CHSH の実験の模式図。粒子源から Alice と Bob へ粒子が 1 つずつ飛び、各自が向きを選んで ±1 の結果を得る 定理 5.1 （局所実在論の限界（CHSH 不等式） ） ✓
結果が、粒子対が共有する隠れた変数 λ \lambda λ μ \mu μ 局所隠れた変数模型 ）。すなわち Alice の結果は A ( a , λ ) ∈ { ± 1 } A(a,\lambda)\in\{\pm1\} A ( a , λ ) ∈ { ± 1 } B ( b , λ ) ∈ { ± 1 } B(b,\lambda)\in\{\pm1\} B ( b , λ ) ∈ { ± 1 } E ( a , b ) = ∫ A ( a , λ ) B ( b , λ ) d μ ( λ ) E(a,b)=\int A(a,\lambda)B(b,\lambda)\,d\mu(\lambda) E ( a , b ) = ∫ A ( a , λ ) B ( b , λ ) d μ ( λ ) ∣ S ∣ ≤ 2 |S|\le2 ∣ S ∣ ≤ 2
証明（定理 5.1） 各 λ \lambda λ A = A ( a , λ ) A=A(a,\lambda) A = A ( a , λ )
A B + A B ′ + A ′ B − A ′ B ′ = A ( B + B ′ ) + A ′ ( B − B ′ ) AB+AB'+A'B-A'B'=A(B+B')+A'(B-B') A B + A B ′ + A ′ B − A ′ B ′ = A ( B + B ′ ) + A ′ ( B − B ′ ) です。B , B ′ ∈ { ± 1 } B,B'\in\{\pm1\} B , B ′ ∈ { ± 1 } B + B ′ B+B' B + B ′ B − B ′ B-B' B − B ′ 0 0 0 ± 2 \pm2 ± 2 A , A ′ = ± 1 A,A'=\pm1 A , A ′ = ± 1 ± 2 \pm2 ± 2 μ \mu μ ∣ S ∣ ≤ 2 |S|\le2 ∣ S ∣ ≤ 2
∎ 量子力学では、同じ量が、局所隠れた変数模型の限界を超えます。
定理 5.2 （量子力学の限界（Tsirelson の不等式）と一重項による達成 ） ✓
A , A ′ A,A' A , A ′ H A \mathcal{H}_A H A B , B ′ B,B' B , B ′ H B \mathcal{H}_B H B 1 1 1 ± 1 \pm1 ± 1 S = A ⊗ ( B + B ′ ) + A ′ ⊗ ( B − B ′ ) S=A\otimes(B+B')+A'\otimes(B-B') S = A ⊗ ( B + B ′ ) + A ′ ⊗ ( B − B ′ ) ∣ ⟨ S ⟩ ∣ ≤ 2 2 |\langle S\rangle|\le2\sqrt2 ∣ ⟨ S ⟩ ∣ ≤ 2 2 ∣ ψ − ⟩ |\psi^-\rangle ∣ ψ − ⟩ a , a ′ , b , b ′ a,a',b,b' a , a ′ , b , b ′ ⟨ S ⟩ = 2 2 \langle S\rangle=2\sqrt2 ⟨ S ⟩ = 2 2
上界の証明のねらいは、S S S 4 4 4 S S S A , A ′ A,A' A , A ′ B , B ′ B,B' B , B ′ B B B
証明（定理 5.2） A , A ′ A,A' A , A ′ B , B ′ B,B' B , B ′
S 2 = A 2 ⊗ ( B + B ′ ) 2 + A ′ 2 ⊗ ( B − B ′ ) 2 + A A ′ ⊗ ( B + B ′ ) ( B − B ′ ) + A ′ A ⊗ ( B − B ′ ) ( B + B ′ ) S^2=A^2\otimes(B+B')^2+A'^2\otimes(B-B')^2+AA'\otimes(B+B')(B-B')+A'A\otimes(B-B')(B+B') S 2 = A 2 ⊗ ( B + B ′ ) 2 + A ′2 ⊗ ( B − B ′ ) 2 + A A ′ ⊗ ( B + B ′ ) ( B − B ′ ) + A ′ A ⊗ ( B − B ′ ) ( B + B ′ ) です。A 2 = A ′ 2 = 1 A^2=A'^2=1 A 2 = A ′2 = 1 B 2 = B ′ 2 = 1 B^2=B'^2=1 B 2 = B ′2 = 1 ( B + B ′ ) 2 + ( B − B ′ ) 2 = 2 ( B 2 + B ′ 2 ) = 4 (B+B')^2+(B-B')^2=2(B^2+B'^2)=4 ( B + B ′ ) 2 + ( B − B ′ ) 2 = 2 ( B 2 + B ′2 ) = 4 ( B + B ′ ) ( B − B ′ ) = B ′ B − B B ′ = − [ B , B ′ ] (B+B')(B-B')=B'B-BB'=-[B,B'] ( B + B ′ ) ( B − B ′ ) = B ′ B − B B ′ = − [ B , B ′ ] ( B − B ′ ) ( B + B ′ ) = [ B , B ′ ] (B-B')(B+B')=[B,B'] ( B − B ′ ) ( B + B ′ ) = [ B , B ′ ]
S 2 = 4 ⋅ 1 − [ A , A ′ ] ⊗ [ B , B ′ ] S^2=4\cdot1-[A,A']\otimes[B,B'] S 2 = 4 ⋅ 1 − [ A , A ′ ] ⊗ [ B , B ′ ] です。∥ [ A , A ′ ] ∥ ≤ ∥ A A ′ ∥ + ∥ A ′ A ∥ ≤ 2 \|[A,A']\|\le\|AA'\|+\|A'A\|\le2 ∥ [ A , A ′ ] ∥ ≤ ∥ A A ′ ∥ + ∥ A ′ A ∥ ≤ 2 ∥ [ B , B ′ ] ∥ ≤ 2 \|[B,B']\|\le2 ∥ [ B , B ′ ] ∥ ≤ 2 ∥ S 2 ∥ ≤ 4 + 4 = 8 \|S^2\|\le4+4=8 ∥ S 2 ∥ ≤ 4 + 4 = 8 ∥ S ∥ ≤ 2 2 \|S\|\le2\sqrt2 ∥ S ∥ ≤ 2 2
達成の部分は、一重項で E ( a , b ) = − a ⋅ b E(a,b)=-\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} E ( a , b ) = − a ⋅ b 補題 6.3［角運動量とスピン］ の 1。S = ℏ 2 σ \boldsymbol{S}=\frac\hbar2\boldsymbol{\sigma} S = 2 ℏ σ ( σ i ⊗ 1 + 1 ⊗ σ i ) ∣ ψ − ⟩ = 0 (\sigma_i\otimes1+1\otimes\sigma_i)|\psi^-\rangle=0 ( σ i ⊗ 1 + 1 ⊗ σ i ) ∣ ψ − ⟩ = 0 ( σ ⋅ a ⊗ 1 ) ∣ ψ − ⟩ = − ( 1 ⊗ σ ⋅ a ) ∣ ψ − ⟩ (\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{a}\otimes1)|\psi^-\rangle=-(1\otimes\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{a})|\psi^-\rangle ( σ ⋅ a ⊗ 1 ) ∣ ψ − ⟩ = − ( 1 ⊗ σ ⋅ a ) ∣ ψ − ⟩ ρ B = 1 2 1 \rho_B=\tfrac121 ρ B = 2 1 1
⟨ ( σ ⋅ a ) ⊗ ( σ ⋅ b ) ⟩ = − ⟨ 1 ⊗ ( σ ⋅ b ) ( σ ⋅ a ) ⟩ = − 1 2 t r [ ( σ ⋅ b ) ( σ ⋅ a ) ] = − a ⋅ b \langle(\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{a})\otimes(\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{b})\rangle=-\langle1\otimes(\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{b})(\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{a})\rangle=-\tfrac12\mathrm{tr}\bigl[(\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{b})(\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{a})\bigr]=-\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} ⟨( σ ⋅ a ) ⊗ ( σ ⋅ b )⟩ = − ⟨ 1 ⊗ ( σ ⋅ b ) ( σ ⋅ a )⟩ = − 2 1 tr [ ( σ ⋅ b ) ( σ ⋅ a ) ] = − a ⋅ b です（最後は 命題 5.2［角運動量とスピン］ の ( σ ⋅ b ) ( σ ⋅ a ) = a ⋅ b + i σ ⋅ ( b × a ) (\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{b})(\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{a})=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+i\boldsymbol{\sigma}\cdot(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{a}) ( σ ⋅ b ) ( σ ⋅ a ) = a ⋅ b + i σ ⋅ ( b × a ) a = z ^ \boldsymbol{a}=\hat{\boldsymbol{z}} a = z ^ a ′ = x ^ \boldsymbol{a}'=\hat{\boldsymbol{x}} a ′ = x ^ b = − ( z ^ + x ^ ) / 2 \boldsymbol{b}=-(\hat{\boldsymbol{z}}+\hat{\boldsymbol{x}})/\sqrt2 b = − ( z ^ + x ^ ) / 2 b ′ = ( x ^ − z ^ ) / 2 \boldsymbol{b}'=(\hat{\boldsymbol{x}}-\hat{\boldsymbol{z}})/\sqrt2 b ′ = ( x ^ − z ^ ) / 2 E ( a , b ) = E ( a , b ′ ) = E ( a ′ , b ) = 1 / 2 E(a,b)=E(a,b')=E(a',b)=1/\sqrt2 E ( a , b ) = E ( a , b ′ ) = E ( a ′ , b ) = 1/ 2 E ( a ′ , b ′ ) = − 1 / 2 E(a',b')=-1/\sqrt2 E ( a ′ , b ′ ) = − 1/ 2 S = 4 / 2 = 2 2 S=4/\sqrt2=2\sqrt2 S = 4/ 2 = 2 2
∎ −4 −2√2 −2 0 2 2√2 4 局所隠れた変数（灰色の帯） 量子力学（枠線）
CHSH の量 S の取りうる範囲。局所隠れた変数模型は |S|≤2、量子力学は 2√2≈2.83 まで。代数的な上限は 4 実験でも、量子力学の予言が観測されています。光子対を使った Aspect の実験（1982 年）以降、検出の抜け穴などを塞いだ実験（2015 年）まで、すべて ∣ S ∣ > 2 |S|>2 ∣ S ∣ > 2 局所性と実在性の組 で、因果性そのものではありません。実際、Alice の側だけの結果の統計 ρ A = 1 2 1 \rho_A=\tfrac121 ρ A = 2 1 1
系 S S S E E E S S S ρ S = t r E ρ S E \rho_S=\mathrm{tr}_E\rho_{SE} ρ S = tr E ρ S E ρ S \rho_S ρ S
定義 6.1 （Lindblad 方程式 ） ↗
H H H L k L_k L k 跳躍演算子 ）として、
d ρ d t = L ( ρ ) : = − i ℏ [ H , ρ ] + ∑ k ( L k ρ L k † − 1 2 { L k † L k , ρ } ) \frac{d\rho}{dt}=\mathcal{L}(\rho):=-\frac{i}{\hbar}[H,\rho]+\sum_k\left(L_k\rho L_k^\dagger-\frac12\{L_k^\dagger L_k,\rho\}\right) d t d ρ = L ( ρ ) := − ℏ i [ H , ρ ] + k ∑ ( L k ρ L k † − 2 1 { L k † L k , ρ } ) を Lindblad 方程式 （GKSL 方程式）という。{ X , Y } = X Y + Y X \{X,Y\}=XY+YX { X , Y } = X Y + Y X
第 1 項は通常のユニタリな発展、第 2 項が環境の影響です。第 2 項のうち L k ρ L k † L_k\rho L_k^\dagger L k ρ L k † L k L_k L k − 1 2 { L k † L k , ρ } -\tfrac12\{L_k^\dagger L_k,\rho\} − 2 1 { L k † L k , ρ } ρ \rho ρ
定義 6.2 （完全正値写像 ） ↗
作用素の空間の線形写像 Φ \Phi Φ 正 であるとは、半正定値を半正定値に写すこと。さらに、任意の補助系 C N \mathbb{C}^N C N Φ ⊗ i d N \Phi\otimes\mathrm{id}_N Φ ⊗ id N 完全正値 （CP）という。たとえば Φ ( ρ ) = ∑ i K i ρ K i † \Phi(\rho)=\sum_iK_i\rho K_i^\dagger Φ ( ρ ) = ∑ i K i ρ K i † Kraus 形 ）は CP である。
Kraus 形が CP であることは、( Φ ⊗ i d ) ( Z ) = ∑ i ( K i ⊗ 1 ) Z ( K i ⊗ 1 ) † ≥ 0 (\Phi\otimes\mathrm{id})(Z)=\sum_i(K_i\otimes1)Z(K_i\otimes1)^\dagger\ge0 ( Φ ⊗ id ) ( Z ) = ∑ i ( K i ⊗ 1 ) Z ( K i ⊗ 1 ) † ≥ 0 Z ≥ 0 Z\ge0 Z ≥ 0
定理 6.3 （Lindblad 方程式の時間発展 ） ✓
有限次元で L \mathcal{L} L 定義 6.1 のものとする。このとき t ≥ 0 t\ge0 t ≥ 0 Φ t = e t L \Phi_t=e^{t\mathcal{L}} Φ t = e t L Φ t \Phi_t Φ t
証明のねらいは、L \mathcal{L} L J \mathcal{J} J K \mathcal{K} K e t L e^{t\mathcal{L}} e t L
証明（定理 6.3） (1) t r [ H , ρ ] = 0 \mathrm{tr}[H,\rho]=0 tr [ H , ρ ] = 0 t r ( L k ρ L k † ) = t r ( L k † L k ρ ) = 1 2 t r { L k † L k , ρ } \mathrm{tr}(L_k\rho L_k^\dagger)=\mathrm{tr}(L_k^\dagger L_k\rho)=\tfrac12\mathrm{tr}\{L_k^\dagger L_k,\rho\} tr ( L k ρ L k † ) = tr ( L k † L k ρ ) = 2 1 tr { L k † L k , ρ } t r L ( ρ ) = 0 \mathrm{tr}\,\mathcal{L}(\rho)=0 tr L ( ρ ) = 0 d d t t r ρ = 0 \frac{d}{dt}\mathrm{tr}\,\rho=0 d t d tr ρ = 0 L ( ρ ) † = L ( ρ † ) \mathcal{L}(\rho)^\dagger=\mathcal{L}(\rho^\dagger) L ( ρ ) † = L ( ρ † ) ρ ( 0 ) † = ρ ( 0 ) \rho(0)^\dagger=\rho(0) ρ ( 0 ) † = ρ ( 0 ) ρ ( t ) † \rho(t)^\dagger ρ ( t ) † ρ ( t ) † = ρ ( t ) \rho(t)^\dagger=\rho(t) ρ ( t ) † = ρ ( t )
(3) G = − i ℏ H − 1 2 ∑ k L k † L k G=-\dfrac{i}{\hbar}H-\dfrac12\sum_kL_k^\dagger L_k G = − ℏ i H − 2 1 ∑ k L k † L k L ( ρ ) = K ( ρ ) + J ( ρ ) \mathcal{L}(\rho)=\mathcal{K}(\rho)+\mathcal{J}(\rho) L ( ρ ) = K ( ρ ) + J ( ρ ) K ( ρ ) = G ρ + ρ G † \mathcal{K}(\rho)=G\rho+\rho G^\dagger K ( ρ ) = Gρ + ρ G † J ( ρ ) = ∑ k L k ρ L k † \mathcal{J}(\rho)=\sum_kL_k\rho L_k^\dagger J ( ρ ) = ∑ k L k ρ L k † K \mathcal{K} K e t K ρ = e t G ρ e t G † e^{t\mathcal{K}}\rho=e^{tG}\rho\,e^{tG^\dagger} e t K ρ = e tG ρ e t G † J \mathcal{J} J 定理 3.1［時間発展と時間依存摂動論］ の証明）により
e t L = e t K + ∑ n ≥ 1 ∫ 0 < s n < ⋯ < s 1 < t e ( t − s 1 ) K J e ( s 1 − s 2 ) K J ⋯ J e s n K d s 1 ⋯ d s n e^{t\mathcal{L}}=e^{t\mathcal{K}}+\sum_{n\ge1}\int_{0<s_n<\cdots<s_1<t}e^{(t-s_1)\mathcal{K}}\,\mathcal{J}\,e^{(s_1-s_2)\mathcal{K}}\,\mathcal{J}\cdots\mathcal{J}\,e^{s_n\mathcal{K}}\,ds_1\cdots ds_n e t L = e t K + n ≥ 1 ∑ ∫ 0 < s n < ⋯ < s 1 < t e ( t − s 1 ) K J e ( s 1 − s 2 ) K J ⋯ J e s n K d s 1 ⋯ d s n で、有限次元では J \mathcal{J} J
∎ Duhamel 展開の各項は、「環境が系を n n n e t K e^{t\mathcal{K}} e t K G G G 定理 3.3［Lindblad 生成子と弱結合極限］ ）。
例 6.4 （自然放出（振幅減衰） ）
二準位原子で、励起状態 ∣ e ⟩ |e\rangle ∣ e ⟩ ∣ g ⟩ |g\rangle ∣ g ⟩ H = ℏ ω 0 2 σ z H=\tfrac{\hbar\omega_0}{2}\sigma_z H = 2 ℏ ω 0 σ z L = γ ∣ g ⟩ ⟨ e ∣ L=\sqrt\gamma\,|g\rangle\langle e| L = γ ∣ g ⟩ ⟨ e ∣ ρ = ( ρ e e ρ e g ρ g e ρ g g ) \rho=\begin{pmatrix}\rho_{ee}&\rho_{eg}\\ \rho_{ge}&\rho_{gg}\end{pmatrix} ρ = ( ρ ee ρ g e ρ e g ρ g g ) L ρ L † = γ ρ e e ∣ g ⟩ ⟨ g ∣ L\rho L^\dagger=\gamma\rho_{ee}|g\rangle\langle g| L ρ L † = γ ρ ee ∣ g ⟩ ⟨ g ∣ L † L = γ ∣ e ⟩ ⟨ e ∣ L^\dagger L=\gamma|e\rangle\langle e| L † L = γ ∣ e ⟩ ⟨ e ∣
ρ ˙ e e = − γ ρ e e , ρ ˙ g g = + γ ρ e e , ρ ˙ e g = − ( i ω 0 + γ 2 ) ρ e g \dot\rho_{ee}=-\gamma\rho_{ee},\qquad\dot\rho_{gg}=+\gamma\rho_{ee},\qquad\dot\rho_{eg}=-\left(i\omega_0+\frac\gamma2\right)\rho_{eg} ρ ˙ ee = − γ ρ ee , ρ ˙ g g = + γ ρ ee , ρ ˙ e g = − ( i ω 0 + 2 γ ) ρ e g となり、解は ρ e e ( t ) = ρ e e ( 0 ) e − γ t \rho_{ee}(t)=\rho_{ee}(0)e^{-\gamma t} ρ ee ( t ) = ρ ee ( 0 ) e − γ t ∣ ρ e g ( t ) ∣ = ∣ ρ e g ( 0 ) ∣ e − γ t / 2 |\rho_{eg}(t)|=|\rho_{eg}(0)|e^{-\gamma t/2} ∣ ρ e g ( t ) ∣ = ∣ ρ e g ( 0 ) ∣ e − γ t /2 T 1 = 1 / γ T_1=1/\gamma T 1 = 1/ γ T 2 = 2 / γ T_2=2/\gamma T 2 = 2/ γ r = − z ^ \boldsymbol{r}=-\hat{\boldsymbol{z}} r = − z ^ γ \gamma γ Fermi の黄金律 で原子と電磁場の連続的なモードの結合から計算できます（これが自然放出の Einstein の A A A
演習 7.1 易
∣ Ψ ⟩ = cos θ ∣ 00 ⟩ + sin θ ∣ 11 ⟩ |\Psi\rangle=\cos\theta\,|00\rangle+\sin\theta\,|11\rangle ∣Ψ ⟩ = cos θ ∣00 ⟩ + sin θ ∣11 ⟩ 0 ≤ θ ≤ π / 2 0\le\theta\le\pi/2 0 ≤ θ ≤ π /2 ρ A \rho_A ρ A S ( ρ A ) S(\rho_A) S ( ρ A ) S S S θ \theta θ
解答 これはすでに Schmidt 分解の形で、s 1 = cos θ s_1=\cos\theta s 1 = cos θ s 2 = sin θ s_2=\sin\theta s 2 = sin θ 定理 3.3 により ρ A = cos 2 θ ∣ 0 ⟩ ⟨ 0 ∣ + sin 2 θ ∣ 1 ⟩ ⟨ 1 ∣ \rho_A=\cos^2\theta\,|0\rangle\langle0|+\sin^2\theta\,|1\rangle\langle1| ρ A = cos 2 θ ∣0 ⟩ ⟨ 0∣ + sin 2 θ ∣1 ⟩ ⟨ 1∣ S = − cos 2 θ ln cos 2 θ − sin 2 θ ln sin 2 θ S=-\cos^2\theta\ln\cos^2\theta-\sin^2\theta\ln\sin^2\theta S = − cos 2 θ ln cos 2 θ − sin 2 θ ln sin 2 θ θ = 0 , π / 2 \theta=0,\pi/2 θ = 0 , π /2 S = 0 S=0 S = 0 θ = π / 4 \theta=\pi/4 θ = π /4 S = ln 2 S=\ln2 S = ln 2
演習 7.2 標準
一重項にノイズを混ぜた状態 ρ p = p ∣ ψ − ⟩ ⟨ ψ − ∣ + ( 1 − p ) 1 4 1 \rho_p=p\,|\psi^-\rangle\langle\psi^-|+(1-p)\dfrac{1}{4}1 ρ p = p ∣ ψ − ⟩ ⟨ ψ − ∣ + ( 1 − p ) 4 1 1 0 ≤ p ≤ 1 0\le p\le1 0 ≤ p ≤ 1 定理 5.2 と同じ向きを選ぶと ⟨ S ⟩ = 2 2 p \langle S\rangle=2\sqrt2\,p ⟨ S ⟩ = 2 2 p p p p
解答 ⟨ X ⊗ Y ⟩ ρ p = p ⟨ X ⊗ Y ⟩ ψ − + ( 1 − p ) ⋅ 1 4 t r ( X ⊗ Y ) \langle X\otimes Y\rangle_{\rho_p}=p\langle X\otimes Y\rangle_{\psi^-}+(1-p)\cdot\tfrac14\mathrm{tr}(X\otimes Y) ⟨ X ⊗ Y ⟩ ρ p = p ⟨ X ⊗ Y ⟩ ψ − + ( 1 − p ) ⋅ 4 1 tr ( X ⊗ Y ) X = σ ⋅ a X=\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{a} X = σ ⋅ a 0 0 0 p p p ⟨ S ⟩ = 2 2 p \langle S\rangle=2\sqrt2\,p ⟨ S ⟩ = 2 2 p ∣ S ∣ > 2 |S|>2 ∣ S ∣ > 2 p > 1 / 2 ≈ 0.707 p>1/\sqrt2\approx0.707 p > 1/ 2 ≈ 0.707 p ≤ 1 / 2 p\le1/\sqrt2 p ≤ 1/ 2
演習 7.3 標準
跳躍演算子 L = γ φ / 2 σ z L=\sqrt{\gamma_\varphi/2}\,\sigma_z L = γ φ /2 σ z H = 0 H=0 H = 0 例 6.4 の自然放出と純粋位相緩和を同時に考えたとき、コヒーレンスの減衰率 1 / T 2 1/T_2 1/ T 2 1 / T 1 1/T_1 1/ T 1 γ φ \gamma_\varphi γ φ
解答 L † L = γ φ 2 1 L^\dagger L=\tfrac{\gamma_\varphi}{2}1 L † L = 2 γ φ 1 L ( ρ ) = γ φ 2 ( σ z ρ σ z − ρ ) \mathcal{L}(\rho)=\tfrac{\gamma_\varphi}{2}(\sigma_z\rho\sigma_z-\rho) L ( ρ ) = 2 γ φ ( σ z ρ σ z − ρ ) σ z ρ σ z \sigma_z\rho\sigma_z σ z ρ σ z ρ ˙ e e = ρ ˙ g g = 0 \dot\rho_{ee}=\dot\rho_{gg}=0 ρ ˙ ee = ρ ˙ g g = 0 ρ ˙ e g = − γ φ ρ e g \dot\rho_{eg}=-\gamma_\varphi\rho_{eg} ρ ˙ e g = − γ φ ρ e g e − γ φ t e^{-\gamma_\varphi t} e − γ φ t 1 T 2 = 1 2 T 1 + γ φ \dfrac{1}{T_2}=\dfrac{1}{2T_1}+\gamma_\varphi T 2 1 = 2 T 1 1 + γ φ T 2 ≤ 2 T 1 T_2\le2T_1 T 2 ≤ 2 T 1 例 6.4 ）に成り立ちます。
J. J. Sakurai, J. Napolitano, Modern Quantum Mechanics , 3rd ed., Cambridge University Press, 2020 — 密度演算子、量子エンタングルメント、Bell の不等式の章。
M. A. Nielsen, I. L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information , 10th Anniversary ed., Cambridge University Press, 2010 — 第 2 章（密度演算子、部分トレース、Schmidt 分解、POVM）、第 8 章（量子操作）。
J. S. Bell, “On the Einstein Podolsky Rosen Paradox”, Physics 1 (1964), 195.
J. F. Clauser, M. A. Horne, A. Shimony, R. A. Holt, “Proposed Experiment to Test Local Hidden-Variable Theories”, Phys. Rev. Lett. 23 (1969), 880.
B. S. Tsirelson, “Quantum generalizations of Bell’s inequality”, Lett. Math. Phys. 4 (1980), 93.
G. Lindblad, “On the generators of quantum dynamical semigroups”, Commun. Math. Phys. 48 (1976), 119.
執筆: Claude Code（Sonnet 5.5）、Claude Code（Opus 5.5）・監査 3 回（Claude Code）・最終 2026-10-12