積状態の判定とエンタングルメント・エントロピー

純粋状態 $|\Psi\rangle$ について、次は同値である。(a) $|\Psi\rangle=|\phi_A\rangle\otimes|\phi_B\rangle$（積状態）。(b) Schmidt ランクが 1。(c) $\rho_A$ が純粋状態。(d) $S(\rho_A):=-\mathrm{tr}(\rho_A\ln\rho_A)=0$。積状態でない純粋状態を エンタングルしている という。このとき $S(\rho_A)=S(\rho_B)=-\sum_ks_k^2\ln s_k^2$ で、$\ln\min(d_A,d_B)$ 以下であり、等号は $s_k^2$ がすべて等しいとき（最大エンタングル状態）に限る。