Hilbert 空間のテンソル積と直積分：合成系・可分解作用素・ファイバー分解

0. この記事の要点

2 つの系を合わせて 1 つの系として扱うとき、状態を入れる空間はどう作ればよいのでしょうか。また、全体が「位置ごと」「運動量ごと」に分けて調べられる系では、全体のエネルギーの範囲を、分けた各部分のエネルギーからどう読み取ればよいのでしょうか。この記事は、前者の答えとして「テンソル積」を、後者の答えとして「直積分」を無限次元で正確に作り、合成系と並進対称な系のエネルギーの範囲（スペクトル）を求められるようにします。

• 2 つの Hilbert 空間のテンソル積 $\mathcal{H}\otimes\mathcal{K}$ は、代数的テンソル積に $\langle\varphi\otimes\psi,\varphi'\otimes\psi'\rangle = \langle\varphi,\varphi'\rangle\langle\psi,\psi'\rangle$ で内積を入れて完備化したものです。完備化は省けません（代数的テンソル積は完備ではない）。
• σ-有限測度空間について $L^2(X)\otimes L^2(Y)\cong L^2(X\times Y)$ がユニタリ同値として成り立ちます。$N$ 粒子系の $L^2(\mathbb{R}^{3N})$、スピン付きの $L^2(\mathbb{R}^3)\otimes\mathbb{C}^2$、Fock 空間の $n$ 粒子部分はすべてこの形です。
• 自己共役作用素 $A$, $B$ に対し $A\otimes1 + 1\otimes B$ は $D(A)\otimes_{\mathrm{alg}}D(B)$ 上で本質的に自己共役で、そのスペクトルは $\overline{\sigma(A)+\sigma(B)}$ です。閉包は省けません。有界な場合は $\sigma(A\otimes B) = \sigma(A)\sigma(B)$ です。
• 直積分 $\int^\oplus_M \mathcal{H}'\,d\mu$ は直和の連続版で、可分解作用素 $\int^\oplus A(x)\,d\mu$ のスペクトルはファイバーのスペクトルの「本質的な和集合」です。零集合上のファイバーは効きません。
• 並進不変な 2 体系のハミルトニアンは全運動量 $p$ で $\int^\oplus\bigl(p^2/2M + h\bigr)dp$ と分解され、相対運動の束縛状態は全体では固有値にならず連続スペクトルの端になります。

この記事で使う事前知識

• 自己共役作用素: 量子力学で観測量（エネルギーなど）を表す、エルミート行列の無限次元版。→ 自己共役作用素
• 本質的自己共役: 定義域を狭くして与えても、閉包をとればただ一つの自己共役作用素が決まる、という性質。→ 本質的自己共役
• 関数計算: 自己共役作用素 $A$ に関数 $f$ を代入して $f(A)$ を作る操作。→ 関数計算
• 掛け算作用素: 関数 $a(x)$ を掛けるだけの作用素。→ 掛け算作用素
• 正規直交基底: 長さ 1 で互いに直交するベクトルの組で、全体を張るもの。→ 正規直交基底
• ユニタリ同値: 内積を保つ全単射で一方がもう一方に移ること。→ ユニタリ同値

1. 動機

量子力学で 2 つの系を合わせるとき、状態空間はそれぞれの状態空間の直和ではなくテンソル積になります。1 粒子の $L^2(\mathbb{R}^3)$ を 2 つ合わせると $L^2(\mathbb{R}^6)$ であり、これは $L^2(\mathbb{R}^3)\otimes L^2(\mathbb{R}^3)$ と同一視されます。スピンを入れれば $L^2(\mathbb{R}^3)\otimes\mathbb{C}^2$、場の量子論の Fock 空間 $\mathcal{F}_{\mathrm{b}}(\mathcal{H}) = \bigoplus_{n\ge0}\mathcal{H}^{\otimes_{\mathrm{s}} n}$ はテンソル積の対称部分の直和です。無限次元の Hilbert 空間のテンソル積は、有限次元の線形代数の素朴な類推だけでは定義できません。完備化が必要で、その完備化が $L^2(X\times Y)$ と一致することは測度論の定理です。

合成系のハミルトニアンは、相互作用がなければ $A\otimes1 + 1\otimes B$ の形をしています。非有界作用素の和なので、自己共役性もスペクトルも自明ではありません。§4 でこれを片付けます。

逆向きの操作が直積分です。並進対称性のある系ではハミルトニアンが全運動量と可換なので、全運動量の値 $p$ ごとに「ファイバー」$H(p)$ に分けて調べられます。周期ポテンシャルの Bloch 理論、粒子と量子場の結合系（ポーラロン、非相対論的 QED）の全運動量分解はすべてこの形です。分解した後、全体のスペクトルをファイバーのスペクトルからどう組み立てるかが問題になります。§5 でこれを扱います。

2. 準備

この記事では Hilbert 空間はすべて可分とし、測度空間はすべて σ-有限とします。内積は第 1 変数について共役線形です。自己共役作用素のスペクトル測度は $E_A$ と書きます。スペクトル定理 の 掛け算作用素版（定理 5.7）［スペクトル定理と関数計算］ を何度も使います。可分な $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素 $A$ に対し、有限測度空間 $(M,\mu)$、実数値可測関数 $a$、ユニタリ $W:\mathcal{H}\to L^2(M,\mu)$ があって $WAW^{-1}$ は $a$ を掛ける作用素 $M_a$（定義域 $\{g : ag\in L^2\}$）になる、という定理です。

スペクトルの判定に次の 2 つを使います。1 つ目は、スペクトルに入る点を「ほぼ固有ベクトルになる列」で見つける方法（Weyl 列）で、2 つ目は、関数を掛ける作用素のスペクトルが関数の値域（測度ゼロの部分は無視したもの）になるという事実です。

補題 2.1（Weyl 列による判定）✓

$A$ を自己共役作用素、$\lambda\in\mathbb{R}$ とする。$\lambda\in\sigma(A)$ であることと、単位ベクトル $\varphi_n\in D(A)$ で $\|(A-\lambda)\varphi_n\|\to0$ となる列が存在することは同値である。

証明（補題 2.1）

$\lambda\in\sigma(A)$ なら $E_A((\lambda-1/n,\lambda+1/n))\ne0$ なので、その値域の単位ベクトル $\varphi_n$ を取ると関数計算により $\|(A-\lambda)\varphi_n\|\le1/n$ です。逆に $\lambda\in\rho(A)$ なら $1 = \|\varphi_n\|\le\|(A-\lambda)^{-1}\|\,\|(A-\lambda)\varphi_n\|$ なので、右辺が $0$ に行くことはありません。

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補題 2.2（掛け算作用素のスペクトル）✓

$(M,\mu)$ を σ-有限測度空間、$c:M\to\mathbb{R}$ を可測関数とし、本質的値域を

$$\mathrm{ess\,ran}(c) = \bigl\{\lambda\in\mathbb{R} : \text{任意の } \varepsilon>0 \text{ で } \mu\bigl(c^{-1}((\lambda-\varepsilon,\lambda+\varepsilon))\bigr) > 0\bigr\}$$

と定める。$c$ を掛ける作用素 $M_c$（定義域 $\{g\in L^2 : cg\in L^2\}$）は自己共役で、$\sigma(M_c) = \mathrm{ess\,ran}(c)$ である。また $\mu$-a.e. の $x$ で $c(x)\in\mathrm{ess\,ran}(c)$ である。

証明（補題 2.2）

自己共役性は掛け算作用素の標準的事実です（スペクトル定理の記事を参照）。$\lambda\notin\mathrm{ess\,ran}(c)$ なら、ある $\varepsilon$ で a.e. に $|c-\lambda|\ge\varepsilon$ なので、$(c-\lambda)^{-1}$ を掛ける有界作用素が $M_c-\lambda$ の逆です。$\lambda\in\mathrm{ess\,ran}(c)$ なら、$c^{-1}((\lambda-1/n,\lambda+1/n))$ の正で有限な測度の部分集合 $S_n$（σ-有限性で取れる）について $g_n = \mathbf{1}_{S_n}/\mu(S_n)^{1/2}$ は $\|(M_c-\lambda)g_n\|\le1/n$ を満たし、補題 2.1 から $\lambda\in\sigma(M_c)$ です。最後の主張: $\mathbb{R}\setminus\mathrm{ess\,ran}(c)$ は開集合で、端点が有理数の区間 $I$ で $\mu(c^{-1}(I)) = 0$ となるものの可算和で覆えるので、その逆像は零集合です。

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3. テンソル積

3.1. 代数的テンソル積と完備化

ベクトル空間としての代数的テンソル積 $\mathcal{H}\otimes_{\mathrm{alg}}\mathcal{K}$ は、有限和 $\sum_i\varphi_i\otimes\psi_i$ の全体で、双線形写像 $\mathcal{H}\times\mathcal{K}\to V$ が線形写像 $\mathcal{H}\otimes_{\mathrm{alg}}\mathcal{K}\to V$ に一意に持ち上がる（普遍性）ものです。

命題 3.1（テンソル積上の内積）✓

$\mathcal{H}\otimes_{\mathrm{alg}}\mathcal{K}$ 上に、第 1 変数について共役線形・第 2 変数について線形な形式 $\langle\cdot,\cdot\rangle$ で

$$\langle\varphi\otimes\psi,\ \varphi'\otimes\psi'\rangle = \langle\varphi,\varphi'\rangle_{\mathcal{H}}\,\langle\psi,\psi'\rangle_{\mathcal{K}}$$

を満たすものがただ一つ存在し、それは正定値（内積）である。

証明（命題 3.1）

存在と一意性。 $(\varphi,\psi)$ を固定すると $(\varphi',\psi')\mapsto\langle\varphi,\varphi'\rangle\langle\psi,\psi'\rangle$ は双線形なので、普遍性により線形汎関数 $\ell_{\varphi,\psi}$ が $\mathcal{H}\otimes_{\mathrm{alg}}\mathcal{K}$ 上に定まります。次に $v$ を固定すると $(\varphi,\psi)\mapsto\overline{\ell_{\varphi,\psi}(v)}$ は双線形なので、再び普遍性で線形汎関数 $m_v$ が定まり、$\langle u, v\rangle := \overline{m_v(u)}$ と置けば求める形式です。単純テンソルが全体を張るので一意です。

正定値性。 $u = \sum_{i=1}^n\varphi_i\otimes\psi_i$ とし、$\mathrm{span}\{\varphi_i\}$ の正規直交基底 $e_1,\ldots,e_p$ と $\mathrm{span}\{\psi_i\}$ の正規直交基底 $f_1,\ldots,f_q$ を取ると、双線形性から $u = \sum_{k,l}c_{kl}\,e_k\otimes f_l$ と書けます。定義式から $\langle e_k\otimes f_l, e_{k'}\otimes f_{l'}\rangle = \delta_{kk'}\delta_{ll'}$ なので $\langle u,u\rangle = \sum|c_{kl}|^2\ge0$ です。$\langle u,u\rangle = 0$ ならすべての $c_{kl} = 0$、すなわち $u = 0$ です。

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定義 3.2（Hilbert 空間のテンソル積）↗

命題 3.1 の内積に関する $\mathcal{H}\otimes_{\mathrm{alg}}\mathcal{K}$ の完備化を $\mathcal{H}$ と $\mathcal{K}$ の テンソル積 といい、$\mathcal{H}\otimes\mathcal{K}$ と書く。

証明の議論から、代数的テンソル積の元は、第 2 成分を正規直交系にした形 $u = \sum_l\varphi_l\otimes f_l$（$f_l$ は正規直交）に書けて、$\|u\|^2 = \sum_l\|\varphi_l\|^2$ となることも分かります。また $\|\varphi\otimes\psi\| = \|\varphi\|\|\psi\|$ なので、$(\varphi,\psi)\mapsto\varphi\otimes\psi$ は連続です。

Banach 空間のテンソル積では、代数的テンソル積に入れるノルムの選び方が一通りではなく（射影ノルム、入射ノルムなど）、完備化の結果も一般に異なります。Hilbert 空間では、内積から来るノルムが自然な唯一の選択であり、結果がまた Hilbert 空間になります。量子力学で合成系を扱うときに迷いが生じないのはこのためです。同じ構成を $n$ 回繰り返したものが $\mathcal{H}^{\otimes n}$ で、Fock 空間はその対称部分（または反対称部分）の直和として作られます。指数法則 $\mathcal{F}_{\mathrm{b}}(\mathcal{H}_1\oplus\mathcal{H}_2)\cong\mathcal{F}_{\mathrm{b}}(\mathcal{H}_1)\otimes\mathcal{F}_{\mathrm{b}}(\mathcal{H}_2)$ が成り立つことも知られており、場を独立な自由度に分けるときの基本的な道具になります。

命題 3.3（テンソル積の正規直交基底）✓

$(e_k)$ を $\mathcal{H}$ の、$(f_l)$ を $\mathcal{K}$ の正規直交基底とすると、$(e_k\otimes f_l)_{k,l}$ は $\mathcal{H}\otimes\mathcal{K}$ の正規直交基底である。とくに $\mathcal{H}\otimes\mathcal{K}$ は可分である。

証明（命題 3.3）

正規直交性は定義式から出ます。張る空間の閉包を $\mathcal{S}$ とします。$\varphi = \sum_k\langle e_k,\varphi\rangle e_k$, $\psi = \sum_l\langle f_l,\psi\rangle f_l$ の部分和を $\varphi_N$, $\psi_N$ とすると $\varphi_N\otimes\psi_N\in\mathrm{span}\{e_k\otimes f_l\}$ で、$\|\varphi\otimes\psi - \varphi_N\otimes\psi_N\|\le\|\varphi-\varphi_N\|\|\psi\| + \|\varphi_N\|\|\psi-\psi_N\|\to0$ です。よって単純テンソルは $\mathcal{S}$ に入り、その有限和の全体（$\mathcal{H}\otimes\mathcal{K}$ で稠密）も入るので $\mathcal{S} = \mathcal{H}\otimes\mathcal{K}$ です。

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例 3.4（代数的テンソル積は完備でない）

$\mathcal{H}$, $\mathcal{K}$ がともに無限次元のとき、$u = \sum_{k=1}^\infty 2^{-k}e_k\otimes f_k$ は $\mathcal{H}\otimes\mathcal{K}$ の元ですが、$\mathcal{H}\otimes_{\mathrm{alg}}\mathcal{K}$ には属しません。実際、$v\in\mathcal{H}\otimes_{\mathrm{alg}}\mathcal{K}$ に係数行列 $c_{kl} = \langle e_k\otimes f_l, v\rangle$ を対応させると、$v = \sum_{i=1}^n\varphi_i\otimes\psi_i$ のとき $c_{kl} = \sum_i\langle e_k,\varphi_i\rangle\langle f_l,\psi_i\rangle$ は階数 $n$ 以下の行列です（$n$ 個の階数 1 の行列の和）。$u$ の係数行列は対角成分 $2^{-k}$ の対角行列で、階数は無限大です。したがって $\mathcal{H}\otimes_{\mathrm{alg}}\mathcal{K}$ は $\mathcal{H}\otimes\mathcal{K}$ の真の稠密部分空間であり、完備化を省くと Cauchy 列の極限が失われます。量子情報の言葉では、$u$ は Schmidt 階数が無限大の「もつれた」状態です。

3.2. $L^2$ 空間のテンソル積

定理 3.5（L²(X)⊗L²(Y) ≅ L²(X×Y)）✓

$(X,\mu)$, $(Y,\nu)$ を σ-有限測度空間とする。$(f\otimes g)\mapsto f(x)g(y)$ で定まる写像は、ユニタリ作用素

$$U : L^2(X,\mu)\otimes L^2(Y,\nu)\to L^2(X\times Y,\ \mu\otimes\nu)$$

に一意に拡張される。

証明の方針: 内積を保つ（等長）ことは Fubini の定理で単純テンソルについて確かめるだけです。手間がかかるのは全射性で、「長方形 $A\times B$ の上の積分がすべて $0$ の関数は $0$」を、長方形から一般の可測集合へ広げる測度論の標準的な議論（Dynkin 族と π-λ 定理）を使って示します。細部が追いにくければ、まず結論の $L^2(X)\otimes L^2(Y)\cong L^2(X\times Y)$ だけを受け取って先へ進んでも構いません。

証明（定理 3.5）

等長性。 写像 $(f,g)\mapsto f(x)g(y)$ は $L^2(X\times Y)$ への双線形写像（Tonelli の定理で $\|f(x)g(y)\|_{L^2} = \|f\|\|g\|$）なので、普遍性により $\mathcal{H}\otimes_{\mathrm{alg}}\mathcal{K}$ 上の線形写像 $U_0$ が定まります。単純テンソルについて、Fubini の定理から

$$\langle U_0(f\otimes g), U_0(f'\otimes g')\rangle = \int_X\!\int_Y\overline{f(x)g(y)}\,f'(x)g'(y)\,d\nu\,d\mu = \langle f,f'\rangle\langle g,g'\rangle$$

で、半双線形性によりすべての元で内積を保ちます。よって $U_0$ は等長で、完備化上の等長作用素 $U$ に一意に拡張されます。値域は閉です。

全射性。 値域が稠密であることを示せば十分です。$F\in L^2(X\times Y)$ がすべての $f\otimes g$ の像と直交するとします。$\mu(A),\nu(B) < \infty$ のとき $f = \mathbf{1}_A$, $g = \mathbf{1}_B$ として $\int_{A\times B}F = 0$ です。測度有限の $A_0\subset X$, $B_0\subset Y$ を固定し、$\mathcal{D}$ を $A_0\times B_0$ の可測部分集合 $E$ で $\int_EF = 0$ となるものの族とします。$F$ は Cauchy–Schwarz により $A_0\times B_0$ 上で可積分なので、優収束定理から $\mathcal{D}$ は可算非交和と（$A_0\times B_0$ の中での）補集合で閉じた Dynkin 族です。$\mathcal{D}$ は可測長方形 $A\times B$（$A\subset A_0$, $B\subset B_0$）という π-系を含むので、Dynkin の π-λ 定理により $A_0\times B_0$ の可測部分集合をすべて含みます。$E = \{\mathrm{Re}\,F > 0\}\cap(A_0\times B_0)$ などを取れば $F = 0$ が $A_0\times B_0$ 上 a.e. に成り立ちます。σ-有限性で $X$, $Y$ をこのような集合の可算和で尽くせば $F = 0$ です。

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例 3.6（合成系の状態空間）

定理 3.5 を繰り返すと $L^2(\mathbb{R}^3)^{\otimes N}\cong L^2(\mathbb{R}^{3N})$ で、これが $N$ 個の区別できる粒子の状態空間です。$\mathbb{C}^2 = L^2(\{1,2\},\text{数え上げ測度})$ と見れば、スピン $1/2$ の粒子は $L^2(\mathbb{R}^3)\otimes\mathbb{C}^2\cong L^2(\mathbb{R}^3\times\{1,2\})\cong L^2(\mathbb{R}^3)\oplus L^2(\mathbb{R}^3)$ です。ボソンの $n$ 粒子空間 $\mathcal{H}^{\otimes_{\mathrm{s}}n}$ は、置換 $\varphi_1\otimes\cdots\otimes\varphi_n\mapsto\varphi_{\pi(1)}\otimes\cdots\otimes\varphi_{\pi(n)}$ の平均をとる射影 $S_n$ の値域で、$L^2(\mathbb{R}^{3n})$ の対称関数の部分空間に対応します。

4. 作用素のテンソル積

4.1. 有界作用素

命題 4.1（有界作用素のテンソル積）✓

$S\in B(\mathcal{H})$, $T\in B(\mathcal{K})$ に対し、$(S\otimes T)(\varphi\otimes\psi) = S\varphi\otimes T\psi$ を満たす有界作用素 $S\otimes T\in B(\mathcal{H}\otimes\mathcal{K})$ がただ一つ存在し、$\|S\otimes T\| = \|S\|\|T\|$、$(S\otimes T)^* = S^*\otimes T^*$ である。

証明（命題 4.1）

普遍性により $S\otimes1$ は代数的テンソル積上の線形写像として定まります。$u = \sum_l\varphi_l\otimes f_l$（$f_l$ は正規直交）と書けば $\|(S\otimes1)u\|^2 = \sum_l\|S\varphi_l\|^2\le\|S\|^2\sum_l\|\varphi_l\|^2 = \|S\|^2\|u\|^2$ なので、$S\otimes1$ は完備化に一意に拡張され $\|S\otimes1\|\le\|S\|$ です。同様に $1\otimes T$ も定まり、$S\otimes T := (S\otimes1)(1\otimes T)$ と置けば $\|S\otimes T\|\le\|S\|\|T\|$。逆向きは単位ベクトル $\varphi$, $\psi$ について $\|(S\otimes T)(\varphi\otimes\psi)\| = \|S\varphi\|\|T\psi\|$ の上限を取れば出ます。共役は単純テンソル上で $\langle\varphi\otimes\psi,(S\otimes T)(\varphi'\otimes\psi')\rangle = \langle S^*\varphi,\varphi'\rangle\langle T^*\psi,\psi'\rangle$ を確かめ、稠密性と連続性で広げます。

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4.2. 不変な稠密部分空間は芯である

補題 4.2（不変な稠密部分空間と芯）✓

$G$ を自己共役作用素、$U(t) = e^{itG}$ とする。稠密な部分空間 $\mathcal{D}\subset D(G)$ がすべての $t\in\mathbb{R}$ で $U(t)\mathcal{D}\subset\mathcal{D}$ を満たすなら、$\mathcal{D}$ は $G$ の芯である（$G|_{\mathcal{D}}$ の閉包が $G$ に等しい）。

証明（補題 4.2）

$G_0 = G|_{\mathcal{D}}$ は対称です。$\eta\in D(G_0^*)$, $G_0^*\eta = i\eta$ とし、$\varphi\in\mathcal{D}$ に対し $f(t) = \langle\eta, U(t)\varphi\rangle$ と置きます。Stone の定理により $U(t)\varphi$ は微分可能で導関数は $iGU(t)\varphi$、しかも仮定から $U(t)\varphi\in\mathcal{D}$ なので

$$f'(t) = i\langle\eta, G_0U(t)\varphi\rangle = i\langle G_0^*\eta, U(t)\varphi\rangle = i\langle i\eta, U(t)\varphi\rangle = f(t)$$

です（第 1 変数の共役線形性で $\langle i\eta,\cdot\rangle = -i\langle\eta,\cdot\rangle$）。よって $f(t) = e^tf(0)$ ですが $|f(t)|\le\|\eta\|\|\varphi\|$ なので $f(0) = 0$、すなわち $\eta\perp\mathcal{D}$、$\eta = 0$ です。$G_0^*\eta = -i\eta$ の場合は $f' = -f$ となり、$t\to-\infty$ を考えて同様です。基本判定（自己共役性の判定）により $G_0$ は本質的に自己共役で、その閉包は $G$ に含まれる自己共役作用素です。自己共役作用素は真の対称拡大を持たないので、閉包は $G$ に等しくなります。

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4.3. $A\otimes 1 + 1\otimes B$

定理 4.3（A⊗1+1⊗B の自己共役性とスペクトル）✓

$A$, $B$ をそれぞれ可分な $\mathcal{H}$, $\mathcal{K}$ 上の自己共役作用素とし、$\mathcal{D}_0 = D(A)\otimes_{\mathrm{alg}}D(B)$ 上で $C_0 = A\otimes1 + 1\otimes B$、すなわち $C_0(\varphi\otimes\psi) = A\varphi\otimes\psi + \varphi\otimes B\psi$ と定める。

1. $C_0$ は本質的に自己共役であり、その閉包 $C$ について $e^{itC} = e^{itA}\otimes e^{itB}$ $(t\in\mathbb{R})$ が成り立つ。
2. $\sigma(C) = \overline{\sigma(A)+\sigma(B)}$。ここで $\sigma(A)+\sigma(B) = \{\lambda+\mu : \lambda\in\sigma(A),\ \mu\in\sigma(B)\}$。
3. $W_A:\mathcal{H}\to L^2(M,m)$, $W_B:\mathcal{K}\to L^2(N,n)$ を $A$, $B$ を $M_a$, $M_b$ に写す掛け算作用素表示とすると、$C$ は $U(W_A\otimes W_B)$（$U$ は 定理 3.5 のユニタリ）によって $L^2(M\times N)$ 上の $a(x)+b(y)$ を掛ける作用素にユニタリ同値である。

証明の方針: 1 では、$e^{itA}\otimes e^{itB}$ が強連続ユニタリ群になることから Stone の定理で生成子 $G$ を取り（強連続ユニタリ群と自己共役な生成子は一対一に対応します）、$G$ が $C_0$ の拡張であり、$\mathcal{D}_0$ が群で不変だから芯になる、と進めます。3 は、掛け算作用素表示に移すと $C$ が関数 $a(x)+b(y)$ を掛けるだけの作用素になる、という主張です。2 のスペクトルは、この 3 と掛け算作用素のスペクトルの補題から読み取ります。

証明（定理 4.3）

1. $V(t) = e^{itA}\otimes e^{itB}$ と置きます。命題 4.1 によりユニタリで、単純テンソル上で群の性質 $V(t)V(s) = V(t+s)$ を満たすので全体で満たします。単純テンソルについて

$$\|V(t)(\varphi\otimes\psi) - \varphi\otimes\psi\|\le\|e^{itA}\varphi-\varphi\|\|\psi\| + \|\varphi\|\|e^{itB}\psi-\psi\|\to0$$

で、$\|V(t)\| = 1$ と稠密性から $V$ は強連続です。Stone の定理により自己共役な $G$ で $V(t) = e^{itG}$ となるものがあります。$\varphi\in D(A)$, $\psi\in D(B)$ について上と同じ分解で

$$\frac{V(t)(\varphi\otimes\psi)-\varphi\otimes\psi}{t} = \frac{e^{itA}\varphi-\varphi}{t}\otimes e^{itB}\psi + \varphi\otimes\frac{e^{itB}\psi-\psi}{t}\to iA\varphi\otimes\psi + \varphi\otimes iB\psi$$

なので、$\varphi\otimes\psi\in D(G)$, $G(\varphi\otimes\psi) = C_0(\varphi\otimes\psi)$、つまり $C_0\subset G$ です。$\mathcal{D}_0$ は稠密（命題 3.3 の証明と同じ近似で、$D(A)$, $D(B)$ の稠密性から）で、$e^{itA}D(A)\subset D(A)$, $e^{itB}D(B)\subset D(B)$ より $V(t)$ で不変です。補題 4.2 により $C = \overline{C_0} = G$ です。

3. $W = U(W_A\otimes W_B)$ はユニタリです。単純テンソル $f\otimes g$ について $W V(t)W^{-1}$ は $e^{ita(x)}f(x)\,e^{itb(y)}g(y)$ を与えるので、$WV(t)W^{-1}$ は $e^{it(a(x)+b(y))}$ を掛ける作用素と稠密集合上で一致し、ともに有界なので等しい。$c(x,y) = a(x)+b(y)$ を掛ける作用素 $M_c$ は自己共役で $e^{itM_c} = M_{e^{itc}}$（関数計算）なので、Stone の定理の生成子の一意性から $WCW^{-1} = M_c$ です。

2. 「$\supset$」: $\lambda\in\sigma(A)$, $\mu\in\sigma(B)$ の Weyl 列（補題 2.1）$\varphi_n$, $\psi_n$ を取ると $\varphi_n\otimes\psi_n\in\mathcal{D}_0$ は単位ベクトルで

$$\|(C-\lambda-\mu)(\varphi_n\otimes\psi_n)\|\le\|(A-\lambda)\varphi_n\| + \|(B-\mu)\psi_n\|\to0$$

なので $\lambda+\mu\in\sigma(C)$。$\sigma(C)$ は閉なので閉包も含みます。「$\subset$」: 3 と 補題 2.2 により $\sigma(C) = \mathrm{ess\,ran}(c)$ です。同じ補題を $M_a$, $M_b$ に使うと、a.e. の $x$ で $a(x)\in\sigma(A)$、a.e. の $y$ で $b(y)\in\sigma(B)$ なので、$m\otimes n$-a.e. で $c(x,y)\in\sigma(A)+\sigma(B)$ です。$\lambda\notin\overline{\sigma(A)+\sigma(B)}$ ならその近傍の $c$ による逆像は零集合なので、$\lambda\notin\mathrm{ess\,ran}(c)$ です。

∎

この定理は「相互作用のない合成系のエネルギーは各部分のエネルギーの和」という物理の直観を、非有界作用素について正確にしたものです。固有値どうしの和はもちろん固有値になりますが（固有ベクトルは $\varphi\otimes\psi$）、一方の連続スペクトルと他方の固有値の和は連続スペクトルの中に埋め込まれます。たとえば原子（離散的な励起準位 $\lambda_1 < \lambda_2$ を持つ $A$）と光子場（$\sigma(B) = [0,\infty)$、真空 $\Omega$ が固有値 $0$ の固有ベクトル）を合わせると、$\lambda_2+0$ は $C$ の固有値ですが、$[\lambda_1,\infty)$ という連続スペクトルの内部にあります。この固有値は孤立していない（まわりが連続スペクトルで埋まっている）ので、相互作用 $\kappa W$ を加えたときに 作用素の収束と摂動 の 定理 5.4［作用素の収束と摂動］ は使えません。実際、摂動で埋め込み固有値は一般に消え、共鳴（有限寿命の励起状態）に変わります。フェルミの黄金律が記述しているのはこの現象です。一方、基底エネルギー $\lambda_1+0$ も連続スペクトル $[\lambda_1,\infty)$ の下端にあって孤立していないので、非相対論的 QED で基底状態の存在を示すには、解析摂動論ではなく Feshbach–Schur 写像（定理 7.2）［作用素の収束と摂動］ を繰り返し使うような別の道具が要ります。

定理 4.4（有界自己共役作用素のテンソル積のスペクトル）✓

$A\in B(\mathcal{H})$, $B\in B(\mathcal{K})$ を自己共役とすると、$A\otimes B$ は自己共役で $\sigma(A\otimes B) = \sigma(A)\sigma(B) = \{\lambda\mu : \lambda\in\sigma(A),\ \mu\in\sigma(B)\}$ である。

証明（定理 4.4）

自己共役性は 命題 4.1 の $(A\otimes B)^* = A^*\otimes B^*$ から出ます。$\sigma(A)$, $\sigma(B)$ はコンパクトなので積集合 $\sigma(A)\sigma(B)$ もコンパクト（連続写像による像）で、閉包を取る必要はありません。「$\supset$」: Weyl 列について

$$\|(A\otimes B-\lambda\mu)(\varphi_n\otimes\psi_n)\| = \|(A-\lambda)\varphi_n\otimes B\psi_n + \lambda\varphi_n\otimes(B-\mu)\psi_n\|\le\|B\|\|(A-\lambda)\varphi_n\| + |\lambda|\|(B-\mu)\psi_n\|\to0.$$

「$\subset$」: 定理 4.3 の 3 と同じユニタリ $W$ で、単純テンソル上の計算から $W(A\otimes B)W^{-1}$ は $a(x)b(y)$（有界な場合 $a$, $b$ は本質的に有界）を掛ける作用素です。あとは同じ議論で、$\mathrm{ess\,ran}(ab)\subset\overline{\sigma(A)\sigma(B)} = \sigma(A)\sigma(B)$ です。

∎

注意 4.5（非有界な場合と多項式）

$A$, $B$ が非有界な自己共役作用素でも、$A\otimes B$ は $D(A)\otimes_{\mathrm{alg}}D(B)$ 上で本質的に自己共役で、閉包のスペクトルは $\overline{\sigma(A)\sigma(B)}$ です。より一般に実係数多項式 $P$ について $P(A_1,\ldots,A_N)$ が $\bigotimes_{\mathrm{alg}}D(A_j)$ 上で本質的に自己共役で、スペクトルが $\overline{P(\sigma(A_1),\ldots,\sigma(A_N))}$ となります。証明の筋道は 定理 4.3 と同じで、掛け算作用素表示で $P(a_1(x_1),\ldots,a_N(x_N))$ を掛ける作用素に写し、解析ベクトル（$E_{A_j}$ の有界区間の値域の単純テンソル）を使って本質的自己共役性を示します。Reed–Simon I §VIII.10 を参照してください。

例 4.6（σ(A)+σ(B) が閉でない例）

$\ell^2(\mathbb{N})$ の正規直交基底 $(e_n)$ で、$Ae_n = ne_n$, $Be_n = (-n + 1/n)e_n$ と定めます。$\sigma(A) = \mathbb{N}$、$\sigma(B) = \{-n+1/n : n\in\mathbb{N}\}$ はどちらも離散的な閉集合です。$C = \overline{A\otimes1+1\otimes B}$ は正規直交基底 $e_n\otimes e_m$ 上で対角的で、固有値は $n - m + 1/m$ です。

$n = m\ge2$ とすると $1/m\in\sigma(A)+\sigma(B)$ なので $0\in\overline{\sigma(A)+\sigma(B)} = \sigma(C)$ です。しかし $n - m + 1/m = 0$ は $1/m = m - n\in\mathbb{Z}$ を要求し、$m = 1$, $n = 0\notin\mathbb{N}$ となって解がありません。つまり $0\notin\sigma(A)+\sigma(B)$ で、$0$ は $C$ の固有値でもなく、固有値の集積点として初めてスペクトルに現れます。定理 4.3 の 2 で閉包を落とすと誤りになります。$A$, $B$ の一方が有界ならコンパクト集合と閉集合の和なので閉包は不要です。

5. 直和と直積分

5.1. 直和

定義 5.1（Hilbert 空間と作用素の直和）↗

Hilbert 空間の列 $(\mathcal{H}_n)_{n\in\mathbb{N}}$ に対し、$\sum_n\|\psi_n\|^2 < \infty$ を満たす列 $\psi = (\psi_n)$, $\psi_n\in\mathcal{H}_n$ の全体に内積 $\langle\psi,\psi'\rangle = \sum_n\langle\psi_n,\psi'_n\rangle$ を入れたものを 直和 $\bigoplus_n\mathcal{H}_n$ という。$\mathcal{H}_n$ 上の自己共役作用素 $A_n$ に対し、$D(\bigoplus A_n) = \{\psi : \psi_n\in D(A_n),\ \sum_n\|A_n\psi_n\|^2 < \infty\}$ 上で $(\bigoplus A_n)\psi = (A_n\psi_n)$ と定める。

命題 5.2（直和のスペクトル）✓

定義 5.1 の $A = \bigoplus_nA_n$ は自己共役で、$\sigma(A) = \overline{\bigcup_n\sigma(A_n)}$ である。

証明（命題 5.2）

$A$ が対称で稠密に定義されることは成分ごとに明らかです。$z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}$ なら $R = \bigoplus(A_n-z)^{-1}$ は $\|(A_n-z)^{-1}\|\le1/|\mathrm{Im}\,z|$ により有界で、値域は $D(A)$ に入り $(A-z)R = 1$ なので、$\mathrm{Ran}(A - z) = \mathcal{H}$ です。基本判定から $A$ は自己共役です。実数 $\lambda$ について、$\lambda\in\rho(A)$ なら $(A-\lambda)^{-1}$ は各成分を保つので各 $A_n-\lambda$ の逆が一様有界、すなわち $\sup_n\mathrm{dist}(\lambda,\sigma(A_n))^{-1} < \infty$ で、$\lambda\notin\overline{\bigcup\sigma(A_n)}$ です。逆に $\mathrm{dist}(\lambda,\bigcup\sigma(A_n)) = \varepsilon > 0$ なら $\bigoplus(A_n-\lambda)^{-1}$ がノルム $1/\varepsilon$ 以下の逆を与えます。

∎

5.2. 直積分

直和は、番号 $n=1,2,\ldots$ ごとに 1 つずつ空間が並んでいる状態です。直積分は、その番号を連続的な点 $x$ に置き換えたもので、各点 $x$ に 1 つの空間（ファイバー、つまり点の上に乗っている空間）が乗り、その上の「$x$ の関数」を全体として足し合わせます。例として、各ファイバーが $\mathbb{C}$ なら、直積分は単に $L^2(M,\mu)$ です。

定義 5.3（定ファイバーの直積分）↗

$(M,\mu)$ を σ-有限測度空間、$\mathcal{H}'$ を可分な Hilbert 空間とする。写像 $\psi:M\to\mathcal{H}'$ が 可測 であるとは、任意の $e\in\mathcal{H}'$ について $x\mapsto\langle e,\psi(x)\rangle$ が可測であることをいう。可測で $\int_M\|\psi(x)\|^2\,d\mu(x) < \infty$ を満たす $\psi$ の全体を、$\mu$-a.e. で一致するものを同一視して

$$\int_M^\oplus\mathcal{H}'\,d\mu = L^2(M,\mu;\mathcal{H}'),\qquad \langle\psi,\psi'\rangle = \int_M\langle\psi(x),\psi'(x)\rangle\,d\mu(x)$$

と書き、直積分 という。$\mathcal{H}'$ を ファイバー という。

$\mathcal{H}'$ の正規直交基底 $(e_k)$ を取ると $\|\psi(x)\|^2 = \sum_k|\langle e_k,\psi(x)\rangle|^2$ なので、$\|\psi(\cdot)\|$ は可測です。$M$ が可算集合で $\mu$ が数え上げ測度なら、直積分は同じ空間の可算直和です。ファイバーの次元が $x$ によって変わる一般の「Hilbert 空間の可測場」も、$M$ を次元ごとの可測集合 $M_d$ に分ければ定ファイバーの直積分の直和に帰着します。

命題 5.4（直積分とテンソル積）✓

$f\otimes e\mapsto\bigl(x\mapsto f(x)e\bigr)$ はユニタリ作用素 $L^2(M,\mu)\otimes\mathcal{H}'\to\int_M^\oplus\mathcal{H}'\,d\mu$ に一意に拡張される。

証明（命題 5.4）

内積の保存は $\int\overline{f(x)}f'(x)\langle e,e'\rangle\,d\mu = \langle f,f'\rangle\langle e,e'\rangle$ から出るので、定理 3.5 と同様に等長作用素に拡張されます。全射性: $\psi$ が値域と直交するなら、各 $k$ とすべての $f\in L^2(M)$ について $\int\overline{f(x)}\langle e_k,\psi(x)\rangle\,d\mu = 0$ なので $\langle e_k,\psi(x)\rangle = 0$ a.e. です。$k$ は可算個なので a.e. の $x$ で $\psi(x) = 0$ です。

∎

定義 5.5（可分解作用素）↗

$x\mapsto T(x)\in B(\mathcal{H}')$ が可測（任意の $e, e'$ で $x\mapsto\langle e,T(x)e'\rangle$ が可測）で $\mathrm{ess\,sup}_x\|T(x)\| < \infty$ のとき、$(T\psi)(x) = T(x)\psi(x)$ で定まる有界作用素を $T = \int_M^\oplus T(x)\,d\mu$ と書き、可分解作用素 という。

$x\mapsto A(x)$ が $\mathcal{H}'$ 上の自己共役作用素の族で、$x\mapsto(A(x)-i)^{-1}$ が上の意味で可測なとき、

$$D(A) = \Bigl\{\psi : \psi(x)\in D(A(x))\ \text{a.e.},\ \int_M\|A(x)\psi(x)\|^2\,d\mu < \infty\Bigr\},\qquad (A\psi)(x) = A(x)\psi(x)$$

で定まる作用素を $A = \int_M^\oplus A(x)\,d\mu$ と書く。

可分解作用素は「各点 $x$ で別々に働く」作用素です。$f\in L^\infty(M)$ を掛ける作用素（ファイバー上では $f(x)$ 倍）を対角作用素と呼ぶと、有界な可分解作用素はすべての対角作用素と可換です。逆に、すべての対角作用素と可換な有界作用素は可分解であることが知られています（Reed–Simon IV §XIII.16）。したがって、ある自己共役作用素（たとえば全運動量）と可換なハミルトニアンは、その作用素のスペクトル表示を $M$ として可分解になる、というのが §5.3 の分解の背後にある一般原理です。

定理 5.6（可分解作用素のスペクトル）✓

定義 5.5 の $A = \int_M^\oplus A(x)\,d\mu$ は自己共役で、任意の $z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}$ について $(A-z)^{-1} = \int_M^\oplus(A(x)-z)^{-1}d\mu$ である。さらに $\lambda\in\mathbb{R}$ について次が成り立つ。

1. $\lambda\in\sigma(A)$ であることと、任意の $\varepsilon>0$ で $\mu\bigl(\{x : \sigma(A(x))\cap(\lambda-\varepsilon,\lambda+\varepsilon)\ne\emptyset\}\bigr) > 0$ であることは同値である。
2. $\lambda$ が $A$ の固有値であることと、$\mu\bigl(\{x : \lambda\ \text{は}\ A(x)\ \text{の固有値}\}\bigr) > 0$ であることは同値である。

（主張に現れる集合が可測であることも定理の一部である。）

証明（定理 5.6）

周期作用素と Bloch–Floquet 分解 の 定理 3.2［周期作用素と Bloch–Floquet 分解］ が、定義 5.5 と同じ設定（可分な $\mathcal{H}'$、σ-有限な $(M,\mu)$、$x\mapsto(A(x)-i)^{-1}$ の可測性）で証明しています。自己共役性とレゾルベントの分解は同定理の 1 です。

1 について: 同定理の 2 により $d(x)=\mathrm{dist}(\lambda,\sigma(A(x)))$ は可測で、$\{x:\sigma(A(x))\cap(\lambda-\varepsilon,\lambda+\varepsilon)\ne\emptyset\}=\{x:d(x)<\varepsilon\}$ なので可測です（$\sigma(A(x))$ は閉集合なので距離が $\varepsilon$ 未満であることと開区間と交わることは同値です）。同値性は同定理の 2 の後半そのものです。

2 について: 同定理の 3 により $P(x)=E_{A(x)}(\{\lambda\})$ は可測な族で、$\|P(x)\|$ は可測（$\mathcal{H}'$ の可算稠密集合上の上限）なので $\{x:\lambda\text{ は }A(x)\text{ の固有値}\}=\{x:\|P(x)\|>0\}$ は可測です。同値性は同定理の 3 の後半そのものです。

∎

注意 5.7（証明の所在と筋道）

完全な証明は Reed–Simon IV §XIII.16 にあります。筋道は次のとおりです。(i) 有界な可分解作用素について $\|\int^\oplus T(x)\,d\mu\| = \mathrm{ess\,sup}_x\|T(x)\|$ を示す（$\le$ は定義から、$\ge$ は $\mathcal{H}'$ の可算稠密集合と正測度集合上の定ベクトルで試す）。(ii) $R = \int^\oplus(A(x)-i)^{-1}d\mu$ が単射で $R^{-1}+i$ が上の $A$ に等しいこと、および 命題 5.2 の証明と同じく $\mathrm{Ran}(A\pm i)$ が全体であることから自己共役性とレゾルベントの分解を得る。(iii) 1 は、(i) と $\|(A(x)-z)^{-1}\| = \mathrm{dist}(z,\sigma(A(x)))^{-1}$ を $z = \lambda+i\eta$ に使い、$\mathrm{dist}(\lambda+i\eta,S)^2 = \mathrm{dist}(\lambda,S)^2+\eta^2$（$S\subset\mathbb{R}$）から $\mathrm{dist}(\lambda,\sigma(A)) = \mathrm{ess\,inf}_x\,\mathrm{dist}(\lambda,\sigma(A(x)))$ を導けば従う。(iv) 2 は、固有射影 $E_A(\{\lambda\}) = \int^\oplus E_{A(x)}(\{\lambda\})\,d\mu$ が $0$ でないことと、正測度の集合上で $E_{A(x)}(\{\lambda\})\ne0$ であることの同値性による。

例 5.8（零集合上のファイバーは効かない）

$M = [0,1]$（ルベーグ測度）、$\mathcal{H}' = \mathbb{C}$ とし、$A(x) = 0$ $(x\ne1/2)$, $A(1/2) = 1$ とします。$A = \int^\oplus A(x)\,dx$ は $L^2([0,1])$ 上で a.e. に $0$ を掛ける作用素、つまり $A = 0$ で、$\sigma(A) = \{0\}$ です。ところが $\overline{\bigcup_x\sigma(A(x))} = \{0,1\}$ です。直和の公式 命題 5.2 を直積分にそのまま移すと誤りで、定理 5.6 の 1 の「正測度」の条件が必要です。同様に 2 でも、各ファイバーの固有値がそのまま全体の固有値になるわけではありません（次の例）。

5.3. 並進不変系のファイバー分解

例 5.9（2 体系の全運動量による分解）

質量 $m_1$, $m_2$ の 2 粒子が $\mathbb{R}^d$ 上で相互作用 $V(x_1-x_2)$ をもって運動する系を考えます。$M = m_1+m_2$, $m = m_1m_2/M$（換算質量）とし、相対運動のハミルトニアン $h = -\Delta_r/(2m) + V(r)$ が $L^2(\mathbb{R}^d_r)$ 上で自己共役であるとします（たとえば $d\le3$, $V\in L^2+L^\infty$ なら 系 3.4［自己共役性の判定］ により $D(h) = H^2$）。

重心座標。 $(J\psi)(X,r) = \psi\bigl(X+\tfrac{m_2}{M}r,\ X-\tfrac{m_1}{M}r\bigr)$ は線形変数変換（行列式の絶対値 $1$）による $L^2(\mathbb{R}^{2d})$ 上のユニタリで、$X$ は重心、$r = x_1-x_2$ です。連鎖律により Schwartz 関数上で $-\Delta_1/(2m_1)-\Delta_2/(2m_2) = -\Delta_X/(2M) - \Delta_r/(2m)$ なので、定理 3.5 で $L^2(\mathbb{R}^{2d}) = L^2(\mathbb{R}^d_X)\otimes L^2(\mathbb{R}^d_r)$ と見ると、ハミルトニアンは

$$H = K\otimes1 + 1\otimes h,\qquad K = -\frac{\Delta_X}{2M}$$

となります。定理 4.3 によりこれは $D(K)\otimes_{\mathrm{alg}}D(h)$ 上で本質的に自己共役で、$\sigma(H) = \overline{[0,\infty)+\sigma(h)} = [\inf\sigma(h),\infty)$ です。

ファイバー分解。 $X$ についての Fourier 変換 $\mathcal{F}$ は $K$ を $p^2/(2M)$ を掛ける作用素に写します。命題 5.4 で $L^2(\mathbb{R}^d_p)\otimes L^2(\mathbb{R}^d_r) = \int^\oplus_{\mathbb{R}^d}L^2(\mathbb{R}^d_r)\,dp$ と見ると、$(\mathcal{F}\otimes1)e^{itH}(\mathcal{F}\otimes1)^{-1} = e^{itp^2/2M}\otimes e^{ith}$ はファイバーごとに $e^{it(p^2/2M+h)}$ として働くので、レゾルベントも分解し

$$(\mathcal{F}\otimes1)\,H\,(\mathcal{F}\otimes1)^{-1} = \int^\oplus_{\mathbb{R}^d}H(p)\,dp,\qquad H(p) = \frac{p^2}{2M} + h$$

です。$p$ は全運動量です。

固有値の消失。 $h$ が負の固有値 $e_0$（束縛状態）を持っても、定理 5.6 の 2 により $\lambda$ が $H$ の固有値であるには $\{p : \lambda - p^2/2M\in\sigma_{\mathrm{p}}(h)\}$ が正測度でなければなりません。$\sigma_{\mathrm{p}}(h)$ は可算集合（$L^2$ が可分なので互いに直交する固有空間は可算個）で、各 $e$ について $\{p : p^2/2M = \lambda-e\}$ は球面（または 1 点・空集合）で測度 $0$ です。よって $H$ は固有値を持ちません。ファイバーでは固有値 $e_0+p^2/2M$ だったものが、全体では連続スペクトルの下端 $\inf\sigma(h)$ からの帯になります。重心が自由に運動するので、2 体系の全体が「束縛」されることはないのです。

注意 5.10（ファイバーが非自明に p に依存する系）

上の例ではファイバー $H(p)$ が $h$ を定数だけずらしたものなので、分解の効用は限られます。ファイバーが本質的に $p$ に依存するのは次のような系です。

• 周期ポテンシャル（Bloch–Floquet 分解）。 $V$ が $\mathbb{Z}^d$-周期的で有界なら、$-\Delta+V$ はブリルアン域上の直積分 $\int^\oplus H(k)\,dk$ に分解され、$H(k) = (-i\nabla+k)^2+V$ はトーラス上でコンパクトなレゾルベントを持ちます。その固有値 $E_1(k)\le E_2(k)\le\cdots$ は $k$ について連続で、ブリルアン域を $\mathcal{B}$ として $\sigma(-\Delta+V) = \bigcup_n E_n(\mathcal{B})$ がバンド構造になります（Reed–Simon IV §XIII.16）。
• 粒子と量子場の結合系。 粒子の運動量 $-i\nabla_x$ と場の運動量 $P_{\mathrm{f}} = \mathrm{d}\Gamma(k)$ の和である全運動量がハミルトニアンと可換な場合（ネルソン模型、ポーラロン、並進不変な Pauli–Fierz 模型）、ファイバーは $\mathcal{F}_{\mathrm{b}}$ 上の作用素 $H(P) = (P-P_{\mathrm{f}})^2/(2m) + \mathrm{d}\Gamma(\omega) + (\text{相互作用})$ になり、$P$ ごとの基底状態の存在が「ドレスされた粒子」の存在を意味します。

6. 演習

演習 6.1易

$\sigma_z = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$ とする。$\mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^2$ 上の $\sigma_z\otimes1+1\otimes\sigma_z$ と $\sigma_z\otimes\sigma_z$ のスペクトルを多重度込みで求め、定理 4.3 と 定理 4.4 の結論と比べよ。

解答

基底 $e_\pm\otimes e_\pm$（$\sigma_ze_\pm = \pm e_\pm$）で両方とも対角的です。和の固有値は $e_+\otimes e_+$ で $2$、$e_-\otimes e_-$ で $-2$、$e_+\otimes e_-$ と $e_-\otimes e_+$ で $0$（多重度 2）。積の固有値は $e_+\otimes e_+$, $e_-\otimes e_-$ で $1$、残り 2 つで $-1$（各多重度 2）。$\sigma(\sigma_z) = \{1,-1\}$ なので $\sigma+\sigma = \{-2,0,2\}$, $\sigma\cdot\sigma = \{-1,1\}$ と一致します。定理は多重度については何も言わないことに注意してください。和の固有値 $0$ の 2 重縮退は、$1+(-1)$ と $(-1)+1$ という 2 通りの分け方から生じています。

演習 6.2標準

$h = -d^2/dx^2 + x^2$ を $L^2(\mathbb{R})$ 上の自己共役作用素とし、エルミート関数 $(h_n)_{n\ge0}$ が $h$ の固有ベクトルからなる正規直交基底で $hh_n = (2n+1)h_n$ となることを認める。$L^2(\mathbb{R}^2)$ 上の $H = \overline{h\otimes1+1\otimes h}$ のスペクトルと各固有値の多重度を求めよ。

解答

定理 3.5 と 命題 3.3 により $(h_n\otimes h_m)_{n,m\ge0}$ は $L^2(\mathbb{R}^2)$ の正規直交基底で、$h_n\otimes h_m\in D(h)\otimes_{\mathrm{alg}}D(h)$ について $H(h_n\otimes h_m) = (2(n+m)+2)\,h_n\otimes h_m$ です。$\xi\in D(H)$ が $H\xi = \lambda\xi$ を満たすとき、$H$ の対称性から $(\lambda - 2(n+m) - 2)\langle h_n\otimes h_m,\xi\rangle = 0$ なので、固有空間は $2(n+m)+2 = \lambda$ を満たす基底ベクトルが張る空間です。よって $\sigma(H) = \{2N+2 : N = 0,1,2,\ldots\}$ で、$2N+2$ の多重度は $n+m = N$ の解の個数 $N+1$ です。定理 4.3 の 2 の $\overline{\sigma(h)+\sigma(h)}$ とも一致します。

演習 6.3標準

$A\in B(\mathcal{H})$ をコンパクト作用素、$\mathcal{K}$ を無限次元とする。$A\otimes1$ がコンパクトなら $A = 0$ であることを示せ。（$\mathcal{K}$ 方向が無限次元なので、$A$ の固有値 $\lambda\ne0$ は $A\otimes1$ では無限多重度になり、本質スペクトルに入る。）

解答

$A\ne0$ とし、$A\varphi\ne0$ となる $\varphi$ と $\mathcal{K}$ の正規直交系 $(f_k)$ を取ります。$\varphi\otimes f_k$ は $0$ に弱収束します（任意の単純テンソル $\eta\otimes\zeta$ との内積 $\langle\eta,\varphi\rangle\langle\zeta,f_k\rangle$ が Bessel の不等式で $0$ に行き、一様有界なので全体で弱収束）。コンパクト作用素は弱収束列をノルム収束列に写しますが、$(A\otimes1)(\varphi\otimes f_k) = A\varphi\otimes f_k$ は $\|A\varphi\otimes f_k - A\varphi\otimes f_j\| = \sqrt2\,\|A\varphi\|$ $(k\ne j)$ を満たし、$0$ に収束しません。矛盾です。

演習 6.4易

Fourier 変換によって $-d^2/dx^2$（$L^2(\mathbb{R})$ 上、定義域 $H^2$）が $\int^\oplus_{\mathbb{R}}k^2\,dk$（ファイバー $\mathbb{C}$）にユニタリ同値であることを用いて、定理 5.6 から $\sigma(-d^2/dx^2) = [0,\infty)$ と固有値が存在しないことを導け。

解答

ファイバー $\mathbb{C}$ 上の作用素は数 $k^2$ で、$\sigma(A(k)) = \{k^2\}$ です。$\lambda\ge0$ なら任意の $\varepsilon$ で $\{k : |k^2-\lambda|<\varepsilon\}$ は空でない開集合で正測度、$\lambda<0$ なら $\varepsilon = |\lambda|$ でその集合は空です。よって 1 から $\sigma = [0,\infty)$ です。$\lambda$ が固有値であるには $\{k : k^2 = \lambda\}$（高々 2 点）が正測度でなければならないので、2 から固有値はありません。これは 補題 2.2 を直接使った結論と一致します。

参考文献

• M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics I: Functional Analysis, revised and enlarged ed., Academic Press, 1980 — §II.4（テンソル積）、§VIII.10（作用素のテンソル積）。
• M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics IV: Analysis of Operators, Academic Press, 1978 — §XIII.16（直積分と周期的シュレーディンガー作用素）。
• K. Schmüdgen, Unbounded Self-adjoint Operators on Hilbert Space, Graduate Texts in Mathematics 265, Springer, 2012。
• J. Dixmier, Von Neumann Algebras, North-Holland, 1981（直積分の一般論）。
• 新井朝雄『ヒルベルト空間と量子力学』共立出版。