周期作用素と Bloch–Floquet 分解：直積分のスペクトル・バンド構造・Hill 方程式・Mathieu 方程式

0. この記事の要点

結晶の中の電子のように、同じ形のポテンシャルが一定の間隔でくり返される空間で量子力学を考えると、とりうるエネルギー（固有値）は連続した帯（バンド）になって並び、帯と帯の間にすき間（ギャップ）が空くことがあります。この記事は、その仕組みを「くり返しの対称性を使って、問題を準運動量 $k$（1 周期ぶんの移動で波に付く位相を表す数）ごとの小さな問題に分ける」という考え方で説明します。読み終えると、周期的な作用素のスペクトルを、$k$ ごとの固有値問題から（1 次元ならトレース 1 つ $\Delta(E)$ から）読み取れるようになります。

• 可分解作用素 $A=\int_M^\oplus A(x)\,d\mu$ のスペクトルは、ファイバー（各点 $x$ ごとの作用素 $A(x)$）のスペクトルの「本質的な合併」です。$\lambda\in\sigma(A)$ であるのは、$\lambda$ の任意の近傍と交わるファイバーのスペクトルが正測度の $x$ で現れるときで、固有値であるのは正測度の $x$ で $\lambda$ がファイバーの固有値になるときです。
• Bloch–Floquet–Gelfand 変換 $\mathcal{U}$ は、$L^2(\mathbb{R}^d)$ を Brillouin 域 $\mathcal{B}=[-\pi,\pi)^d$ 上のトーラス $L^2(\mathbb{T}^d)$ の直積分にユニタリ（内積を保つ全単射）に写します。Fourier 側から見ると $\hat\psi$ を $2\pi\mathbb{Z}^d$ ずつずらして束ねる操作で、Plancherel の定理と Poisson 和公式の言い換えです。
• 周期ポテンシャルの Schrödinger 作用素は $\int^\oplus_{\mathcal{B}}H(k)$、$H(k)=(-i\nabla+k)^2+V$ に分解され、$H(k)$ はコンパクトなレゾルベント（レゾルベントとは $(H(k)-z)^{-1}$ のことで、これがコンパクト作用素になる）をもちます。その固有値 $E_n(k)$ は連続で、$\sigma(H)=\bigcup_nE_n(\bar{\mathcal{B}})$ は閉区間（バンド）の合併です。格子 $\ell^2(\mathbb{Z})$ 上の周期作用素も同様に $q\times q$ 行列の族に分解されます。
• 1 次元では、Floquet 判別式 $\Delta(E)=\mathrm{tr}\,M(E)$（モノドロミー行列、すなわち解を 1 周期ぶん進める行列のトレース）を使って $\sigma(H)=\{E\in\mathbb{R}:|\Delta(E)|\le 2\}$ と書けます。バンド関数は $[0,\pi]$ 上で狭義単調で、バンドの端は周期・反周期固有値です。
• Mathieu 方程式 $y''+(a-2q\cos 2x)y=0$ の特性値 $a_n(q)$、$b_n(q)$ はバンドの端で、対称性で分けた部分空間の単純固有値なので $q$ について解析的です。前章の摂動級数から $a_0=-q^2/2+O(q^3)$、$a_1-b_1=2q+O(q^2)$ などが得られます。1 プラケットの格子ゲージ理論のハミルトニアンは Mathieu 作用素そのものです。

この記事で使う事前知識

• 直積分と可分解作用素: 各点 $x$ に Hilbert 空間を貼り合わせた空間と、各点で別々に働く作用素。→ 可分解作用素
• ユニタリ作用素: 内積を保つ全単射な作用素。→ ユニタリ
• 自己共役作用素: 対称で、定義域まで含めて共役と一致する作用素（実固有値をもつ観測量に対応）。→ 自己共役作用素
• コンパクト作用素: 有界集合を、閉包がコンパクトな集合に写す作用素。→ コンパクト作用素
• ミニマックス値: $n$ 番目の固有値を、$n$ 次元部分空間上での $\langle f,Af\rangle$ の最大値の最小として捉えたもの。→ ミニマックス値
• Fourier 係数: 周期関数を $e^{2\pi im\cdot x}$ で展開したときの係数。→ Fourier 係数

1. 動機

結晶中の電子は周期ポテンシャル $V$ の中を動きます。$V$ が格子 $\mathbb{Z}^d$ の平行移動で不変なので、ハミルトニアン $H=-\Delta+V$ は格子の平行移動 $T_n$ と可換です。可換な作用素は同時に「対角化」できるはずで、平行移動の固有値 $e^{-ik\cdot n}$ のラベル $k$（準運動量）ごとに問題を分けられるはずです。これが物理でいう Bloch の定理です（Bloch の定理とバンド理論）。

ただし $T_n$ の「固有関数」$e^{ik\cdot x}u(x)$（$u$ は周期関数）は $L^2(\mathbb{R}^d)$ に入らないので、固有ベクトルへの分解ではなく、直積分への分解として定式化する必要があります。Hilbert 空間のテンソル積と直積分 では直積分と可分解作用素を定義し、そのスペクトルについての定理 5.6［Hilbert 空間のテンソル積と直積分］ を証明の筋道だけ示して述べました。本記事はまずその証明を与え、それから周期作用素への応用に進みます。

1 次元では、ファイバーの固有値問題は常微分方程式の周期境界値問題になり、線形微分方程式系 の Floquet 理論と直結します。最後に扱う Mathieu 方程式は、周期ポテンシャル $\cos 2x$ の最も単純な例であると同時に、格子ゲージ理論で 1 つのプラケットだけを取り出したハミルトニアンでもあります。

2. 準備

$(M,\mu)$ を σ-有限測度空間、$\mathcal{H}'$ を可分な Hilbert 空間とし、正規直交基底 $(e_j)$ を固定します（正規直交基底）。直積分 $\mathcal{H}=\int_M^\oplus\mathcal{H}'\,d\mu=L^2(M,\mu;\mathcal{H}')$、可測性、可分解作用素の定義は 定義 5.3［Hilbert 空間のテンソル積と直積分］ と 定義 5.5［Hilbert 空間のテンソル積と直積分］ に従います。作用素値関数 $x\mapsto T(x)\in B(\mathcal{H}')$ が可測であるとは、すべての $u,v\in\mathcal{H}'$ について $x\mapsto\langle u,T(x)v\rangle$ が可測であることをいいます。自己共役作用素の族 $A(x)$ の直積分 $A=\int^\oplus A(x)\,d\mu$ の定義域は、$\psi(x)\in D(A(x))$ a.e.、$x\mapsto A(x)\psi(x)$ が可測、$\int\|A(x)\psi(x)\|^2d\mu<\infty$ を満たす $\psi$ の全体です。

可測な族の積は可測です。実際 $\langle u,S(x)T(x)v\rangle=\sum_j\langle u,S(x)e_j\rangle\langle e_j,T(x)v\rangle$ は可測関数の可算和です。同様に、可測な $\psi$ について $x\mapsto T(x)\psi(x)$ は可測です。各点で弱収束する可測な族の極限も可測です。

$D_0$ を、$e_j$ の有理複素係数の有限一次結合でノルムが $1$ 以下のものの全体とすると、$D_0$ は可算で、$\mathcal{H}'$ の単位閉球で稠密です。したがって

$$\|T(x)\|=\sup_{u,v\in D_0}|\langle u,T(x)v\rangle|$$

は可算個の可測関数の上限として可測です。

3. 可分解作用素のスペクトル

この節のねらいは、全体の作用素のノルム・レゾルベント・スペクトルを、各点のファイバーの情報から「ほとんどすべての $x$ での上限・下限」（ess sup、ess inf）として読み取ることです。$M$ が可算集合なら直和にすぎず、ファイバーごとに考えれば済みます。一般の $M$ で新しく必要になるのは、各点でとった量が $x$ について可測であることの確認で、証明の細かい部分の多くはそのためのものです。骨格は、各点のレゾルベントを束ねたものが全体のレゾルベントになる、という 1 の主張です。

補題 3.1（可分解作用素のノルム）✓

$x\mapsto T(x)$ を可測で $\mathrm{ess\,sup}_x\|T(x)\|<\infty$ とし、$T=\int^\oplus T(x)\,d\mu$ とする。このとき $\|T\|=\mathrm{ess\,sup}_x\|T(x)\|$ である。また $T^*=\int^\oplus T(x)^*d\mu$、$\int^\oplus S(x)\,d\mu\int^\oplus T(x)\,d\mu=\int^\oplus S(x)T(x)\,d\mu$ が成り立つ。

証明（補題 3.1）

$c_0=\mathrm{ess\,sup}\|T(x)\|$ とする。$\|T\psi\|^2=\int\|T(x)\psi(x)\|^2d\mu\le c_0^2\|\psi\|^2$ なので $\|T\|\le c_0$。逆に $c<c_0$ とすると、$\{x:\|T(x)\|>c\}$ は正測度で、§2 の表示からある $u,v\in D_0$ について $N=\{x:|\langle u,T(x)v\rangle|>c\}$ が正測度になる（可算個の集合の合併だから）。σ-有限性から $N'\subset N$ を $0<\mu(N')<\infty$ と取り、$\theta(x)$ を $\langle u,T(x)v\rangle$ の偏角の共役（絶対値 $1$ の可測関数）とする。$\varphi=1_{N'}\overline{\theta}\,u$（すなわち $\varphi(x)=1_{N'}(x)\overline{\theta(x)}u$）、$\psi=1_{N'}v$ とおくと

$$\langle\varphi,T\psi\rangle=\int_{N'}\theta(x)\langle u,T(x)v\rangle\,d\mu=\int_{N'}|\langle u,T(x)v\rangle|\,d\mu\ge c\,\mu(N'),$$

一方 $\|\varphi\|\|\psi\|\le\mu(N')$ なので $\|T\|\ge c$。$c<c_0$ は任意なので $\|T\|=c_0$。共役と積の公式は、各点 $x$ で内積を取れば直ちに従う。

∎

定理 3.2（可分解作用素のスペクトル）✓

$x\mapsto A(x)$ を $\mathcal{H}'$ 上の自己共役作用素の族で、$x\mapsto(A(x)-i)^{-1}$ が可測であるとし、$A=\int_M^\oplus A(x)\,d\mu$ とする。

1. すべての $z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}$ について $x\mapsto(A(x)-z)^{-1}$ は可測で、$A$ は自己共役、$(A-z)^{-1}=\int^\oplus(A(x)-z)^{-1}d\mu$ である。
2. $\lambda\in\mathbb{R}$ について $x\mapsto\mathrm{dist}(\lambda,\sigma(A(x)))$ は可測で、$\mathrm{dist}(\lambda,\sigma(A))=\mathrm{ess\,inf}_x\,\mathrm{dist}(\lambda,\sigma(A(x)))$。特に、$\lambda\in\sigma(A)$ であることと、任意の $\varepsilon>0$ で $\mu(\{x:\sigma(A(x))\cap(\lambda-\varepsilon,\lambda+\varepsilon)\ne\emptyset\})>0$ であることは同値である。
3. $x\mapsto E_{A(x)}(\{\lambda\})$ は可測で $E_A(\{\lambda\})=\int^\oplus E_{A(x)}(\{\lambda\})\,d\mu$。特に、$\lambda$ が $A$ の固有値であることと、$\mu(\{x:\lambda\ \text{は}\ A(x)\ \text{の固有値}\})>0$ は同値である。

証明（定理 3.2）

1。 $\|(A(x)-i)^{-1}\|\le 1$ なので、$|z-i|<1$ では Neumann 級数 $(A(x)-z)^{-1}=\sum_{n\ge0}(z-i)^n(A(x)-i)^{-n-1}$ が $x$ について一様にノルム収束し（作用素の収束と摂動 §2 の展開）、各項は可測な族の積なので左辺も可測である。中心 $w$（$\mathrm{Im}\,w>0$）で可測性が分かれば、半径 $\mathrm{Im}\,w$ の円板で同じ議論が使えるので、有限回の繰り返しで上半平面のすべての $z$ に及ぶ。下半平面は $(A(x)-\bar z)^{-1}=((A(x)-z)^{-1})^*$ による。

$z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}$ を固定し、$R=\int^\oplus(A(x)-z)^{-1}d\mu$ とおく（補題 3.1 により $\|R\|\le 1/|\mathrm{Im}\,z|$）。$\psi\in\mathcal{H}$ について $\psi'(x)=(A(x)-z)^{-1}\psi(x)\in D(A(x))$ で、$A(x)\psi'(x)=\psi(x)+z\psi'(x)$ は可測かつ二乗可積分なので $R\psi\in D(A)$、$(A-z)R\psi=\psi$。逆に $\psi\in D(A)$ なら各点で $(A(x)-z)^{-1}(A(x)-z)\psi(x)=\psi(x)$ なので $R(A-z)\psi=\psi$。よって $A-z$ は $D(A)$ から $\mathcal{H}$ への全単射で逆は $R$ である。$A$ は各点の内積を積分して対称であり、$D(A)=\mathrm{Ran}\,R(i)$ は、$\mathrm{Ran}\,R(i)^\perp=\mathrm{Ker}\,R(i)^*=\mathrm{Ker}\,R(-i)=\{0\}$ から稠密である。命題 2.2［自己共役性の判定］ (1) により $A$ は自己共役である。

2。 自己共役作用素 $T$ と $z\notin\sigma(T)$ について $\|(T-z)^{-1}\|=\mathrm{dist}(z,\sigma(T))^{-1}$ であり（関数計算による。前掲の記事の §2）、$S\subset\mathbb{R}$ なら $\mathrm{dist}(\lambda+i\eta,S)^2=\mathrm{dist}(\lambda,S)^2+\eta^2$ である。$\eta>0$ を固定すると $\delta(x)=\mathrm{dist}(\lambda,\sigma(A(x)))=(\|(A(x)-\lambda-i\eta)^{-1}\|^{-2}-\eta^2)^{1/2}$ は §2 により可測で、1 と 補題 3.1 から

$$\mathrm{dist}(\lambda,\sigma(A))^2+\eta^2=\|(A-\lambda-i\eta)^{-1}\|^{-2}=\Bigl(\mathrm{ess\,sup}_x\,(\delta(x)^2+\eta^2)^{-1/2}\Bigr)^{-2}=\mathrm{ess\,inf}_x\,\delta(x)^2+\eta^2 .$$

$\sigma(A(x))$ は閉集合なので、$\delta(x)<\varepsilon$ は $\sigma(A(x))\cap(\lambda-\varepsilon,\lambda+\varepsilon)\ne\emptyset$ と同値であり、後半が従う。

3。 $f_\eta(t)=-i\eta/(t-\lambda-i\eta)$ は $|f_\eta|\le 1$ で、$\eta\downarrow 0$ のとき $1_{\{\lambda\}}$ に各点収束する。関数計算（定理 6.2［スペクトル定理と関数計算］ の 3）により、$\eta_n\downarrow 0$ に沿って $f_{\eta_n}(A)\to E_A(\{\lambda\})$、各 $x$ で $f_{\eta_n}(A(x))\to E_{A(x)}(\{\lambda\})$ が強収束する。後者から $x\mapsto E_{A(x)}(\{\lambda\})$ は可測である。$\psi\in\mathcal{H}$ について、1 により $f_{\eta_n}(A)\psi=\int^\oplus f_{\eta_n}(A(x))\psi(x)$ であり、これは $L^2$ で $E_A(\{\lambda\})\psi$ に、各点で $E_{A(x)}(\{\lambda\})\psi(x)$ に収束する。$L^2$ 収束列の部分列は a.e. 収束するので、両者は a.e. で一致する。最後に 補題 3.1 から $\|E_A(\{\lambda\})\|=\mathrm{ess\,sup}_x\|E_{A(x)}(\{\lambda\})\|$ で、射影のノルムは $0$ か $1$ なので主張を得る。

∎

この定理で、定理 5.6［Hilbert 空間のテンソル積と直積分］ の証明が完結します。直和の場合（$M$ が可算集合で数え上げ測度）には「正測度」は「空でない」と同じなので、$\sigma(A)=\overline{\bigcup_x\sigma(A(x))}$ に戻ります。一般には零集合上のファイバーは効きません（例 5.8［Hilbert 空間のテンソル積と直積分］）。

4. Bloch–Floquet–Gelfand 変換

以下、格子は $\mathbb{Z}^d$、基本領域は $\Omega=[0,1)^d$、Brillouin 域は $\mathcal{B}=[-\pi,\pi)^d$ とし、$\mathcal{B}$ には正規化した測度 $dk/(2\pi)^d$ を入れます。$\mathbb{Z}^d$-周期関数は $\Omega$ 上の関数と同一視し、$L^2(\mathbb{T}^d)=L^2(\Omega)$、$e_m(x)=e^{2\pi im\cdot x}$（$m\in\mathbb{Z}^d$）と書きます。$\{e_m\}$ は $L^2(\Omega)$ の、$\{e^{-ik\cdot n}\}_{n\in\mathbb{Z}^d}$ は $L^2(\mathcal{B},dk/(2\pi)^d)$ の正規直交基底です。1 次元の場合は Parseval の等式（定理 5.1［フーリエ級数］）を変数の縮尺で移したもので、$d$ 次元ではその積が正規直交基底になります（命題 3.3［Hilbert 空間のテンソル積と直積分］ と 定理 3.5［Hilbert 空間のテンソル積と直積分］）。Fourier 変換は ℝⁿ 上のフーリエ変換 の規約 $\hat\psi(\xi)=\int\psi(y)e^{-i\xi\cdot y}dy$ に従います。

次の定義の考え方は、$\mathbb{R}^d$ 上の関数 $\psi$ を格子の 1 区画（$\Omega$）ごとに切り、すべての区画を $\Omega$ の上に重ねる（$\psi(x+n)$ を $n$ について集める）ことです。その際 $n$ ごとに位相 $e^{-ik\cdot n}$ を掛けて足すので、$n$ についての Fourier 級数の形になり、$n$ の代わりに $k$ が現れます。平行移動が $k$ ごとの位相を掛ける操作に変わるのは、この対応のためです。

定義 4.1（Bloch–Floquet–Gelfand 変換）↗

$\psi\in L^2(\mathbb{R}^d)$ に対し

$$(\mathcal{U}\psi)(k,x)=\sum_{n\in\mathbb{Z}^d}e^{-ik\cdot(x+n)}\,\psi(x+n)\qquad(k\in\mathcal{B},\ x\in\Omega)$$

と定める（級数は $L^2(\mathcal{B}\times\Omega,\ dk\,dx/(2\pi)^d)$ で収束する）。$k$ を準運動量という。

定理 4.2（Bloch–Floquet–Gelfand 変換のユニタリ性）✓

$\mathcal{U}$ は $L^2(\mathbb{R}^d)$ から $\int^\oplus_{\mathcal{B}}L^2(\mathbb{T}^d)\,\frac{dk}{(2\pi)^d}=L^2\bigl(\mathcal{B}\times\Omega,\frac{dk\,dx}{(2\pi)^d}\bigr)$ へのユニタリ作用素である。さらに次が成り立つ。

1. 格子の平行移動 $(T_n\psi)(x)=\psi(x-n)$ について $\mathcal{U}T_n\mathcal{U}^{-1}$ はファイバー $k$ ごとに $e^{-ik\cdot n}$ を掛ける作用素である。
2. $\mathbb{Z}^d$-周期な $V\in L^\infty$ について、$\mathcal{U}V\mathcal{U}^{-1}$ は各ファイバーで $V(x)$ を掛ける作用素である。
3. $\psi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^d)$ なら、定義の級数は $x$ について何回微分しても絶対一様収束し、

$$(\mathcal{U}\psi)(k,x)=\sum_{m\in\mathbb{Z}^d}\hat\psi(k+2\pi m)\,e^{2\pi im\cdot x}.$$

証明（定理 4.2）

ユニタリ性。 $\mathbb{R}^d$ は $\Omega+n$（$n\in\mathbb{Z}^d$）で互いに素に覆われるので、$J\psi(x)=(\psi(x+n))_{n}$ は $L^2(\mathbb{R}^d)$ から $L^2(\Omega;\ell^2(\mathbb{Z}^d))=L^2(\Omega)\otimes\ell^2(\mathbb{Z}^d)$ へのユニタリである。$F:\ell^2(\mathbb{Z}^d)\to L^2(\mathcal{B},dk/(2\pi)^d)$、$(c_n)\mapsto\sum_nc_ne^{-ik\cdot n}$ は正規直交基底の対応なのでユニタリで、$1\otimes F$ も $L^2(\Omega)\otimes\ell^2\to L^2(\Omega)\otimes L^2(\mathcal{B})=L^2(\Omega\times\mathcal{B})$ のユニタリである。最後に $e^{-ik\cdot x}$ を掛けるのはユニタリなので、合成 $\mathcal{U}$ はユニタリである。

1・2。 $J(T_n\psi)$ は $J\psi$ の添字を $n$ だけずらしたもので、$F$ を通すと $e^{-ik\cdot n}$ 倍になる。$V$ が周期的なら $J(V\psi)(x)=V(x)J\psi(x)$ で、$V(x)$ 倍は $1\otimes F$ と $e^{-ik\cdot x}$ 倍の両方と可換である。

3。 $\psi$ が急減少なので級数は微分も込めて絶対一様収束し、$\mathcal{U}\psi(k,\cdot)$ は滑らかな周期関数である。その Fourier 係数は、$e^{-2\pi im\cdot x}=e^{-2\pi im\cdot(x+n)}$ を使って和と積分を入れ替えると

$$\int_\Omega(\mathcal{U}\psi)(k,x)e^{-2\pi im\cdot x}dx=\sum_n\int_\Omega e^{-i(k+2\pi m)\cdot(x+n)}\psi(x+n)\,dx=\int_{\mathbb{R}^d}e^{-i(k+2\pi m)\cdot y}\psi(y)\,dy=\hat\psi(k+2\pi m).$$

$\hat\psi\in\mathcal{S}$ なので $\sum_m|\hat\psi(k+2\pi m)|<\infty$ で、右辺の級数は同じ Fourier 係数をもつ連続周期関数に一様収束する。連続関数は Fourier 係数で決まる（命題 7.1［フーリエ級数］ を周期 $1$ に縮尺したもの）ので両者は等しい。

∎

3 で $k=0$、$x=0$ とすると $\sum_n\psi(n)=\sum_m\hat\psi(2\pi m)$ で、これは Poisson 和公式（定理 6.1［ℝⁿ 上のフーリエ変換］）を周期 $1$ に縮尺したものです。また 3 と Parseval の等式から $\|\mathcal{U}\psi\|^2=\int_{\mathcal{B}}\sum_m|\hat\psi(k+2\pi m)|^2\frac{dk}{(2\pi)^d}=(2\pi)^{-d}\|\hat\psi\|^2$ で、ユニタリ性は Plancherel の定理（定理 4.1［ℝⁿ 上のフーリエ変換］）の言い換えでもあります。Fourier 側で見ると、$\mathcal{U}$ は運動量空間 $\mathbb{R}^d$ を Brillouin 域の平行移動 $\mathcal{B}+2\pi m$ に切り分けて、同じ $k$ の上に積み重ねる操作です。

5. 周期 Schrödinger 作用素のバンド構造

$V\in L^\infty(\mathbb{R}^d)$ を実数値で $\mathbb{Z}^d$-周期とし、$H=-\Delta+V$（$D(H)=H^2(\mathbb{R}^d)$）とします。$V$ が有界なので $H$ は自己共役です。ファイバーの空間 $L^2(\mathbb{T}^d)$ では、Fourier 係数 $f_m=\langle e_m,f\rangle$ を使って

$$H^2(\mathbb{T}^d)=\Bigl\{f:\ \sum_m(1+|m|^2)^2|f_m|^2<\infty\Bigr\},\qquad H_0(k)f=\sum_m|k+2\pi m|^2f_me_m$$

と定め、$H(k)=H_0(k)+V$（$D(H(k))=H^2(\mathbb{T}^d)$）とおきます。$H_0(k)$ は形式的には $(-i\nabla+k)^2$ で、$\|(-i\nabla+k)f\|^2=\sum_m|k+2\pi m|^2|f_m|^2$ と書きます。

次の定理は、$H$ が確かに $k$ ごとの $H(k)$ に分かれ、各 $H(k)$ が固有値を離散的に並べられるよい作用素であることを述べます。証明の 1 は $H_0(k)$ の対角性と $V$ の有界性を使う計算、2 は §4 の定理の 3（Fourier 側の表示）で $-\Delta$ が $H_0(k)$ に移ることを確かめる計算です。2 に出てくる「芯」とは、その上で閉包をとると元の作用素に戻る、扱いやすい部分的な定義域のことです。

定理 5.1（周期 Schrödinger 作用素のファイバー分解）✓

1. 各 $H(k)$ は自己共役で $H(k)\ge-\|V\|_\infty$、レゾルベントはコンパクトである。$z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}$ について $k\mapsto(H(k)-z)^{-1}$ はノルム連続である。
2. $\mathcal{U}H\mathcal{U}^{-1}=\int^\oplus_{\mathcal{B}}H(k)\,\frac{dk}{(2\pi)^d}$。

証明（定理 5.1）

1。 $H_0(k)$ は基底 $\{e_m\}$ で対角な実数の掛け算作用素なので、$\{f:\sum|k+2\pi m|^4|f_m|^2<\infty\}=H^2(\mathbb{T}^d)$ 上で自己共役で、$H_0(k)\ge 0$。$V$ は有界な対称作用素なので $H(k)$ も同じ定義域で自己共役で $H(k)\ge-\|V\|_\infty$。$(H_0(k)+1)^{-1}$ は対角成分 $(|k+2\pi m|^2+1)^{-1}\to 0$ の対角作用素なのでコンパクトであり（命題 3.6［コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス］）、$|\mathrm{Im}\,z|>\|V\|_\infty$ では

$$(H(k)-z)^{-1}=(H_0(k)-z)^{-1}\bigl(1+V(H_0(k)-z)^{-1}\bigr)^{-1}$$

（Neumann 級数）がコンパクト作用素と有界作用素の積としてコンパクトである。他の $z$ にはレゾルベント恒等式 $(H(k)-z)^{-1}=(H(k)-w)^{-1}(1+(z-w)(H(k)-z)^{-1})$ で移る。

連続性: $g_m(k)=(|k+2\pi m|^2-z)^{-1}$ とおき、$c_z=\sup_{t\ge0}t/|t^2-z|<\infty$ とすると、

$$|g_m(k)-g_m(k')|=\bigl||k+2\pi m|^2-|k'+2\pi m|^2\bigr|\,|g_m(k)||g_m(k')|\le|k-k'|\,\frac{2c_z}{|\mathrm{Im}\,z|}$$

が $m$ によらず成り立つので、$(H_0(k)-z)^{-1}$ はノルム連続である。上の Neumann 級数の表示から、$|\mathrm{Im}\,w|>\|V\|_\infty$ なる $w$ で $(H(k)-w)^{-1}$ はノルム連続で、一般の $z$ では $(H(k)-z)^{-1}=\bigl(1-(z-w)(H(k)-w)^{-1}\bigr)^{-1}(H(k)-w)^{-1}$ と可逆元の逆の連続性（系 6.2［有界作用素と共役作用素］ と Neumann 級数）から連続である。

2。 1 から $k\mapsto(H(k)-i)^{-1}$ は可測なので、定理 3.2 により $H^\oplus=\int^\oplus H(k)$ は自己共役である。$\psi\in\mathcal{S}$ について、定理 4.2 の 3 と $(-\Delta\psi)^\wedge(\xi)=|\xi|^2\hat\psi(\xi)$ から $\mathcal{U}(-\Delta\psi)(k)=H_0(k)\,\mathcal{U}\psi(k)$、2 から $\mathcal{U}(V\psi)(k)=V\,\mathcal{U}\psi(k)$。よって $H^\oplus$ は $\mathcal{U}(H|_{\mathcal{S}})\mathcal{U}^{-1}$ の拡大である。$\mathcal{S}$ は $-\Delta$ の芯（Fourier 変換で掛け算作用素に移すと明らか）で、$V$ が有界なので $H$ の芯でもある。$H^\oplus$ は閉なので $\mathcal{U}H\mathcal{U}^{-1}\subset H^\oplus$ で、両辺とも自己共役だから等しい（自己共役作用素は真の対称拡大をもたない）。

∎

$H(k)$ の固有値を重複度込みで小さい順に $E_1(k)\le E_2(k)\le\cdots$ と並べます。$H(k)$ はコンパクトなレゾルベントをもつので、これらはミニマックス値（定理 6.3［作用素の収束と摂動］）に一致し、$n\to\infty$ で $+\infty$ に発散します。$E_n$ を バンド関数 と呼びます。

定理 5.2（バンド構造）✓

1. 各 $E_n$ は $\mathbb{R}^d$ 上の連続関数で、$E_n(k+2\pi m)=E_n(k)$、$E_n(-k)=E_n(k)$ を満たす。
2. $\inf_{k}E_n(k)\to\infty$（$n\to\infty$）。
3. $\sigma(H)=\bigcup_{n\ge1}E_n(\bar{\mathcal{B}})$ で、各 $E_n(\bar{\mathcal{B}})$ は閉区間（第 $n$ バンド）である。

連続性の証明では、$k$ を少しずらしたときの運動エネルギー $\|(-i\nabla+k)f\|^2$ の変化を、ずらした幅 $t=|k-k'|$ で評価し、ミニマックス値の定義に入れます。不等式 $(s+t)^2\le(1+t)s^2+t+t^2$ は、$\|(-i\nabla+k')f\|\le s+t$（$s=\|(-i\nabla+k)f\|$）の二乗をそろえるための評価です。

証明（定理 5.2）

1。 $f\in H^2(\mathbb{T}^d)$、$\|f\|=1$ について、係数の計算から $\langle f,H(k)f\rangle=\|(-i\nabla+k)f\|^2+\langle f,Vf\rangle$。$t=|k-k'|$ とすると、$\ell^2$ の三角不等式で $\|(-i\nabla+k')f\|\le\|(-i\nabla+k)f\|+t$ なので、$(s+t)^2\le(1+t)s^2+t+t^2$ を使って

$$\langle f,H(k')f\rangle\le(1+t)\langle f,H(k)f\rangle+t\bigl(\|V\|_\infty+1+t\bigr).$$

$D(H(k))=D(H(k'))$ なので、ミニマックス値の定義（定義 6.1［作用素の収束と摂動］）からただちに $E_n(k')\le(1+t)E_n(k)+t(\|V\|_\infty+1+t)$。$k,k'$ を入れ替えれば $E_n$ の連続性を得る。$e_m$ を掛ける作用素はユニタリで $e_{-m}H(k)e_m=H(k+2\pi m)$（係数の添字がずれる）、複素共役 $C$ について $CH(k)C=H(-k)$（$V$ は実数値）なので、固有値は一致する。

2。 上と同様に $\langle f,H(k)f\rangle\ge\langle f,H_0(k)f\rangle-\|V\|_\infty$ から $E_n(k)\ge E^{(0)}_n(k)-\|V\|_\infty$ で、$E^{(0)}_n(k)$ は $\{|k+2\pi m|^2\}_m$ を小さい順に並べた $n$ 番目である。$k\in\bar{\mathcal{B}}$ で $|k+2\pi m|^2\le R$ となる $m$ の個数は $|2\pi m|\le\sqrt R+\pi\sqrt d$ を満たす $m$ の個数以下で、$k$ によらない有限数 $N(R)$ で押さえられる。$n>N(R)$ なら $E_n^{(0)}(k)>R$ なので主張が従う。

3。 定理 5.1 と 定理 3.2 の 2 から、$\lambda\in\sigma(H)$ は「任意の $\varepsilon>0$ で $\{k\in\mathcal{B}:\exists n,\ |E_n(k)-\lambda|<\varepsilon\}$ が正測度」と同値である。$\lambda=E_n(k_0)$（$k_0\in\bar{\mathcal{B}}$）なら、連続性から $k_0$ の近傍で $|E_n(k)-\lambda|<\varepsilon$ で、その近傍と $\mathcal{B}$ の共通部分は正測度なので $\lambda\in\sigma(H)$。逆に $\lambda\in\sigma(H)$ なら、各 $j$ について $k_j\in\mathcal{B}$、$n_j$ で $|E_{n_j}(k_j)-\lambda|<1/j$ となるものがある。2 から $n_j$ は有界なので、部分列で $n_j=n$ は一定、$k_j\to k^*\in\bar{\mathcal{B}}$ とでき、連続性から $E_n(k^*)=\lambda$。$\bar{\mathcal{B}}$ はコンパクトかつ連結なので $E_n(\bar{\mathcal{B}})$ は閉区間で、2 からこれらの合併は局所有限、したがって閉集合である。

∎

例 5.3（自由粒子のバンドの折りたたみ）

$d=1$、$V=0$ とすると $E_n(k)$ は $\{(k+2\pi m)^2\}_{m\in\mathbb{Z}}$ を小さい順に並べたもので、$k\in[0,\pi]$ では $E_1=k^2$、$E_2=(k-2\pi)^2$、$E_3=(k+2\pi)^2$、… となる。バンドは $[0,\pi^2]$、$[\pi^2,4\pi^2]$、$[4\pi^2,9\pi^2]$、… で隣どうしが端点で接し、合併は $[0,\infty)=\sigma(-d^2/dx^2)$ である。放物線 $\xi^2$ を $2\pi$ ごとに切って $\mathcal{B}$ に折りたたんだ図がバンド図であり、$V\ne 0$ にすると一般に接点で隙間（ギャップ）が開く（§7 の図）。

注意 5.4（平らなバンドはない）

定理 3.2 の 3 から、$\lambda$ が $H$ の固有値であることは、あるバンド関数が正測度の集合上で $\lambda$ に等しいことと同値である。Thomas（1973 年）は、$H(k)$ を複素の $k$ に解析接続して、周期 Schrödinger 作用素ではこれが起こらないこと、すなわち $\sigma(H)$ が純粋に絶対連続であることを示した（Reed–Simon IV §XIII.16）。結晶中の電子は局在しない、という主張の数学的な形である。一方、次節のような格子上の作用素では、格子の形（Lieb 格子など）によっては平らなバンド、すなわち無限に縮退した固有値が実際に現れる。

6. 格子上の Bloch 分解

格子 $\mathbb{Z}$ 上の離散 Schrödinger 作用素

$$(h\psi)(n)=\psi(n+1)+\psi(n-1)+V(n)\psi(n)\qquad(\psi\in\ell^2(\mathbb{Z}))$$

を考えます。$V$ は実数値で周期 $q\in\mathbb{N}$ をもつ（$V(n+q)=V(n)$）とします。$h$ は $\|h\|\le 2+\max|V|$ の有界な自己共役作用素です。周期 $q$ の平行移動で不変なので、準運動量は $\mathcal{B}_q=[-\pi/q,\pi/q)$ を動き、各ファイバーは $q$ 次元になります。

定理 6.1（格子上の Bloch 分解）✓

$\psi\in\ell^2(\mathbb{Z})$ に対し

$$(\mathcal{U}_q\psi)(k,j)=\sum_{l\in\mathbb{Z}}e^{-ik(j+ql)}\psi(j+ql)\qquad(k\in\mathcal{B}_q,\ j\in\mathbb{Z})$$

と定めると、これは $j$ について周期 $q$ で、$\mathcal{U}_q$ は $\ell^2(\mathbb{Z})$ から $\int^\oplus_{\mathcal{B}_q}\mathbb{C}^q\,\frac{q\,dk}{2\pi}$ へのユニタリである（$\mathbb{C}^q$ は $\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$ 上の関数の空間）。さらに $\mathcal{U}_qh\,\mathcal{U}_q^{-1}=\int^\oplus h(k)\frac{q\,dk}{2\pi}$ で、ファイバーは $q\times q$ の Hermite 行列

$$(h(k)\varphi)(j)=e^{ik}\varphi(j+1)+e^{-ik}\varphi(j-1)+V(j)\varphi(j)\qquad(j\in\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})$$

である。$h(k)$ の固有値を $E_1(k)\le\dots\le E_q(k)$ とすると、これらは連続で、$\sigma(h)=\bigcup_{n=1}^qE_n(\bar{\mathcal{B}}_q)$ は高々 $q$ 個の閉区間の合併である。

証明（定理 6.1）

周期性は $l$ の付け替えで分かる。ユニタリ性は 定理 4.2 と同じで、$\psi\mapsto(\psi(j+ql))_{j,l}$ は $\ell^2(\mathbb{Z})\cong\mathbb{C}^q\otimes\ell^2(\mathbb{Z})$ のユニタリ、$\{e^{-ikql}\}_l$ は $L^2(\mathcal{B}_q,q\,dk/2\pi)$ の正規直交基底（$\theta=qk$ と置けば 定理 5.1［フーリエ級数］）、$e^{-ikj}$ を掛けるのはユニタリである。有限個の成分しかもたない $\psi$ について

$$(\mathcal{U}_qh\psi)(k,j)=\sum_le^{-ik(j+ql)}\bigl(\psi(j+ql+1)+\psi(j+ql-1)+V(j)\psi(j+ql)\bigr)=e^{ik}(\mathcal{U}_q\psi)(k,j+1)+e^{-ik}(\mathcal{U}_q\psi)(k,j-1)+V(j)(\mathcal{U}_q\psi)(k,j)$$

で、両辺とも有界作用素なので稠密集合上の一致から全体で一致する。$h(k)^*=h(k)$ は $(e^{ik})^*=e^{-ik}$ から分かる。Hermite 行列 $A,B$ の小さい順の $n$ 番目の固有値について、ミニマックス値の定義と $\langle\psi,A\psi\rangle\le\langle\psi,B\psi\rangle+\|A-B\|$ から $|E_n(A)-E_n(B)|\le\|A-B\|$ なので、$E_n(k)$ は連続である。スペクトルの記述は 定理 5.2 の 3 の証明と同じ（$n$ は $q$ 個しかないので 2 は不要）である。

∎

例 6.2（交互ポテンシャルとギャップ）

$q=1$、$V=0$ なら $h(k)=2\cos k$ で $\sigma(h)=[-2,2]$ である。$q=2$、$V(0)=v$、$V(1)=-v$（$v>0$）とすると、$j\in\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ では $\varphi(j+1)=\varphi(j-1)$ なので

$$h(k)=\begin{pmatrix}v&2\cos k\\2\cos k&-v\end{pmatrix},\qquad E_\pm(k)=\pm\sqrt{v^2+4\cos^2k}\quad(k\in[-\pi/2,\pi/2)).$$

$\cos^2k$ は $[0,1]$ を動くので $\sigma(h)=[-\sqrt{v^2+4},-v]\cup[v,\sqrt{v^2+4}]$ で、幅 $2v$ のギャップが開く。$v\to 0$ では二つのバンドが $k=\pm\pi/2$（Brillouin 域の端）で接し、$[-2,2]$ に戻る。周期を 2 倍にしたことで $q=1$ のバンドが $\mathcal{B}_2$ に折りたたまれ、その折り目でギャップが開く、という §5 の例と同じ構図である。

格子ゲージ理論や格子フェルミオンでは、ハミルトニアンを運動量で分解するときにこの形の分解を使います。ファイバーが有限行列なので、スペクトルの計算は $k$ ごとの行列の対角化に帰着します。

7. Hill 方程式と Floquet 判別式

1 次元 $d=1$ では、ファイバーの固有値問題を常微分方程式の言葉で完全に書けます。以下、$V$ は実数値の連続関数で周期 $1$ とし、$H=-d^2/dx^2+V$ とします（$V$ は有界なので §5 が適用できる）。$E\in\mathbb{C}$ に対し、$-y''+Vy=Ey$（すなわち Hill 方程式 $y''+(E-V)y=0$）の解で

$$c(0)=1,\ c'(0)=0;\qquad s(0)=0,\ s'(0)=1$$

を満たすものを $c(x,E)$、$s(x,E)$ とし、

$$M(E)=\begin{pmatrix}c(1,E)&s(1,E)\\c'(1,E)&s'(1,E)\end{pmatrix},\qquad \Delta(E)=c(1,E)+s'(1,E)$$

をそれぞれモノドロミー行列、Floquet 判別式といいます（線形微分方程式系 のモノドロミー行列 補題 5.1［線形微分方程式系］ と判別式に一致する）。

補題 7.1（判別式の性質）✓

$\det M(E)=1$ である。$c(x,E)$、$s(x,E)$ とその $x$ 微分は各 $x$ で $E$ の整関数で、特に $\Delta$ は整関数であり、実数 $E$ に対して実数値をとる。

証明（補題 7.1）

Wronski 行列式 $W=cs'-c's$ は $W'=cs''-c''s=c(V-E)s-(V-E)cs=0$ なので $W\equiv W(0)=1$、これが $\det M(E)$ である（Liouville の公式 定理 2.3［線形微分方程式系］ の特別な場合）。$c$ は積分方程式 $c(x,E)=1+\int_0^x(x-t)(V(t)-E)c(t,E)\,dt$ の解で、Picard 反復 $c_{j+1}=1+\int_0^x(x-t)(V-E)c_j\,dt$（定理 9.1［解の存在と一意性］）の各項は $E$ の多項式である。$|E|\le R$、$0\le x\le 1$ で $K=\max|V|+R$ とすると $|c_{j+1}-c_j|\le K^{j+1}x^{2j+2}/(2j+2)!$ が帰納法で示せるので、反復は $E$ について広義一様に収束し、極限は整関数である。$c'$、$s$、$s'$ も同様。$E$ が実数なら方程式も初期値も実数なので解は実数値である。

∎

次の定理の方針は、固有値問題 $H(k)\varphi=E\varphi$ を、解を 1 周期ぶん進める行列 $M(E)$ の固有値の問題に言い換えることです。$y(x+1)=e^{ik}y(x)$ を満たす解があることは、$M(E)$ が固有値 $e^{ik}$ をもつことと同じで、$\det M=1$ から固有値は $\rho$ と $1/\rho$ の組なので、条件は $\Delta(E)=e^{ik}+e^{-ik}=2\cos k$ だけになります。

定理 7.2（Hill 作用素のスペクトル）✓

1. $k\in\mathbb{R}$、$E\in\mathbb{R}$ について、$E$ がファイバー $H(k)$ の固有値であることと $\Delta(E)=2\cos k$ は同値である。
2. $\sigma(H)=\{E\in\mathbb{R}:|\Delta(E)|\le 2\}$。
3. $k\in(0,\pi)$ では $H(k)$ の固有値はすべて単純で、各バンド関数 $E_n$ は $[0,\pi]$ 上で狭義単調である。第 $n$ バンドは $E_n(0)$ と $E_n(\pi)$ を端点とする閉区間で、$E_n(0)$ は $\Delta(E)=2$ の根（周期固有値）、$E_n(\pi)$ は $\Delta(E)=-2$ の根（反周期固有値）である。

証明（定理 7.2）

ファイバーと微分方程式。 $\varphi\in H^2(\mathbb{T})$ なら $\sum(1+|m|)|\varphi_m|\le\bigl(\sum(1+m^2)^2|\varphi_m|^2\bigr)^{1/2}\bigl(\sum(1+|m|)^2(1+m^2)^{-2}\bigr)^{1/2}<\infty$（Cauchy–Schwarz）なので $\varphi$ と $\varphi'$ は絶対収束する Fourier 級数で表される連続関数で、$H_0(k)\varphi=-\varphi''-2ik\varphi'+k^2\varphi$（$\varphi''$ は弱微分）。$H(k)\varphi=E\varphi$ なら $\varphi''=-2ik\varphi'+(k^2+V-E)\varphi$ は連続なので $\varphi\in C^2$ で、$y(x)=e^{ikx}\varphi(x)$ は

$$y''=e^{ikx}(\varphi''+2ik\varphi'-k^2\varphi)=(V-E)y,\qquad y(x+1)=e^{ik}y(x)$$

を満たす。逆にこの二つを満たす $C^2$ 級の $y\ne 0$ があれば、$\varphi=e^{-ikx}y$ は周期的な $C^2$ 関数で $H(k)\varphi=E\varphi$ である。

Floquet 乗数。 解 $y$ について $z(x)=y(x+1)$ も同じ方程式を満たし（$V$ の周期性）、初期値は $(z(0),z'(0))^{\mathsf T}=M(E)(y(0),y'(0))^{\mathsf T}$ である。解の一意性から、$y(x+1)=\rho y(x)$ は $(y(0),y'(0))^{\mathsf T}$ が $M(E)$ の固有値 $\rho$ の固有ベクトルであることと同値である。$\det M(E)=1$ なので固有多項式は $\rho^2-\Delta(E)\rho+1$ で、$\rho=e^{ik}$ が根であることは $\Delta(E)=e^{ik}+e^{-ik}=2\cos k$ と同値である。以上で 1 が示された。

2。 定理 5.2 の 3 から $\sigma(H)=\bigcup_{k\in[-\pi,\pi]}\sigma(H(k))$ で、1 からこれは $\{E\in\mathbb{R}:\Delta(E)\in[-2,2]\}$ に等しい。

3。 $k\in(0,\pi)$ なら $e^{ik}\ne e^{-ik}$ は $M(E)$ の相異なる固有値なので、$e^{ik}$ の固有空間は 1 次元で、$y(x+1)=e^{ik}y(x)$ を満たす解の空間も 1 次元、すなわち固有値は単純である。$k_1,k_2\in[0,\pi]$ で $E_n(k_1)=E_n(k_2)=E$ なら、1 から $2\cos k_1=\Delta(E)=2\cos k_2$ で、$\cos$ は $[0,\pi]$ で単射なので $k_1=k_2$。連続な単射 $E_n:[0,\pi]\to\mathbb{R}$ は狭義単調である。$E_n$ は偶関数（定理 5.2 の 1）なので $E_n([-\pi,\pi])=E_n([0,\pi])$ は $E_n(0)$ と $E_n(\pi)$ を端点とする閉区間で、1 から $\Delta(E_n(0))=2$、$\Delta(E_n(\pi))=-2$。

∎

V(x) = 14 cos 2πx に対する Floquet 判別式 Δ(E) の数値計算。水平線は Δ = ±2。|Δ| ≤ 2 となる E の区間（太線）がバンドで、その間がギャップである。Δ = 2 の点は周期固有値、Δ = −2 の点は反周期固有値に対応する。E が大きくなるとギャップは急速に狭くなる（3 番目のギャップは E ≈ 89 付近で、図の解像度ではほとんど見えない）。

注意 7.3

定理 6.1［線形微分方程式系］ によれば、$|\Delta(E)|<2$ ではすべての解が有界、$|\Delta(E)|>2$ では指数関数的に増大する解がある。したがって 定理 7.2 の 2 は、「$E$ がスペクトルに属するのは、方程式 $-y''+Vy=Ey$ が有界な解（Bloch 波）をもつときである」と言い換えられる。有界だが二乗可積分でない解が「一般化固有関数」としてスペクトルを支えている、という見方は、周期的でない作用素にも一般化される（Schnol の定理）。

8. Mathieu 方程式の特性値

周期ポテンシャルとして最も単純な $\cos$ を取ったものが Mathieu 方程式

$$y''+(a-2q\cos 2x)\,y=0\qquad(q\in\mathbb{R})$$

です。作用素で書けば $H_q=-d^2/dx^2+2q\cos 2x$ の固有値方程式 $H_qy=ay$ で、周期は $\pi$ です。§7 の議論は周期 $\pi$ でも（変数の縮尺により）そのまま成り立ち、判別式は $\Delta(a)=c(\pi,a)+s'(\pi,a)$、準運動量は $y(x+\pi)=e^{i\pi k}y(x)$（$k\in[-1,1]$）で表されます。$k=0$ のファイバーは周期 $\pi$ の関数、$k=1$ のファイバーは反周期 $\pi$（$y(x+\pi)=-y(x)$）の関数の空間です。

両方をまとめて $2\pi$-周期関数の空間 $L^2(0,2\pi)$ 上の $H_q$（定義域 $H^2$）を考えます。$\cos 2x\cos nx=\frac12(\cos(n+2)x+\cos(n-2)x)$、$\cos 2x\sin nx=\frac12(\sin(n+2)x+\sin(n-2)x)$ なので、次の四つの閉部分空間はそれぞれ $H_q$ を簡約します（射影は対称性 $f(x)\mapsto f(-x)$、$f(x)\mapsto f(x+\pi)$ で書けるので $H_q$ と可換です）。

$$\mathcal{C}_+=\overline{\mathrm{span}}\{\cos 2mx\}_{m\ge0},\quad\mathcal{C}_-=\overline{\mathrm{span}}\{\cos(2m+1)x\}_{m\ge0},\quad\mathcal{S}_+=\overline{\mathrm{span}}\{\sin 2mx\}_{m\ge1},\quad\mathcal{S}_-=\overline{\mathrm{span}}\{\sin(2m+1)x\}_{m\ge0}.$$

$\mathcal{C}_\pm$ は偶関数、$\mathcal{S}_\pm$ は奇関数、添字 $+$ は周期 $\pi$、$-$ は反周期 $\pi$ の関数からなります。

定義 8.1（Mathieu の特性値）↗

$H_q$ を $\mathcal{C}_+$ に制限した作用素の固有値を小さい順に $a_0(q)<a_2(q)<a_4(q)<\cdots$、$\mathcal{C}_-$ では $a_1(q)<a_3(q)<\cdots$、$\mathcal{S}_+$ では $b_2(q)<b_4(q)<\cdots$、$\mathcal{S}_-$ では $b_1(q)<b_3(q)<\cdots$ と書き、Mathieu の特性値という。$a_n$ には偶関数の、$b_n$ には奇関数の固有関数（Mathieu 関数 $\mathrm{ce}_n$、$\mathrm{se}_n$）が対応する。

命題 8.2（特性値の基本性質）✓

1. 四つの部分空間のそれぞれで、$H_q$ の固有値はすべて単純である（定義の不等号が狭義であることはこれによる）。
2. $a_n(0)=b_n(0)=n^2$。
3. $q\mapsto a_n(q)$、$b_n(q)$ は $\mathbb{R}$ 上で実解析的である。
4. $a_{2m}(-q)=a_{2m}(q)$、$b_{2m}(-q)=b_{2m}(q)$、$a_{2m+1}(-q)=b_{2m+1}(q)$。
5. 周期 $\pi$ の Hill 作用素 $H_q$ の周期固有値は $\{a_{2m}\}\cup\{b_{2m}\}$、反周期固有値は $\{a_{2m+1}\}\cup\{b_{2m+1}\}$ で、これらが $\sigma(H_q)$ のバンドの端点である。

証明（命題 8.2）

1。 定理 7.2 の証明と同じく固有関数は $C^2$ 級である。$\mathcal{C}_\pm$ の固有関数は偶関数なので $y'(0)=0$ を満たし、2 階の線形方程式の解で $y'(0)=0$ となるものは $y(0)$ で決まるから、固有空間は 1 次元である。$\mathcal{S}_\pm$ では $y(0)=0$ を使う。

2。 $q=0$ では $\cos nx$、$\sin nx$ が固有値 $n^2$ の固有関数である。

3。 $B=2\cos 2x$ は $\|B\|=2$ の有界な対称作用素で、各部分空間で $H_q=H_{q_0}+(q-q_0)B$ である。小さい順の $j$ 番目の固有値を $\lambda_j(q)$ とすると、定理 6.1 の証明と同じミニマックスの議論から $|\lambda_j(q)-\lambda_j(q')|\le 2|q-q'|$。$q_0$ を固定すると $\lambda_0(q_0)<\lambda_1(q_0)<\cdots$ は単純な孤立固有値なので、定理 5.4［作用素の収束と摂動］ の 4 により、$q_0$ の近くで各 $\lambda_j(q_0)$ の近傍にただ一つの固有値が $q$ について実解析的に動く。$\lambda_j$ の連続性と 1（交差しない）から、その枝は $\lambda_j(q)$ そのものである。

4。 $f(x)\mapsto f(x+\pi/2)$ はユニタリで $\cos 2x$ を $-\cos 2x$ に変え、$H_q$ を $H_{-q}$ に移す。$\cos 2m(x+\pi/2)=(-1)^m\cos 2mx$ なので $\mathcal{C}_+$、$\mathcal{S}_+$ は保たれ、$\cos(2m+1)(x+\pi/2)=(-1)^{m+1}\sin(2m+1)x$ なので $\mathcal{C}_-$ と $\mathcal{S}_-$ は入れ替わる。

5。 周期 $\pi$ の関数の空間は $\mathcal{C}_+\oplus\mathcal{S}_+$、反周期の関数の空間は $\mathcal{C}_-\oplus\mathcal{S}_-$ である。定理 7.2（周期 $\pi$ に縮尺したもの）の 3 からバンドの端点はこれらの固有値である。

∎

特性値の $q$ についての展開は、前章の摂動論でそのまま計算できます。対称性で部分空間を分けたので、$q=0$ での縮退（$\cos nx$ と $\sin nx$）は解けており、各部分空間では単純固有値の Rayleigh–Schrödinger 級数（定理 6.1［解析的摂動論 II］）が使えます。

命題 8.3（特性値の摂動展開）✓

$q\to 0$ で

$$a_0(q)=-\frac{q^2}{2}+O(q^4),\qquad a_1(q)=1+q+O(q^2),\qquad b_1(q)=1-q+O(q^2).$$

特に、最初のギャップ $(b_1(q),a_1(q))$（$q>0$）の幅は $2q+O(q^2)$ である。

証明（命題 8.3）

$A=-d^2/dx^2$、$B=2\cos 2x$、$\kappa=q$ として、各部分空間で漸化式を使う。内積は $L^2(0,2\pi)$ のもので、$\|1\|^2=2\pi$、$\|\cos nx\|^2=\|\sin nx\|^2=\pi$（$n\ge1$）。

$a_0$（$\mathcal{C}_+$、$\varphi_0=1/\sqrt{2\pi}$）: $B\varphi_0=2\cos 2x/\sqrt{2\pi}$ なので $E_1=\langle\varphi_0,B\varphi_0\rangle=0$。$\cos 2x$ は固有値 $4$ の固有関数なので $SB\varphi_0=\frac14B\varphi_0$ で、$E_2=-\langle B\varphi_0,SB\varphi_0\rangle=-\frac14\cdot\frac{4\pi}{2\pi}=-\frac12$。さらに $B\cos 2x=1+\cos 4x$ で、$S$ は定数成分を消し $S\cos 4x=\cos 4x/16$ なので、$\chi_2=SBSB\varphi_0$ は $\cos 4x$ の定数倍であり、$E_3=\langle B\varphi_0,\chi_2\rangle=0$（$\cos 2x\perp\cos 4x$）。よって $a_0=-q^2/2+O(q^4)$。

$a_1$（$\mathcal{C}_-$、$\varphi_0=\cos x/\sqrt\pi$）: $2\cos 2x\cos x=\cos x+\cos 3x$ なので $E_1=\langle\cos x,\cos x+\cos 3x\rangle/\pi=1$。

$b_1$（$\mathcal{S}_-$、$\varphi_0=\sin x/\sqrt\pi$）: $2\cos 2x\sin x=\sin 3x-\sin x$ なので $E_1=-1$。

∎

$\cos 2x$ は Fourier モード $e^{inx}$ を $e^{i(n\pm2)x}$ にしか結合しないので、$q=0$ で縮退している $e^{inx}$ と $e^{-inx}$ がつながるのは摂動の $n$ 次です。このため $n$ 番目のギャップ $|a_n(q)-b_n(q)|$ は $q^n$ 程度の幅で開きます（演習 9.3 で $n=2$ を確かめます）。また $q>0$ では $a_0<b_1<a_1<b_2<a_2<\cdots$ と並ぶことが知られており（DLMF §28.2）、バンドは $[a_0,b_1]$、$[a_1,b_2]$、$[a_2,b_3]$、… です。

例 8.4（1 プラケットの格子ゲージ理論）

$U(1)$ 格子ゲージ理論の Kogut–Susskind ハミルトニアンで、プラケットを 1 つだけ残しゲージを固定すると、自由度はプラケット変数の角度 $\theta\in[0,2\pi)$ だけになり、ハミルトニアンは正の定数 $\alpha$（電場の項から来る）、$\beta$（磁場の項から来る）を用いて

$$H=-\alpha\frac{d^2}{d\theta^2}-\beta\cos\theta\qquad\text{on}\ L^2(0,2\pi)\ \text{（周期境界条件）}$$

の形になる（ハミルトニアン格子ゲージ理論。$\alpha\propto g^2$、$\beta\propto 1/g^2$）。$\theta=2x+\pi$ とおくと $\cos\theta=-\cos 2x$、$d/d\theta=\frac12d/dx$ なので

$$\frac{4}{\alpha}H=-\frac{d^2}{dx^2}+\frac{4\beta}{\alpha}\cos 2x=H_{q},\qquad q=\frac{2\beta}{\alpha},$$

で、$\theta$ の $2\pi$-周期性は $x$ の $\pi$-周期性に当たる。したがって $H$ の固有値は $\frac{\alpha}{4}a_{2m}(q)$、$\frac{\alpha}{4}b_{2m}(q)$ で尽くされる。強結合（$g$ が大きく $q$ が小さい）では 命題 8.3 から基底エネルギーは $\frac{\alpha}{4}a_0(q)=-\frac{\beta^2}{2\alpha}+O(\beta^4/\alpha^3)$ で、自由回転子 $-\alpha d^2/d\theta^2$ の 2 次摂動に一致する。弱結合（$q$ が大きい）では、$-\beta\cos\theta\approx-\beta+\frac{\beta}{2}\theta^2$ と近似した調和振動子の準位 $-\beta+(2j+1)\sqrt{\alpha\beta/2}$ に近づく。これは、特性値の大きな $q$ での漸近形 $a_m(q)\sim b_{m+1}(q)\sim-2q+2(2m+1)\sqrt q$（DLMF §28.8）を、準位 $a_0,b_2,a_2,b_4,\dots$（$m=0,1,2,3,\dots$）について $\frac{\alpha}{4}$ 倍したものと一致する。

9. 演習

演習 9.1易

$V=0$（周期 $1$）について $c(x,E)$、$s(x,E)$、$\Delta(E)$ を求め、定理 7.2 から $\sigma(-d^2/dx^2)=[0,\infty)$ を確かめよ。また、周期固有値・反周期固有値を求め、ギャップが開いていないことを確かめよ。

解答

$E=\omega^2$（$\omega\in\mathbb{C}$）とすると $c=\cos\omega x$、$s=\sin(\omega x)/\omega$（$\omega=0$ では $s=x$）で、$\Delta(E)=2\cos\sqrt E$（$E\ge0$）、$\Delta(E)=2\cosh\sqrt{-E}$（$E<0$）。$E<0$ では $\Delta>2$、$E\ge0$ では $|\Delta|\le2$ なので $\sigma=[0,\infty)$。$\Delta=2$ は $E=(2\pi m)^2$、$\Delta=-2$ は $E=((2m+1)\pi)^2$。$E=(n\pi)^2$（$n\ge1$）では $M(E)=\pm I$ で固有値 $\pm1$ が 2 重であり、$\Delta$ は $\pm2$ に接するだけで $|\Delta|>2$ の区間がないので、第 $n$ バンドと第 $n+1$ バンドは $(n\pi)^2$ で接する（例 5.3 と一致）。

演習 9.2標準

$t_1,t_2>0$ とし、$\ell^2(\mathbb{Z})$ 上で $(h\psi)(2l)=t_1\psi(2l+1)+t_2\psi(2l-1)$、$(h\psi)(2l+1)=t_1\psi(2l)+t_2\psi(2l+2)$ と定める（結合の強さが交互に変わる鎖）。定理 6.1 と同様にして $h(k)$（$2\times2$）を求め、$\sigma(h)=[-(t_1+t_2),-|t_1-t_2|]\cup[|t_1-t_2|,t_1+t_2]$ を示せ。

解答

$\varphi(k,j)=\sum_le^{-ik(j+2l)}\psi(j+2l)$ について、$j=0$ の成分は $(\mathcal{U}_2h\psi)(k,0)=t_1e^{ik}\varphi(k,1)+t_2e^{-ik}\varphi(k,-1)=(t_1e^{ik}+t_2e^{-ik})\varphi(k,1)$、$j=1$ の成分は $(t_1e^{-ik}+t_2e^{ik})\varphi(k,0)$。よって $h(k)=\begin{pmatrix}0&w(k)\\\overline{w(k)}&0\end{pmatrix}$、$w(k)=t_1e^{ik}+t_2e^{-ik}$ で、固有値は $\pm|w(k)|$。$|w(k)|^2=t_1^2+t_2^2+2t_1t_2\cos 2k$ は $k\in[-\pi/2,\pi/2)$ で $[(t_1-t_2)^2,(t_1+t_2)^2]$ を動くので主張を得る。$t_1=t_2$ でギャップが閉じる。

演習 9.3標準

命題 8.3 の方法で $a_2(q)=4+\frac{5}{12}q^2+O(q^3)$、$b_2(q)=4-\frac{1}{12}q^2+O(q^3)$ を示し、第 2 ギャップの幅が $q^2/2+O(q^3)$ であることを確かめよ。

解答

$b_2$（$\mathcal{S}_+$、$\varphi_0=\sin 2x/\sqrt\pi$）: $2\cos 2x\sin 2x=\sin 4x$ なので $E_1=0$、$S\sin 4x=\sin 4x/(16-4)$ から $E_2=-\langle\sin 4x,\sin 4x/12\rangle/\pi=-1/12$。$a_2$（$\mathcal{C}_+$、$\varphi_0=\cos 2x/\sqrt\pi$）: $2\cos^22x=1+\cos 4x$ なので $E_1=0$。$S$ は定数に $1/(0-4)$、$\cos 4x$ に $1/(16-4)$ を掛けるので、$E_2=-\frac1\pi\bigl(-\frac14\|1\|^2+\frac1{12}\|\cos4x\|^2\bigr)=-\frac1\pi\bigl(-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{12}\bigr)=\frac5{12}$。差は $a_2-b_2=\frac{q^2}{2}+O(q^3)$ で、1 次の係数が消えるのは $\cos 2x$ が $\cos 2x$（または $\sin 2x$）を自分自身に結合しないからである。

参考文献

• M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics IV: Analysis of Operators, Academic Press, 1978 — §XIII.16（直積分、周期 Schrödinger 作用素、Thomas の定理）。
• P. Kuchment, “An overview of periodic elliptic operators”, Bulletin of the American Mathematical Society 53 (2016), 343–414.
• M. S. P. Eastham, The Spectral Theory of Periodic Differential Equations, Scottish Academic Press, 1973 — 第 1・2 章（Hill 方程式と判別式）。
• W. Magnus, S. Winkler, Hill’s Equation, Interscience, 1966.
• NIST Digital Library of Mathematical Functions, Chapter 28 “Mathieu Functions and Hill’s Equation”, https://dlmf.nist.gov/28。
• J. B. Kogut, L. Susskind, “Hamiltonian formulation of Wilson’s lattice gauge theories”, Physical Review D 11 (1975), 395–408.