数学 › 関数解析と作用素論 › 周期作用素と Bloch–Floquet 分解

Bloch–Floquet–Gelfand 変換のユニタリ性

定理 4.2（「周期作用素と Bloch–Floquet 分解」§4） ・ ✓公理まで証明済み

U\mathcal{U} は L2(Rd)L^2(\mathbb{R}^d) から ∫B⊕L2(Td) dk(2π)d=L2(B×Ω,dk dx(2π)d)\int^\oplus_{\mathcal{B}}L^2(\mathbb{T}^d)\,\frac{dk}{(2\pi)^d}=L^2\bigl(\mathcal{B}\times\Omega,\frac{dk\,dx}{(2\pi)^d}\bigr) へのユニタリ作用素である。さらに次が成り立つ。

  1. 格子の平行移動 (Tnψ)(x)=ψ(x−n)(T_n\psi)(x)=\psi(x-n) について UTnU−1\mathcal{U}T_n\mathcal{U}^{-1} はファイバー kk ごとに e−ik⋅ne^{-ik\cdot n} を掛ける作用素である。
  2. Zd\mathbb{Z}^d-周期な V∈L∞V\in L^\infty について、UVU−1\mathcal{U}V\mathcal{U}^{-1} は各ファイバーで V(x)V(x) を掛ける作用素である。
  3. ψ∈S(Rd)\psi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^d) なら、定義の級数は xx について何回微分しても絶対一様収束し、
(Uψ)(k,x)=∑m∈Zdψ^(k+2πm) e2πim⋅x.(\mathcal{U}\psi)(k,x)=\sum_{m\in\mathbb{Z}^d}\hat\psi(k+2\pi m)\,e^{2\pi im\cdot x}.

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 64 件、定義なども含めて 74 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 2 件