数学 › 関数解析と作用素論 › 周期作用素と Bloch–Floquet 分解

格子上の Bloch 分解

定理 6.1（「周期作用素と Bloch–Floquet 分解」§6） ・ ✓公理まで証明済み

ψ∈ℓ2(Z)\psi\in\ell^2(\mathbb{Z}) に対し

(Uqψ)(k,j)=∑l∈Ze−ik(j+ql)ψ(j+ql)(k∈Bq, j∈Z)(\mathcal{U}_q\psi)(k,j)=\sum_{l\in\mathbb{Z}}e^{-ik(j+ql)}\psi(j+ql)\qquad(k\in\mathcal{B}_q,\ j\in\mathbb{Z})

と定めると、これは jj について周期 qq で、Uq\mathcal{U}_q は ℓ2(Z)\ell^2(\mathbb{Z}) から ∫Bq⊕Cq q dk2π\int^\oplus_{\mathcal{B}_q}\mathbb{C}^q\,\frac{q\,dk}{2\pi} へのユニタリである（Cq\mathbb{C}^q は Z/qZ\mathbb{Z}/q\mathbb{Z} 上の関数の空間）。さらに Uqh Uq−1=∫⊕h(k)q dk2π\mathcal{U}_qh\,\mathcal{U}_q^{-1}=\int^\oplus h(k)\frac{q\,dk}{2\pi} で、ファイバーは q×qq\times q の Hermite 行列

(h(k)φ)(j)=eikφ(j+1)+e−ikφ(j−1)+V(j)φ(j)(j∈Z/qZ)(h(k)\varphi)(j)=e^{ik}\varphi(j+1)+e^{-ik}\varphi(j-1)+V(j)\varphi(j)\qquad(j\in\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})

である。h(k)h(k) の固有値を E1(k)≤⋯≤Eq(k)E_1(k)\le\dots\le E_q(k) とすると、これらは連続で、σ(h)=⋃n=1qEn(Bˉq)\sigma(h)=\bigcup_{n=1}^qE_n(\bar{\mathcal{B}}_q) は高々 qq 個の閉区間の合併である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 99 件、定義なども含めて 112 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 2 件